שאלות פתוחות: קריאת גרף: תחומי חיוביות ושליליות ונקודות חיתוך עם הצירים - כיתה י' 5 יח"ל

שאלות פתוחות על קריאת גרף לכיתה י' 5 יחידות: תחומי חיוביות ושליליות ונקודות חיתוך עם הצירים. התלמידים קוראים תחומים מתוך גרף בתחום הגדרה מוגבל, משווים בין פרבולה לישר, מתאימים ביטוי אלגברי לגרף, מוצאים פונקציה ריבועית לפי תחום החיוביות שלה, ומנתחים רווח של מפעל כפונקציה של כמות הייצור. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. מכאן אפשר להרכיב בוחן או מבחן, עם פתרון מלא לכל שאלה וקובץ Word.

25 שאלותקלה: 8בינונית: 15קשה: 2

שאלה 1 · קריאת נקודות חיתוך ותחומי סימן מגרף בתחום סגורשאלה קצרה · קלה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) מוגדרת בתחום −6≤x≤4-6\le x\le4−6≤x≤4, ולפניכם הגרף שלה. קצות הגרף הם הנקודות (−6,−4)(-6,-4)(−6,−4) ו-(4,−4)(4,-4)(4,−4). נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים הן נקודות שריג (שני השיעורים שלהן מספרים שלמים).
-7-6-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-11234

היעזרו בגרף, ומצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים ואת תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה.

שאלה 2 · סימן של שתי פונקציות ושל המכפלה שלהן מגרףשאלה קצרה · בינונית

לפניכם הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (פרבולה) והגרף של הפונקציה g(x)g(x)g(x) (ישר). הגרף של f(x)f(x)f(x) חותך את ציר ה-xxx בנקודות (−4,0)(-4,0)(−4,0) ו-(2,0)(2,0)(2,0) בלבד, והגרף של g(x)g(x)g(x) חותך את ציר ה-xxx בנקודה (3,0)(3,0)(3,0) בלבד.
fg

א.

מצאו את התחומים שבהם שתי הפונקציות חיוביות.

ב.

מצאו את התחומים שבהם f(x)⋅g(x)<0f(x)\cdot g(x)<0f(x)⋅g(x)<0.

שאלה 3 · סימן של המכפלה x·f(x) לפי גרףשאלה קצרה · קשה

לפניכם הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת לכל xxx. הגרף חותך את ציר ה-xxx בנקודות (−3,0)(-3,0)(−3,0), (1,0)(1,0)(1,0) ו-(4,0)(4,0)(4,0) בלבד, ובכל אחת מהן הוא עובר מצד אחד של הציר לצד האחר. משמאל ל-x=−3x=-3x=−3 הגרף מתחת לציר ה-xxx, ומימין ל-x=4x=4x=4 הוא מעליו.

מצאו את כל ערכי xxx שעבורם x⋅f(x)<0x\cdot f(x)<0x⋅f(x)<0.

שאלה 4 · פונקציית רווח: מציאת מקדמים, נקודות אפס ותחומי רווח והפסדשאלת ביניים · בינונית

מפעל מייצר xxx מאות יחידות של מוצר בחודש, כאשר 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8. הרווח החודשי של המפעל (באלפי שקלים) הוא P(x)=−2x2+bx+cP(x)=-2x^2+bx+cP(x)=−2x2+bx+c, כאשר bbb ו-ccc מספרים. לפניכם הגרף של P(x)P(x)P(x). הגרף חותך את ציר ה-yyy בנקודה (0,−24)(0,-24)(0,−24), ואחת מנקודות החיתוך שלו עם ציר ה-xxx היא (2,0)(2,0)(2,0).
xP(0,-24)(2,0)

א.

מצאו את bbb ואת ccc.

ב.

מצאו את נקודת החיתוך האחרת של הגרף עם ציר ה-xxx. מה המשמעות של נקודות החיתוך עם ציר ה-xxx ועם ציר ה-yyy במפעל?

ג.

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של P(x)P(x)P(x) בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8, וכתבו מה המשמעות שלהם במפעל.

שאלה 5 · מציאת פרבולה לפי תחום החיוביות שלהשאלת ביניים · קשה

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה ריבועית. ידוע כי f(x)>0f(x)>0f(x)>0 בדיוק בתחום −2<x<4-2<x<4−2<x<4, וכי הגרף של f(x)f(x)f(x) עובר בנקודה (2,16)(2,16)(2,16).

א.

מצאו את f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים ואת שיעורי הקדקוד.

ג.

מצאו את התחום שבו f(x)>16f(x)>16f(x)>16. הסבירו בעזרת הסימטריה של הפרבולה.

שאלה 6 · זיהוי פולינום מגרף ותחום ההגדרה של שורש הפולינוםשאלת ביניים · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת לכל xxx. אחד מן הביטויים I-IV שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x)f(x)f(x).
f(x)

א.

קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקציה f(x)f(x)f(x), נמקו את קביעתכם:
I. f(x)=−x(x+5)(x−6)f(x)=-x(x+5)(x-6)f(x)=−x(x+5)(x−6)
II. f(x)=−(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)f(x)=-(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)f(x)=−(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)
III. f(x)=(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)f(x)=(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)f(x)=(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)
IV. f(x)=−(x+5)(x−1)(x−2)(x−6)f(x)=-(x+5)(x-1)(x-2)(x-6)f(x)=−(x+5)(x−1)(x−2)(x−6)

ב.

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​.
מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

שאלה 7 · פונקציה אי-זוגית: אפסים, מינימום וסימן מנתונים חלקייםשאלה קצרה · בינונית

נתון כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית ורציפה המוגדרת לכל xxx. לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד ובה x=1x=1x=1, ו-f(2)=0f(2)=0f(2)=0.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx ואת שיעור ה-xxx של נקודת המינימום של f(x)f(x)f(x), ורשמו את תחומי החיוביות והשליליות של f(x)f(x)f(x).

