שאלות פתוחות: מצב הדדי בין מעגל שמרכזו על אחד הצירים לאליפסה - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מצב הדדי בין מעגל שמרכזו על אחד הצירים לבין אליפסה, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות עוסקות בנקודות החיתוך של מעגל ואליפסה, במעגל שמרכזו על ציר ה-y ועובר דרך קודקוד האליפסה, במעגל שמרכזו במוקד, ובמעגל שעובר דרך שני המוקדים. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר לבחור מהן לבוחן או לשלב במבחן, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

9 שאלותקלה: 2בינונית: 5קשה: 2

שאלה 1 · מצב הדדי בין מעגל שמרכזו על אחד הצירים לאליפסהשאלה קצרה · קלה

נתונה האליפסה x220+y25=1\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=120x2​+5y2​=1 ומעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 222\sqrt222​.

א.

מצאו את נקודות החיתוך של המעגל עם האליפסה.

ב.

הראו כי ארבע נקודות החיתוך הן קודקודים של ריבוע, וחשבו את שטחו.

שאלה 2 · מצב הדדי בין מעגל שמרכזו על אחד הצירים לאליפסהשאלה קצרה · בינונית

נתונה האליפסה x28+y24=1\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=18x2​+4y2​=1, ומעגל שמרכזו בנקודה (0,1)(0,1)(0,1) ורדיוסו rrr.
-4-3-2-11234-3-2-1123

א.

מצאו את הערך הגדול ביותר של rrr שעבורו למעגל ולאליפסה יש נקודה משותפת, ואת הנקודות המשותפות במקרה זה.

ב.

מצאו את הערך הקטן ביותר של rrr שעבורו למעגל ולאליפסה יש נקודה משותפת.

שאלה 3 · מצב הדדי בין מעגל שמרכזו על אחד הצירים לאליפסהשאלה קצרה · קשה

מעגל שמרכזו בנקודה (0,k)(0,k)(0,k), כאשר k<2k<2k<2, עובר דרך הקודקוד העליון של האליפסה x216+y24=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=116x2​+4y2​=1.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם למעגל ולאליפסה יש נקודה משותפת אחת בלבד.

שאלה 4 · נקודות החיתוך של אליפסה ומעגל שמרכזו בראשיתשאלה קצרה · קלה

נתונה האליפסה x220+y25=1\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=120x2​+5y2​=1 ומעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 222\sqrt222​.

מצאו את נקודות החיתוך של המעגל עם האליפסה.

שאלה 5 · מצב הדדי בין מעגל שמרכזו על אחד הצירים לאליפסהשאלה קצרה · בינונית

נתונה האליפסה x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1a2x2​+b2y2​=1, כאשר a>b>0a>b>0a>b>0, ונסמן c=a2−b2c=\sqrt{a^2-b^2}c=a2−b2​. מעגל שמרכזו במוקד הימני F(c,0)F(c,0)F(c,0) ורדיוסו bbb חותך את האליפסה בשתי נקודות.

א.

הביעו באמצעות aaa ו-bbb את שיעור ה-xxx של נקודות החיתוך.

ב.

הציבו a=13a=13a=13, b=5b=5b=5 ומצאו את נקודות החיתוך.

שאלה 6 · הרדיוס הגדול והקטן ביותר של מעגל שיש לו נקודה משותפת עם אליפסהשאלת ביניים · קשה

נתונה האליפסה x28+y24=1\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=18x2​+4y2​=1, ומעגל שמרכזו בנקודה (0,1)(0,1)(0,1) ורדיוסו rrr.
-4-3-2-11234-3-2-1123

א.

מצאו את הערך הגדול ביותר של rrr שעבורו למעגל ולאליפסה יש נקודה משותפת, ואת הנקודות המשותפות במקרה זה.

ב.

מצאו את הערך הקטן ביותר של rrr שעבורו למעגל ולאליפסה יש נקודה משותפת.

ג.

מצאו את ערך rrr שעבורו למעגל ולאליפסה יש בדיוק שלוש נקודות משותפות, ומצאו את הנקודות האלה.

שאלה 7 · מצב הדדי בין מעגל שמרכזו על אחד הצירים לאליפסהשאלה קצרה · בינונית

נתונה האליפסה x2a2+y216=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{16}=1a2x2​+16y2​=1, כאשר a>4a>4a>4. מעגל שמרכזו בראשית הצירים עובר דרך שני מוקדי האליפסה.

א.

מצאו את ערכי aaa שעבורם המעגל חותך את האליפסה בארבע נקודות.

ב.

מצאו את ערכי aaa שעבורם למעגל ולאליפסה אין אף נקודה משותפת, ואת ערך aaa שעבורו יש בדיוק שתי נקודות משותפות.

שאלה 8 · מעגל דרך המוקדים: מתי הוא חותך את האליפסה בארבע נקודותשאלה קצרה · בינונית

נתונה האליפסה x2a2+y216=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{16}=1a2x2​+16y2​=1, כאשר a>4a>4a>4. מעגל שמרכזו בראשית הצירים עובר דרך שני מוקדי האליפסה.

מצאו את ערכי aaa שעבורם המעגל חותך את האליפסה בארבע נקודות.

שאלה 9 · מעגל שמרכזו על ציר ה-x ומשיק לאליפסהשאלת ביניים · בינונית

נתונה האליפסה x218+y29=1\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=118x2​+9y2​=1, ומעגל שמרכזו בנקודה M(2,0)M(2,0)M(2,0) ורדיוסו rrr.

א.

הראו כי שיעורי ה-xxx של הנקודות המשותפות למעגל ולאליפסה מקיימים את המשוואה x2−8x+26−2r2=0x^2-8x+26-2r^2=0x2−8x+26−2r2=0.

ב.

מצאו את ערך rrr שעבורו למשוואה מסעיף א יש פתרון יחיד, ומצאו את הנקודות המשותפות למעגל ולאליפסה בערך זה.

ג.

מצאו את ערך rrr שעבורו המעגל עובר דרך קודקודי הציר הקטן של האליפסה, ומצאו את כל הנקודות המשותפות למעגל ולאליפסה בערך זה.