דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: מצב הדדי בין ישר לאליפסה - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מצב הדדי בין ישר לאליפסה לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן חיתוך ישר עם אליפסה ואמצע המיתר, ישר עם פרמטר שמשיק לאליפסה, שני משיקים מנקודה על ציר ה-y, ומיתר שאמצעו נקודה פנימית נתונה. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. מתאים לשאלה במבחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

19 שאלותקלה: 5בינונית: 10קשה: 4

שאלה 1 · מצב הדדי בין ישר לאליפסהשאלה קצרה · קלה

הישר x+2y−4=0x+2y-4=0 חותך את האליפסה x232+y28=1\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{8}=1 בנקודות AA ו-BB. נסמן ב-MM את אמצע המיתר ABAB.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה MM, ואת משוואת הישר העובר דרך ראשית הצירים ודרך MM.

ב.

חשבו את אורך המיתר ABAB.

שאלה 2 · מצב הדדי בין ישר לאליפסהשאלה קצרה · בינונית

נתונה האליפסה x236+y212=1\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{12}=1. מנקודה PP שנמצאת על החלק החיובי של ציר ה-yy מעבירים שני משיקים לאליפסה, והמשיקים מאונכים זה לזה.

-8-6-4-22468-8-6-4-22468
א.

מצאו את שיעורי הנקודה PP.

ב.

מצאו את משוואות שני המשיקים.

שאלה 3 · מצב הדדי בין ישר לאליפסהשאלה קצרה · קשה

נתונה האליפסה x28+y24=1\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1 והנקודה M(1,1)M(1,1) שנמצאת בתוכה.

מצאו את משוואת המיתר של האליפסה ש-MM היא אמצעו.

שאלה 4 · מצב הדדי בין ישר לאליפסהשאלה קצרה · קלה

הישר y=mx+5y=mx+5 משיק לאליפסה x232+y29=1\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{9}=1.

-6-4-2246-4-2246
א.

מצאו את כל הערכים האפשריים של mm.

ב.

מצאו את נקודות ההשקה של שני המשיקים עם האליפסה.

שאלה 5 · מצב הדדי בין ישר לאליפסהשאלה קצרה · בינונית

הישר y=x+ny=x+n, כאשר n>0n>0, משיק לאליפסה x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1. F1F_1 ו-F2F_2 הם מוקדי האליפסה.

א.

מצאו את nn ואת שיעורי המוקדים.

ב.

חשבו את מכפלת המרחקים של F1F_1 ושל F2F_2 מהמשיק.

שאלה 6 · פרבולה ואליפסה עם מוקד משותף: מיקום מרכז המעגל לפי פרמטרשאלה מלאה · קשה

הנקודה F(t,0)F(t,0), כאשר t>0t>0, היא מוקד של פרבולה קנונית ומוקד של אליפסה קנונית. אורך הציר הראשי של האליפסה הוא 2a2a, כאשר a>ta>t הוא פרמטר.

המדריך של הפרבולה חותך את האליפסה בנקודות AA ו-BB (AA מעל BB). ישר המאונך לציר ה-xx ועובר ב-FF חותך את הפרבולה בנקודות CC ו-DD (CC מעל DD).

הביעו את תשובותיכם באמצעות aa ו-tt, אם יש צורך.

א.

מצאו את משוואת הפרבולה, את משוואת האליפסה ואת שיעורי הנקודות AA, BB, CC ו-DD.

ב.

הסבירו מדוע הנקודות AA, BB, CC ו-DD נמצאות על מעגל אחד, והביעו את שיעור ה-xx של מרכז המעגל.

ג.

מצאו את כל הערכים של aa שבעבורם מרכז המעגל נמצא מימין לציר ה-yy.

ד.

האם יש ערך של aa שבעבורו המרובע ABDCABDC הוא מלבן? האם יש ערך של aa שבעבורו הוא ריבוע? נמקו.

שאלה 7 · מעגל דרך שתי נקודות ואליפסה שמוקדיה על המעגלשאלה מלאה · קלה

נתונות הנקודות A(−6,2)A(-6,2) ו-B(8,−12)B(8,-12).

א.

מצאו את משוואת האנך האמצעי לקטע AB.

ב.

מעגל M עובר בנקודות A ו-B, ומרכזו נמצא על ציר ה-yy.

היעזרו בסעיף א, ומצאו את שיעורי מרכז המעגל M ואת הרדיוס שלו.

ג.

נקודות החיתוך של המעגל M עם ציר ה-xx הן מוקדים של אליפסה שמשוואתה קנונית. אורך הציר הראשי של האליפסה שווה לאורך קוטר המעגל.

מצאו את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-xx ואת משוואת האליפסה.

ד.

ישר המאונך לציר ה-xx עובר במוקד השמאלי של האליפסה וחותך אותה בנקודות Q ו-T. נסמן ב-F את המוקד הימני של האליפסה.

מצאו את אורך הקטע TQ ואת שטח המשולש TQF.

שאלה 8 · מרכזי מעגלים על אנך אמצעי, אליפסה ממוקדים על ציר ה-x ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

נתונות הנקודות A(−4,1)A(-4,1) ו-B(3,8)B(3,8).

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים שהקטע AB הוא מיתר שלהם.

ב.

מעגל M הוא אחד מן המעגלים שהקטע AB הוא מיתר שלהם. נקודות החיתוך של המעגל M עם ציר ה-xx הן מוקדים של אליפסה שמשוואתה קנונית.

