מבחן לדוגמה: האליפסה - כיתה י"ב 5 יח"ל

הוכיחו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות M הוא מעגל, ורשמו את משוואתו.

מזיזים את המעגל שמצאתם בסעיף ב ימינה ב-2 יחידות, ומתקבל מעגל אחר. מכפילים ב-$\frac34$ את שיעור ה-$y$ של כל אחת מן הנקודות שעל המעגל האחר, ומתקבל עקום חדש.

זהו את צורת העקום החדש, ומצאו את משוואתו.

נתון משולש ששניים מקודקודיו הם נקודות החיתוך של העקום החדש עם ציר ה-$y$, והקודקוד הנוסף נמצא גם הוא על העקום החדש.

מצאו את השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש. נמקו את תשובתכם.

מצאו את $PF_1$ ואת $PF_2$.

חשבו את שטח המשולש $F_1PF_2$, ומצאו את שיעורי הנקודה $P$.

הוכיחו כי בכל אליפסה $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) שיש עליה נקודה $P$ שבה $\angle F_1PF_2=90^\circ$, שטח המשולש $F_1PF_2$ שווה ל-$b^2$. הסבירו מדוע נקודה כזו יכולה להיות קיימת רק כאשר $c\ge b$.

מצאו את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו.

הראו כי הישר $y=4$ משיק למעגל I, ומצאו את נקודת ההשקה.

הזיזו את מעגל I ימינה כך שהתקבל מעגל II שמרכזו בראשית הצירים. A היא נקודה כלשהי על מעגל II שאינה על ציר ה-$x$. מהנקודה A מורידים אנך AD לציר ה-$x$ (D על ציר ה-$x$). P היא אמצע הקטע AD.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות P נמצא על האליפסה $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$.

K ו-F הם מוקדי האליפסה $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$. C היא נקודה על האליפסה שאינה על ציר ה-$x$.

מצאו את שיעורי המוקדים, וחשבו את היקף המשולש CKF.

מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש CKF? באילו נקודות C הוא מתקבל?

מצאו את משוואת האליפסה ואת שיעורי המוקדים שלה.

מצאו את משוואת האליפסה.

B היא נקודה על האליפסה שאינה על אחד הצירים. הנקודה C היא נקודה כלשהי על הישר AO, והנקודה P היא אמצע הקטע BC. נתון כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות P הוא הישר $y=1.5x-3$. מצאו את שיעורי הנקודה B.

מצאו את משוואת המעגל המשיק למקום הגאומטרי, ומשיק לישר AO בנקודה O.

הנקודה B נעה על האליפסה (ואינה על הישר AO), והנקודות C ו-P מוגדרות כמו בסעיף ב. לכל מיקום של B מעבירים מעגל המשיק לישר AO בנקודה O ומשיק למקום הגאומטרי של הנקודות P. מצאו את שיעורי הנקודות B שבעבורן רדיוס המעגל הוא הגדול ביותר, ואת הרדיוס הזה.

הראו כי שיעורי ה-$x$ של הנקודות המשותפות למעגל ולאליפסה מקיימים את המשוואה $x^2-8x+26-2r^2=0$.

מצאו את ערך $r$ שעבורו למשוואה מסעיף א יש פתרון יחיד, ומצאו את הנקודות המשותפות למעגל ולאליפסה בערך זה.

מצאו את ערך $r$ שעבורו המעגל עובר דרך קודקודי הציר הקטן של האליפסה, ומצאו את כל הנקודות המשותפות למעגל ולאליפסה בערך זה.

הראו כי $C$ נעה על אליפסה, ומצאו את משוואתה.

הראו כי המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים $C$ הוא אליפסה, ומצאו את משוואתה.

מצאו את הרדיוס של מעגל $C$ שמרכזו על ציר ה-$y$.