שאלות פתוחות: משיק לפרבולה בנקודה שעליה - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על משיק לפרבולה בנקודה שעליה, לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן מציאת נקודת ההשקה כשידוע היכן המשיק חותך את ציר ה-x, משיק שחותך את המדריך, שני משיקים מאונכים זה לזה, ומשיק שמקביל לישר נתון. רוב השאלות ברמה בינונית, לצד קלות וקשות. אפשר להרכיב מהן מבחן או דף עבודה בפרק הפרבולה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

40 שאלותקלה: 10בינונית: 24קשה: 6

שאלה 1 · משיק לפרבולה בנקודה שעליהשאלה קצרה · קלה

המשיק לפרבולה y2=16xy^2=16xy2=16x בנקודה AAA שעליה חותך את ציר ה-xxx בנקודה (−9,0)(-9,0)(−9,0). שיעור ה-yyy של הנקודה AAA חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודה AAA ואת משוואת המשיק.

שאלה 2 · משיק לפרבולה בנקודה שעליהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפרבולה y2=4xy^2=4xy2=4x שמוקדה FFF, והנקודה P(4,4)P(4,4)P(4,4) שעליה. המשיק לפרבולה בנקודה PPP חותך את ציר ה-yyy בנקודה NNN.

א.

מצאו את משוואת המשיק ואת שיעורי הנקודה NNN.

ב.

חשבו את גודל הזווית ∠FNP\angle FNP∠FNP.

שאלה 3 · משיק לפרבולה בנקודה שעליהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפרבולה y2=12xy^2=12xy2=12x שמוקדה FFF. המשיק לפרבולה בנקודה PPP שברביע הראשון חותך את מדריך הפרבולה בנקודה QQQ. נתון: FQ=10FQ=10FQ=10.

מצאו את כל האפשרויות לשיעורי הנקודה PPP.

שאלה 4 · מרחק מישרים, מעגל המשיק לשני ישרים ומעגל המשיק לפרבולהשאלה מלאה · קלה

נתונים הישרים שמשוואותיהם: ℓ1:3x+4y−22=0\ell_1: 3x+4y-22=0ℓ1​:3x+4y−22=0, ℓ2:x=−2\ell_2: x=-2ℓ2​:x=−2.
ℓ1ℓ2
MA

א.

(1)

הביעו באמצעות xxx ו-yyy את המרחק של נקודה (x,y)(x,y)(x,y) מהישר ℓ1\ell_1ℓ1​ ואת המרחק שלה מהישר ℓ2\ell_2ℓ2​.

(2)

מצאו את המשוואות המתארות את המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מן הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​.

ב.

מעגל שמרכזו M משיק לישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​. המעגל משיק לישר ℓ1\ell_1ℓ1​ בנקודה A(2,4)A(2,4)A(2,4), והמרכז M נמצא על הישר y=12x+8y=\frac12x+8y=21​x+8 (ראו סרטוט).

(1)

מצאו את משוואת הישר שעובר דרך A ומאונך ל-ℓ1\ell_1ℓ1​.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודה M ואת רדיוס המעגל.

ג.

הישר ℓ2\ell_2ℓ2​ הוא המדריך של הפרבולה y2=8xy^2=8xy2=8x.

הראו כי A נמצאת על הפרבולה, ובדקו אם הישר ℓ1\ell_1ℓ1​ משיק לפרבולה בנקודה A.

ד.

מעגל משיק לפרבולה בשתי נקודות שאחת מהן היא A. הסבירו מדוע מרכזו על ציר ה-xxx, ומצאו את משוואתו.

שאלה 5 · משיק לפרבולה בנקודה שעליהשאלה קצרה · בינונית

נתונים הפרבולה y2=8xy^2=8xy2=8x והישר 2x−3y+24=02x-3y+24=02x−3y+24=0.

מצאו את הנקודה על הפרבולה הקרובה ביותר לישר, וחשבו את המרחק בינה לבין הישר.

