דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: שורשים ומקומות גאומטריים במישור גאוס - כיתה י"ב 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה לכיתה י"ב 5 יח"ל בנושא שורשים ומקומות גאומטריים במישור גאוס: 8 שאלות פתוחות מ-5 שיעורים שונים של הנושא, ברמות שונות (קלה: 3, בינונית: 3, קשה: 2). המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל המבחנים - שם מחליפים שאלות, מוסיפים פתרונות ומורידים ל-Word.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל
שורשים ומקומות גאומטריים במישור גאוס
8 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · שורשים מסדר n של מספר מרוכבשורשים מסדר n של מספר מרוכב · שאלה קצרה · קשה

נתון כי המספרים z1=1+3iz_1=1+\sqrt{3}i ו-z2=−2iz_2=-2i הם שני פתרונות של המשוואה zn=wz^n=w, כאשר nn מספר טבעי ו-ww מספר מרוכב.

OReIm
א.

מצאו את הערך הקטן ביותר האפשרי של nn, ואת ww המתאים לו.

ב.

עבור הערך של nn שמצאתם, רשמו בהצגה אלגברית את כל הפתרונות של המשוואה הנמצאים ברביע השני.

שאלה 2 · שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכללשורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל · שאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה w5=4wˉw^5=4\bar w, ww הוא מספר מרוכב השונה מ-0.

א.

מצאו את ∣w∣|w| ואת סכום כל הפתרונות של המשוואה.

ב.

הפתרונות מייצגים קודקודים של מצולע. מצאו את שטחו.

שאלה 3 · איחוד הפתרונות של z⁶=w⁶ ו-z⁶=(ww̄)³: מספר קודקודים, מצולע משוכלל ושטחשורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל · שאלת ביניים · קשה

נתון המספר המרוכב w=r(cos⁡θ+isin⁡θ)w=r(\cos\theta+i\sin\theta), r>0r>0, 0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ. נתונות שתי משוואות: I. z6=w6z^6=w^6 II. z6=(w⋅wˉ)3z^6=(w\cdot\bar w)^3. PP הוא המצולע הקמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של שתי המשוואות. ידוע כי כל קודקודי PP נמצאים על המעגל ∣z∣=r|z|=r.

א.

חקרו: כמה קודקודים יש ל-PP? (התשובה תלויה ב-θ\theta.)

ב.

מצאו את כל ערכי θ\theta שעבורם PP הוא מצולע משוכלל בן 12 צלעות.

ג.

נתון כי ל-PP יש 12 קודקודים, PP הוא מצולע משוכלל, ושטחו 75.

מצאו את כל המספרים ww האפשריים.

שאלה 4 · שני מעגלים |z-ia|=1, חיתוך עם y=x ופתרון z³מקומות גאומטריים: מעגל · שאלת ביניים · בינונית

נתונה המשוואה: z2=−3+4iz^2=-3+4i, zz הוא מספר מרוכב. פתרונות המשוואה הם z=1+2iz=1+2i ו-z=−1−2iz=-1-2i.

א.

נסמן את החלקים הממשיים של פתרונות המשוואה ב-a1a_1 וב-a2a_2 כך ש-a1<a2a_1<a_2.

נתונים שני מקומות גאומטריים:

I. ∣z−ia1∣=1|z-ia_1|=1

II. ∣z−ia2∣=1|z-ia_2|=1

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של כל אחד מהמקומות הגאומטריים, וסרטטו את שניהם באותה מערכת צירים.

ב.

מצאו את המספרים המרוכבים שמייצגים את נקודות החיתוך של הישר y=xy=x עם כל אחד מהמקומות הגאומטריים.

ג.

נסמן ב-w1w_1 וב-w2w_2 את שני המספרים שמצאתם בסעיף ב ששונים מ-0.

חשבו את w1⋅w1‾w_1\cdot\overline{w_1} ואת w2⋅w2‾w_2\cdot\overline{w_2}, ופתרו את המשוואה z3=w1⋅w1‾⋅w2⋅w2‾z^3=w_1\cdot\overline{w_1}\cdot w_2\cdot\overline{w_2}.