מצאו את שיעורי מרכז המעגל M ואת הרדיוס שלו.

ג.

נתון כי אורך הציר הראשי של האליפסה שווה לאורך קוטר המעגל M.

מהי משוואת האליפסה?

ד.

נסמן ב-F את המוקד הימני של האליפסה. ישר המאונך לציר ה-xx עובר במוקד השמאלי של האליפסה. הישר חותך את האליפסה בנקודות Q ו-T, ואת המעגל M בנקודות K ו-L.

מצאו את היחס בין שטח המשולש KLF לבין שטח המשולש TQF.

שאלה 9 · אליפסה: מציאת נקודה מהמקום הגאומטרי ומעגל משיק בעל רדיוס מרבישאלה מלאה · קשה

נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה A(2,3)A(2,3) נמצאת על האליפסה, ושיעורי המוקד הימני של האליפסה הם (2,0)(2,0). O היא ראשית הצירים.

א.

מצאו את משוואת האליפסה.

ב.

B היא נקודה על האליפסה שאינה על אחד הצירים. הנקודה C היא נקודה כלשהי על הישר AO, והנקודה P היא אמצע הקטע BC. נתון כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות P הוא הישר y=1.5x−3y=1.5x-3. מצאו את שיעורי הנקודה B.

ג.

מצאו את משוואת המעגל המשיק למקום הגאומטרי, ומשיק לישר AO בנקודה O.

ד.

הנקודה B נעה על האליפסה (ואינה על הישר AO), והנקודות C ו-P מוגדרות כמו בסעיף ב. לכל מיקום של B מעבירים מעגל המשיק לישר AO בנקודה O ומשיק למקום הגאומטרי של הנקודות P. מצאו את שיעורי הנקודות B שבעבורן רדיוס המעגל הוא הגדול ביותר, ואת הרדיוס הזה.

שאלה 10 · פרבולה ואליפסה עם מוקד משותף: טרפז חסום במעגל (מספרי)שאלה מלאה · קלה

הנקודה F(3,0)F(3,0) היא מוקד של פרבולה קנונית ומוקד של אליפסה קנונית. אורך הציר הראשי של האליפסה הוא 18.

א.

מצאו את משוואת הפרבולה ואת משוואת האליפסה.

ב.

המדריך של הפרבולה חותך את האליפסה בנקודות AA ו-BB. הנקודה AA נמצאת מעל לנקודה BB.

מצאו את משוואת המדריך של הפרבולה ואת שיעורי הנקודות AA ו-BB.

ג.

הישר x=3x=3 עובר במוקד FF וחותך את הפרבולה בנקודות CC ו-DD. הנקודה CC נמצאת מעל לנקודה DD.

מצאו את שיעורי הנקודות CC ו-DD.

ד.
(1)

הראו כי המרובע ABDCABDC הוא טרפז שווה-שוקיים, והסבירו מדוע יש מעגל שעובר דרך ארבעת הקודקודים שלו.

(2)

הסבירו מדוע מרכז המעגל נמצא על ציר ה-xx, ומצאו את שיעורי המרכז ואת רדיוס המעגל.

עוד 7 שאלות על מצב הדדי בין ישר לאליפסה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. אליפסה מתוך יחס שטחים, ויחס שאינו תלוי בישר (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונות הנקודות A(12,10)A(12,10) ו-B(−5,−7)B(-5,-7).

  2. שני משיקים מאונכים לאליפסה מנקודה על ציר ה-y (שאלת ביניים · קשה)

    נתונה האליפסה x236+y212=1\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{12}=1 והנקודה P(0,n)P(0,n), כאשר n>0n>0. דרך PP מעבירים ישרים שאינם אנכיים, y=mx+ny=mx+n.

  3. ישר אנכי דרך מוקד: נקודות החיתוך עם אליפסה ועם מעגל (שאלה קצרה · קלה)

    נתונים המעגל x2+(y+12)2=169x^2+(y+12)^2=169 והאליפסה x2169+y2144=1\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1. ישר המאונך לציר ה-xx עובר במוקד השמאלי של האליפסה. הישר חותך…

  4. מצב הדדי בין ישר לאליפסה (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונים המעגל x2+(y+12)2=169x^2+(y+12)^2=169 והאליפסה x2169+y2144=1\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1. נסמן ב-F את המוקד הימני של האליפסה. ישר המאונך לציר ה-xx עובר…

  5. פרבולה ואליפסה עם מוקד משותף: מעגל דרך ארבע נקודות חיתוך (שאלה מלאה · בינונית)

    הנקודה (t,0)(t,0) היא מוקד של פרבולה קנונית ומוקד של אליפסה קנונית. tt הוא פרמטר חיובי. אורך הציר המשני של האליפסה הוא 2t2t. בסעיפים שלפניכם…

  6. נקודות ההשקה של שני משיקים לאליפסה (שאלה קצרה · בינונית)

    הישר y=mx+5y=mx+5 משיק לאליפסה x232+y29=1\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{9}=1. נתון כי יש לכך שני ערכים של mm: m=22m=\frac{\sqrt2}{2} ו-m=−22m=-\frac{\sqrt2}{2}.

  7. מיתר דרך מוקד: נקודות החיתוך, אורך המיתר ושטח משולש (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונה האליפסה x220+y216=1\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{16}=1. F1F_1 הוא המוקד השמאלי שלה ו-F2F_2 המוקד הימני. הישר שעובר דרך F2F_2 ושיפועו 22 חותך את…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.