שאלה 6 · מקום גאומטרי של מרכזי מעגלים בין משיק לפרבולה לבין ניצבשאלה מלאה · קשה

במשולש ישר זווית ABCABCABC (∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘), שיעורי הקודקוד AAA הם: (a,0)(a,0)(a,0), aaa הוא פרמטר חיובי. שיעור ה-xxx של הקודקוד BBB הוא −a-a−a. הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx. הנקודה MMM היא אמצע הצלע BCBCBC.

א.

הביעו באמצעות aaa את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות כל הנקודות MMM.

ב.

באחת מן הנקודות MMM, שנמצאת ברביע הראשון, העבירו ישר ℓ\ellℓ המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א. דרך הקודקוד AAA העבירו מעגל המשיק לישרים ℓ\ellℓ ו-ACACAC.

הוכיחו כי כאשר MMM נעה ברביע הראשון, מרכזי כל המעגלים האלה נמצאים על ישר אחד, ומצאו את משוואתו באמצעות aaa.

ג.

נתון כי מרכז המעגל הוא (2,2)(2,2)(2,2).

מצאו את aaa ואת שיעורי הקודקודים BBB ו-CCC.

ד.

האם יש נקודה MMM ברביע הראשון שעבורה המעגל עובר דרך MMM? נמקו.

שאלה 7 · משיקים לשני מעגלים: מקום גאומטרי ומשיק לפרבולהשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל I שמשוואתו: x2+(y−3)2=9x^2+(y-3)^2=9x2+(y−3)2=9, ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: (x−4)2+(y−1)2=1(x-4)^2+(y-1)^2=1(x−4)2+(y−1)2=1, ומרכזו בנקודה L. M(x,y)M(x,y)M(x,y) היא נקודה מחוץ לשני המעגלים. מן הנקודה M מעבירים משיק למעגל I, שמשיק לו בנקודה A, ומשיק למעגל II, שמשיק לו בנקודה B.

א.

הסבירו מדוע המשולש MAK ישר-זווית, והראו כי MA2=x2+(y−3)2−9MA^2=x^2+(y-3)^2-9MA2=x2+(y−3)2−9.

ב.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות M שבעבורן MA=MBMA=MBMA=MB.

ג.

הנקודה M נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם, ושיעור ה-xxx שלה הוא 4. מצאו את האורך של MA ואת האורך של MB.

ד.

הנקודה M שמצאתם בסעיף ג נמצאת על הפרבולה y2=2pxy^2=2pxy2=2px.

מצאו את ppp ואת משוואת המשיק לפרבולה בנקודה M.

שאלה 8 · משיק לפרבולה בנקודה שעליהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפרבולה y2=4xy^2=4xy2=4x שמוקדה FFF, והנקודה A(4,4)A(4,4)A(4,4) שעליה. המשיק לפרבולה בנקודה AAA והמשיק לפרבולה בנקודה BBB שעליה מאונכים זה לזה.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה BBB.

ב.

חשבו את אורך המיתר ABABAB, והראו כי המיתר ABABAB עובר דרך המוקד FFF.

שאלה 9 · מעגל משתנה סביב מוקד הפרבולה: מהיחס בין מרחקים לפרמטרשאלה מלאה · קשה

נתונות הנקודות A(4−a, 0)A(4-a,\,0)A(4−a,0) ו-B(4+a, 0)B(4+a,\,0)B(4+a,0), כאשר a>4a>4a>4 הוא פרמטר. הנקודה PPP מקיימת ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ∠APB=90∘.

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות PPP נמצא על מעגל, ומצאו את משוואתו. הביעו באמצעות aaa.

ב.

אמצע הקטע ABABAB הוא מוקד של פרבולה שמשוואתה קנונית. הפרבולה והמעגל נחתכים ברביע הראשון בנקודה CCC.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי הנקודה CCC.

ג.

הישר ℓ\ellℓ משיק לפרבולה בנקודה CCC.

הביעו באמצעות aaa את המרחק של מרכז המעגל מהישר ℓ\ellℓ.

ד.

מעבירים שני משיקים למעגל המקבילים לישר ℓ\ellℓ. נתון כי המרחק בין ℓ\ellℓ לאחד המשיקים גדול פי 3 מהמרחק בין ℓ\ellℓ למשיק האחר.