שאלה 5 · מקום גאומטרי של z², שורשי 16 וריבוע מסובבמקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוס · שאלה מלאה · קלה

z=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xx ו-yy הם מספרים ממשיים).

א.
(1)

כתבו את z2z^2 בהצגה אלגברית.

(2)

הראו כי משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2+5∣=∣z2−1∣|z^2+5|=|z^2-1| היא y2−x2=2y^2-x^2=2.

ב.

פתרו את המשוואה z4=16z^4=16.

ג.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב מייצגים את קודקודיו של ריבוע I, החסום במעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 2. המקום הגאומטרי מתת סעיף א(2) חותך את המעגל הזה ברביע הראשון בנקודה A.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד.
(1)

כתבו את המספר המרוכב המייצג את A בהצגה קוטבית.

(2)

A היא קודקוד של ריבוע II החסום באותו מעגל. מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את כל הקודקודים של ריבוע II.

ה.

נסמן w=r⋅cisαw=r\cdot\text{cis}\alpha, 0<α<90∘0<\alpha<90^\circ. כופלים את כל המספרים המייצגים את קודקודי ריבוע I במספר ww, ומתקבלים קודקודי ריבוע II.

הסבירו מדוע r=1r=1, ומצאו את ww.

שאלה 6 · מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוסמקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוס · שאלה קצרה · בינונית

במישור גאוס, הנקודה zz נמצאת על המקום הגאומטרי ∣z∣=∣z−(6+8i)∣|z|=|z-(6+8i)|, והנקודה ww נמצאת על המקום הגאומטרי ∣w−6i∣=2∣w−3i∣|w-6i|=2|w-3i|.

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של ww הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

ב.

מצאו את המרחק הקטן ביותר האפשרי בין zz לבין ww.

שאלה 7 · שורשים מסדר 6 של מספר שלילי, מלבן ומכפלהבעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישור · שאלה מלאה · קלה

נתונה המשוואה z6=−729z^6=-729 (zz הוא מספר מרוכב).

א.

כתבו את −729-729 בהצגה קוטבית, ומצאו את ששת הפתרונות של המשוואה.

ב.

מצאו את הפתרונות של המשוואה שהם מספרים מדומים טהורים, והראו שהם הפתרונות של המשוואה z2=−9z^2=-9.

ג.

ארבעת הפתרונות האחרים של המשוואה מייצגים קודקודים של מלבן במישור גאוס.

מצאו את שטח המלבן.

ד.

חשבו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המלבן.

ה.

מסובבים את המלבן סביב הראשית בזווית 45∘45^\circ נגד כיוון השעון. כל קודקוד מוכפל ב-cis45∘cis45^\circ.

מצאו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המלבן לאחר הסיבוב.

שאלה 8 · מספרים מרוכבים: שורשים ומשושה משוכללבעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישור · שאלה מלאה · קלה

נתונים שני מספרים מרוכבים z1z_1 ו-z2z_2 שמכפלתם היא 17. z1=−4+iz_1=-4+i.

א.

מצאו את המספר z2z_2.

ב.

נתונה המשוואה w3=z1+z2w^3=z_1+z_2, ww הוא משתנה מרוכב.

מצאו את פתרונות המשוואה.

ג.

נתון מספר מרוכב z=2(cos⁡θ+i⋅sin⁡θ)z=2(\cos\theta+i\cdot\sin\theta), 0∘≤θ<360∘0^\circ\le\theta<360^\circ. נתון כי z3z^3 הוא מספר ממשי חיובי.

מצאו את שלוש האפשרויות של המספר zz.

ד.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב ושלושת המספרים שמצאתם בסעיף ג, מייצגים את כל הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס.

(1)

סרטטו את המצולע במערכת צירים.

(2)

חשבו את השטח של המצולע.

ה.

נתון מספר מרוכב: 3(cos⁡α+i⋅sin⁡α)3(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha), 0∘≤α<360∘0^\circ\le\alpha<360^\circ. מכפילים כל אחד מן המספרים המייצגים את קודקודי המצולע במספר מרוכב זה, כך שנוצר מצולע חדש.

מצאו את שטח המצולע החדש.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.