מבחן לדוגמה: הפרבולה - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את משוואת הפרבולה ואת שיעורי המוקד $F$.

הנקודה $P$ נמצאת ברביע הראשון על הפרבולה, ומרחקה מהמוקד הוא $PF=15$. מצאו את שיעורי $P$.

מעגל שמרכזו $P$ עובר דרך המוקד $F$. מצאו את משוואת המעגל, הראו שהוא משיק למדריך הפרבולה, ומצאו את נקודת ההשקה.

מצאו את שיעורי הנקודות $A$ ו-$B$, וחשבו את שטח המשולש $OAB$.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

הראו כי משוואת המשיק $\ell$ היא $y=x+2$.

מעגל I שמרכזו בנקודה F משיק לישר $\ell$. מצאו את שיעורי F ואת משוואת מעגל I. (רדיוס המעגל הוא המרחק של מרכזו מהמשיק.)

מעגל I משיק לישר $\ell$ בנקודה B. מצאו את שיעורי B, והראו שהיא נמצאת על ציר ה-$y$. (B היא עקב האנך מ-F לישר $\ell$.)

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים שרדיוסם $\sqrt2$ והמשיקים מבפנים למעגל I. (בהשקה מבפנים, המרחק בין המרכזים שווה להפרש הרדיוסים.)

מצאו את כל הערכים האפשריים של $r$.

הישר $\ell_2$ הוא מדריך של פרבולה קנונית. נסמן ב-$(c,0)$ את מרכזו של מעגל המשיק לפרבולה בשתי נקודות.

הביעו באמצעות $c$ את ריבוע הרדיוס של המעגל, ומצאו לאילו ערכי $c$ קיים מעגל כזה.

מצאו את משוואת המעגל המשיק לפרבולה בשתי נקודות ומשיק גם לישר $\ell_1$.

הביעו באמצעות $a$ את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות כל הנקודות $M$.

באחת מן הנקודות $M$, שנמצאת ברביע הראשון, העבירו ישר $\ell$ המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א. דרך הקודקוד $A$ העבירו מעגל המשיק לישרים $\ell$ ו-$AC$.

הוכיחו כי כאשר $M$ נעה ברביע הראשון, מרכזי כל המעגלים האלה נמצאים על ישר אחד, ומצאו את משוואתו באמצעות $a$.

נתון כי מרכז המעגל הוא $(2,2)$.

מצאו את $a$ ואת שיעורי הקודקודים $B$ ו-$C$.

האם יש נקודה $M$ ברביע הראשון שעבורה המעגל עובר דרך $M$? נמקו.

מצאו את משוואת הצלע $AB$.

בתוך המעוין חסום מעגל.

מצאו את משוואת המעגל.

הנקודה $M$ היא נקודת ההשקה של המעגל והמעוין ברביע הראשון.

מצאו את שיעורי הנקודה $M$.

מן הנקודה $M$ מורידים אנך לציר ה-$x$ החותך אותו בנקודה $K(a,0)$. על הישר $x=-a$ מסמנים נקודה $E$ ומעבירים דרכה ישר המקביל לציר ה-$x$. הישר המקביל חותך את האנך האמצעי לקטע $EK$ בנקודה $G$.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $G$ המתקבלות באופן זה נמצא על פרבולה, ומצאו את משוואתה.

הנקודה $N$ נמצאת ברביע הראשון על הפרבולה שאת משוואתה מצאתם. שיעור ה-$x$ של הנקודה $N$ הוא 4.

מצאו את משוואות שני המעגלים שמרכזם בנקודה $N$ והם משיקים למעגל החסום במעוין.

מן הנקודה $M$ מורידים אנך לציר ה-$x$ החותך אותו בנקודה $K(a,0)$. על הישר $x=-a$ מסמנים נקודה $E$ ומעבירים דרכה ישר המקביל לציר ה-$x$. הישר המקביל חותך את האנך האמצעי לקטע $EK$ בנקודה $G$.

הסבירו מדוע הנקודה $G$ נמצאת במרחק שווה מהנקודה $K$ ומהישר $x=-a$, ומצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $G$.

הנקודה $N$ נמצאת ברביע הראשון על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א, ושיעור ה-$x$ שלה הוא 10.

מצאו את משוואת המעגל שמרכזו $N$ והוא משיק מבחוץ למעגל החסום במעוין.