מצאו את הערך של aaa, ואת המרחקים בין ℓ\ellℓ לשני המשיקים.

שאלה 10 · משיק לפרבולה בנקודה שעליהשאלה קצרה · קלה

הנקודה P(3,−6)P(3,-6)P(3,−6) נמצאת על הפרבולה y2=2pxy^2=2pxy2=2px.

א.

מצאו את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה P.

ב.

המשיק חותך את ציר ה-xxx בנקודה N. מצאו את שיעורי N, והראו כי מרחק N מראשית הצירים שווה לשיעור ה-xxx של P.

עוד 24 שאלות על משיק לפרבולה בנקודה שעליה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חוצי זווית ומעגלים המשיקים לישרים ולפרבולה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים הישרים שמשוואותיהם: $\ell_1: 5y-12x+140=0$ , $\ell_2: x=-5$ .
פרבולה עם פרמטר: מעגל משיק ומקום גאומטרי דרך הראשית (שאלה מלאה · קשה)
נתונה פרבולה שמשוואתה: $y^2=2px$ , $p>0$ הוא פרמטר. בנקודה $A$ , שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו $\frac34$ .
מקום גאומטרי של אמצע היתר: פרבולה, מוקד ומעגל (שאלה מלאה · קלה)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ), שיעורי הקודקוד $A$ הם $(3,0)$ . שיעור ה- $x$ של הקודקוד $B$ הוא $-3$ . הצלע $BC$ מקבילה לציר…
משיק לפרבולה בנקודה שעליה (שאלה קצרה · בינונית)
הישר $x=-1$ הוא המדריך של פרבולה קנונית. הנקודה A נמצאת על הפרבולה, ושיעור ה- $y$ שלה הוא 6.
פרבולה ומשיק בנקודה כללית: נקודת ההשקה, בעיה הפוכה ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפרבולה $y^2=2px$ , $p>0$ , ו-F הוא המוקד שלה. A היא נקודה על הפרבולה ברביע הראשון, ושיעור ה- $y$ שלה הוא $t$ ( $t>0$ ). $\ell$ הוא המשיק…
מעגל שקוטרו קטע, פרבולה ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הנקודות $A(-8,0)$ ו- $B(17,0)$ . הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB=90^\circ$ .
שני מעגלים ומשיקים: מקום גאומטרי, שטח משולש ומשיק לפרבולה (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל I שמשוואתו: $(x-4)^2+(y-1)^2=4$ , ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: $(x+2)^2+(y-4)^2=1$ , ומרכזו בנקודה L. הנקודה A נמצאת על…
המשיק לפרבולה ועקב האנך מהמוקד על ציר ה-y (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפרבולה $y^2=2px$ , $p>0$ , ו-F הוא המוקד שלה. A היא נקודה על הפרבולה ברביע הראשון, ושיעור ה- $y$ שלה הוא $t$ ( $t>0$ ). $\ell$ הוא המשיק…
פרבולה, מעגל שמרכזו על ציר ה-x, ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פרבולה שמשוואתה: $y^2=16x$ . בנקודה $A$ , שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו 1.
שני מעגלים: המשיק הקצר ביותר וזווית ישרה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים המעגלים: $(x-1)^2+(y-2)^2=1$ , שמרכזו בנקודה K, ו- $(x-6)^2+(y-7)^2=31$ , שמרכזו בנקודה L. מנקודה M שמחוץ לשני המעגלים מעבירים משיק אחד…
משיק לפרבולה בנקודה שעליה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה פרבולה שמשוואתה: $y^2=20x$ . בנקודה $A$ , שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו $\frac12$ .
מקום גאומטרי של אמצע היתר: פרבולה אנכית, משיק ומעגל (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ), שיעורי הקודקוד $A$ הם: $(0,a)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מאפס. שיעור ה- $y$ של הקודקוד $B$ הוא…
פרבולה, משיק ומעגל שמרכזו במוקד (מספרים נתונים) (שאלה מלאה · קלה)
נתון הישר $y=2x$ ונתונה הפרבולה $y^2=8x$ . הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר. נסמן ב- $\ell$ את המשיק לפרבולה…
משיק לפרבולה בנקודה שעליה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפרבולה $x^2=8y$ . הנקודה $F$ היא מוקד הפרבולה, והנקודה $P(8,8)$ נמצאת על הפרבולה.
האם ישר העובר בנקודה של הפרבולה משיק לה (שאלה קצרה · קלה)
