מבחן לדוגמה: הצגה קוטבית ומשפט דה-מואבר - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את $z_1$ ואת $z_2$, וכתבו אותם בהצגה קוטבית (ארגומנט בתחום $0^\circ\le\theta<360^\circ$).

פתרו את משוואה I, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

פתרו את המשוואה, ומצאו את $z_0$.

הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים $d\cdot z_0$, $di\cdot z_0$ ו-$d\cdot(z_0)^4$ בהתאמה. $d>0$ הוא פרמטר.

נגדיר: $w=\left((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2}\right)(1+i)$.

מצאו את $|w|$ ואת הארגומנט של $w$.

הראו כי $\frac{z}{\bar z}=\cos2\alpha+i\sin2\alpha$.

נתון: $\frac{z}{\bar z}=-i$.

מצאו את $\alpha$.

נתון: $|2iz|+|\bar z|=6\sqrt2$.

מצאו את $R$, וכתבו את $z$ בהצגה אלגברית.

מצאו את המספר המרוכב שמייצגת הנקודה $A'$.

הביעו באמצעות $z$ את המספרים שמייצגים את הקודקודים B, C ו-D.

כתבו הצגה קוטבית של ארבעת המספרים ההופכיים $\left(\frac1z,\ldots\right)$ למספרים המייצגים את קודקודי המעוין.

ארבעת המספרים שמצאתם בסעיף ב מייצגים קודקודים של מרובע. מצאו את שטח המרובע שנוצר על ידי קודקודים אלה.

מצאו את הערך של $a$ שבעבורו $z_1$ ו-$z_2$ צמודים זה לזה.

כתבו את $z_1$ ואת $z_2$ בהצגה קוטבית.

הציבו $a=2$. נתונים המספרים $w_1=\left(\frac{z_1}{\sqrt2}\right)^{4n}$ ו-$w_2=\left(\frac{z_2}{\sqrt2}\right)^{4n+2}$, כאשר $n$ מספר טבעי.

מצאו את $p$ ואת $m$ הממשיים שבעבורם המשוואה $|z-p|=m$ מתארת מעגל שעליו נמצאים $w_1$ ו-$w_2$ לכל $n$ טבעי.

הביעו את $z_m$ בהצגה קוטבית באמצעות $m$.

$n$ הוא מספר טבעי. קבעו בעבור כל אחד מהאיברים $z_{6n}$ ו-$z_{6n-3}$ אם הוא ממשי או מדומה. נמקו.