שאלה 8 · מציאת פרמטרים מזוגיות ושימוש בסימטריהשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x4+(a−2)x3−34x2+(b−3)x+225f(x)=x^4+(a-2)x^3-34x^2+(b-3)x+225f(x)=x4+(a−2)x3−34x2+(b−3)x+225, כאשר aaa ו-bbb פרמטרים. ידוע כי f(x)f(x)f(x) היא פונקציה זוגית.

א.

מצאו את aaa ואת bbb.

ב.

הציבו a=2a=2a=2, b=3b=3b=3 ומצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג.

ידוע כי (17,−64)(\sqrt{17},-64)(17​,−64) היא נקודת מינימום של f(x)f(x)f(x). היעזרו בזוגיות ומצאו נקודת מינימום נוספת של f(x)f(x)f(x). הראו כי f(x)<225f(x)<225f(x)<225 לכל xxx שמקיים 0<x2<340<x^2<340<x2<34, והסיקו ש-(0,225)(0,225)(0,225) היא נקודת מקסימום של f(x)f(x)f(x).

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (17)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פרבולה: פרמטר, חיתוך עם הצירים וסימן (שאלת ביניים · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2+bx-8$ , כאשר $b$ פרמטר. הגרף של הפונקציה עובר בנקודה $(1,-9)$ .
חקר: כמה נקודות חיתוך עם הצירים יכולות להיות לפרבולה (שאלה מלאה · בינונית)
בשאלה זו נחקור כמה נקודות חיתוך עם הצירים (עם שני הצירים יחד) יכולות להיות לגרף של פונקציה ריבועית. נקודה…
מהגרף לביטוי: נקודות חיתוך והצגה כמכפלה (שאלת ביניים · בינונית)
לפניכם הגרף של הפונקציה הריבועית $f$ . כל משבצת ברשת היא יחידה אחת בכל ציר.
ישר שעובר דרך שתי נקודות חיתוך של פרבולה עם הצירים (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-2x-8$ .
שלוש נקודות חיתוך במרחק שווה מראשית הצירים (שאלת ביניים · בינונית)
הגרף של הפונקציה הריבועית $f(x)=x^2+bx+c$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $A$ ו- $B$ , ואת ציר ה- $y$ בנקודה $C$ .…
התאמת ביטוי לגרף לפי נקודות החיתוך עם שני הצירים (שאלה קצרה · קלה)
לפניכם הגרף של פונקציה ריבועית. כל משבצת ברשת היא יחידה אחת בכל ציר. נתונים ארבעה ביטויים: (1) $y=(x-1)(x+3)$ …
מתי פרבולה בטוח חותכת את ציר ה- $x$ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה פונקציה ריבועית $f(x)=ax^2+bx+c$ , כאשר $a\neq 0$ .
עלייה, ירידה ונקודת אפס: מה אפשר להסיק על הסימן (שאלה קצרה · בינונית)
בכל סעיף הפונקציה מוגדרת לכל $x$ , והגרף שלה הוא קו רציף אחד.
לוחות סולאריים: מתי קונים חשמל ומתי מוכרים (שאלה מלאה · קלה)
על הגג של משפחת לוי יש לוחות סולאריים. $N(t)$ הוא הצריכה נטו של הבית (בקילוואט) בשעה $t$ ביממה (…
חקר: הסימן של $a (x - p)^{2} + k$ לפי הסימנים של $a$ ושל $k$ (שאלה מלאה · בינונית)
בשאלה זו נחקור מתי פונקציה ריבועית בהצגה הקדקודית $f(x)=a(x-p)^2+k$ (כאשר $a\neq 0$ ) חיובית ומתי היא שלילית.
פרבולה בתחום סגור: תחומי הסימן ושני ערכים שליליים (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-5x-6$ , המוגדרת רק בתחום $-2\le x\le 7$ .
נקודת אפס שלא נמצאת על נקודת רשת (שאלת ביניים · קלה)
הפונקציה $f$ מוגדרת רק בתחום $-4\le x\le 6$ . הגרף שלה בנוי מקטעים ישרים בין הנקודות $(-4,-2)$ , $(-2,2)$ ,…
ישר עם מקדם לא ידוע בתחום מוגבל: מתי הפונקציה חיובית (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=mx+6$ , כאשר $m$ הוא מספר. הפונקציה מוגדרת רק בתחום $0\le x\le 4$ .
יתרה בבנק: חיובית אינו אומר עולה (שאלה קצרה · קלה)
הגרף מתאר את היתרה בחשבון הבנק של מועדון ספורט שכונתי במשך שנה. $t$ הוא מספר החודשים מתחילת השנה (…
חיתוך מול השקה: חיוביות ו- $f (x) \leq 0$ (שאלה קצרה · קלה)
לפניכם הגרף של הפונקציה $f$ , המוגדרת לכל $x$ . הגרף ממשיך באותה מגמה מעבר לגבולות הסרטוט (בשני הצדדים כלפי…
כדור שנזרק מגג: מעל גובה הגג ומתחתיו (שאלה קצרה · קלה)
יואב זורק כדור כלפי מעלה מגג של בניין שגובהו $15$ מטרים. הכדור עולה, יורד ופוגע בקרקע ליד הבניין. הגובה של…
מה אפשר להסיק מהסימן בשתי נקודות (שאלה קצרה · בינונית)
בכל סעיף נתונה טענה על פונקציה $f$ המוגדרת לכל $x$ . קבעו אם הטענה נכונה. אם היא נכונה, הסבירו למה. אם היא לא…