נתונים הישרים שמשוואותיהם: $\ell_1: 3x+4y-22=0$ , $\ell_2: x=-2$ . הנקודה $A(2,4)$ נמצאת על הישר $\ell_1$ .
מעגל של זווית ישרה, פרבולה שמוקדה במרכזו ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(-8a,0)$ ו- $B(17a,0)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB=90^\circ$ .
מעגל של זווית ישרה, פרבולה הפתוחה שמאלה ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(-6a,0)$ ו- $B(4a,0)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB=90^\circ$ .
פרבולה, מעגל המשיק לה ולציר ה-x, ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פרבולה שמשוואתה: $y^2=64x$ . בנקודה $A$ , שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו $\frac43$ .
פרבולה, משיק בשיפוע שלילי, מעגל המשיק לציר ה-y ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פרבולה שמשוואתה: $y^2=50x$ . בנקודה $A$ , שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו $-\frac{5}{12}$ .
פרבולה וישר $y = 2 x$ : מעגל שמרכזו במוקד ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתון הישר $y=2x$ ונתונה הפרבולה $y^2=2px$ . $p$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר.
משיק לפרבולה בנקודה שעליה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפרבולה $y^2=12x$ . הנקודה $A(12,12)$ נמצאת על הפרבולה, ו-F הוא מוקד הפרבולה.
פרבולה וישר שאינו עובר בראשית: מעגל שמרכזו במוקד ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתון הישר $y=x-1.5p$ ונתונה הפרבולה $y^2=2px$ . $p$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר.
משיק לפרבולה x²=4ay המקביל לצלע של משולש ישר-זווית (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ), שיעורי הקודקוד $A$ הם: $(0,a)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מאפס. שיעור ה- $y$ של הקודקוד $B$ הוא…
נקודת ההשקה לפי שיפוע המשיק, ומעגל המשיק לפרבולה באותה נקודה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה פרבולה שמשוואתה: $y^2=16x$ . בנקודה $A$ , שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו 1.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חוצי זווית, מעגל המשיק לשני ישרים ומעגל המשיק לפרבולה · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1
נתונים הישרים שמשוואותיהם: $\ell_1: 4y-3x-20=0$ , $\ell_2: x=-4$ .
שני מעגלים ומשיקים: מקום גאומטרי, שטח משולש ומשיק לפרבולה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
נתון מעגל I שמשוואתו: $(x-3)^2+(y-4)^2=9$ , ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: $(x+5)^2+(y-2)^2=1$ , ומרכזו בנקודה L. הנקודה A נמצאת על מעגל I, והנקודה B…
מקום גאומטרי של אמצע היתר: פרבולה, משיק ומעגל בין ישרים מקבילים · בגרות 572 חורף 2024, שאלה 1
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ), שיעורי הקודקוד $A$ הם: $(a,0)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מאפס. שיעור ה- $x$ של הקודקוד $B$ הוא $-a$ . הצלע $BC$ מקבילה…
מקום גאומטרי של זווית ישרה, פרבולה ומשיקים מקבילים · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 1
נתונות הנקודות $A(-9a,0)$ ו- $B(41a,0)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB=90^\circ$ .
פרבולה, מעגל המשיק לה ולציר, ומקום גאומטרי של נקודות על משיקים · בגרות 572 קיץ 2026 מועד א', שאלה 1
נתונה פרבולה שמשוואתה: $y^2=54x$ . בנקודה $A$ , שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו $\frac34$ .
פרבולה, משיק ומעגל שמרכזו במוקד: מקום גאומטרי של מרכזי מעגלים · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 1
נתון הישר $y=x$ ונתונה הפרבולה $y^2=2px$ . $p$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר.