שאלות פתוחות: קריאת גרף: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון - כיתה י' 5 יח"ל

אוסף שאלות פתוחות על קריאת גרף לכיתה י' 5 יחידות: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון. יש קריאה של גרף שבור בתחום הגדרה נתון, סרטוט סקיצה לפי תיאור של תחומי עלייה וירידה, פונקציה מפוצלת משתי פרבולות, השלמת גרף של פונקציה זוגית, וגובה של שביל הליכה לפי המרחק מתחילתו. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. בחרו את השאלות לבוחן או לדף עבודה, ולכל אחת תקבלו פתרון מלא וייצוא ל-Word.

26 שאלותקלה: 11בינונית: 11קשה: 4

שאלה 1 · קריאת תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון וערך גדול ביותר מגרףשאלה קצרה · קלה

בסרטוט שלפניכם הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת בתחום −4≤x≤7-4\le x\le7−4≤x≤7. הגרף מתחיל בנקודה (−4,−3)(-4,-3)(−4,−3), עולה עד הנקודה (−1,4)(-1,4)(−1,4), יורד עד הנקודה (3,−2)(3,-2)(3,−2) ועולה עד הנקודה (7,5)(7,5)(7,5), שבה הוא מסתיים.
f(x)
(-4,-3)(-1,4)(3,-2)(7,5)

א.

מצאו את תחומי העלייה ואת תחום הירידה של הפונקציה, ואת נקודות הקיצון הפנימיות שלה (נקודות קיצון שאינן בקצות התחום). קבעו את סוג כל נקודה.

ב.

מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בתחום ההגדרה שלה, ובאיזה xxx הוא מתקבל? מהו הערך הקטן ביותר שלה, ובאיזה xxx הוא מתקבל?

שאלה 2 · נקודות קיצון והשוואת ערכים לפי תחומי עלייה וירידהשאלה קצרה · בינונית

הפונקציה f(x)f(x)f(x) רציפה ומוגדרת לכל xxx. ידוע כי f(x)f(x)f(x) עולה בתחום x<−2x<-2x<−2, יורדת בתחום −2<x<4-2<x<4−2<x<4 ועולה בתחום x>4x>4x>4. כמו כן נתון: f(−2)=6f(-2)=6f(−2)=6, f(4)=−3f(4)=-3f(4)=−3.

א.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוג כל אחת מהן.

ב.

עבור כל אחד מהזוגות הבאים קבעו איזה משני המספרים גדול יותר, או הסבירו מדוע אי אפשר לקבוע זאת מהנתונים.
(1) f(0)f(0)f(0) ו-f(2)f(2)f(2)
(2) f(−4)f(-4)f(−4) ו-f(−3)f(-3)f(−3)
(3) f(1)f(1)f(1) ו-f(6)f(6)f(6)

שאלה 3 · עלייה, ירידה וקיצון של פונקציה המוגדרת בשני חלקיםשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה 
f(x)={x2+4x,x≤0−x2+6x,x>0f(x)=\begin{cases}x^2+4x, & x\le0\\-x^2+6x, & x>0\end{cases}f(x)={x2+4x,−x2+6x,​x≤0x>0​

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ואת נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן. האם הנקודה (0,0)(0,0)(0,0) היא נקודת קיצון של הפונקציה? נמקו.

שאלה 4 · השלמת גרף של פונקציה זוגית ונקודות הקיצון שלהשאלה קצרה · קלה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) זוגית ומוגדרת לכל xxx. לפניכם הגרף של f(x)f(x)f(x) בתחום −6<x<0-6<x<0−6<x<0.
(בגרף מסומנים: f(−6)=−3f(-6)=-3f(−6)=−3, נקודת החיתוך עם ציר ה-xxx ב-x=−4x=-4x=−4, נקודת המקסימום (−2,3)(-2,3)(−2,3) והנקודה (0,1)(0,1)(0,1). fff עולה ב-−6<x<−2-6<x<-2−6<x<−2 ויורדת ב-−2<x<0-2<x<0−2<x<0.)
f(x)
(-6,-3)-4(-2,3)1

השלימו את הגרף של f(x)f(x)f(x) בתחום −6<x<6-6<x<6−6<x<6, ורשמו את נקודות החיתוך שלו עם ציר ה-xxx ואת נקודות הקיצון שלו בתחום זה.

שאלה 5 · גובה שביל הליכה: עלייה, ירידה וקיצון בהקשרשאלת ביניים · בינונית

הגרף שלפניכם מתאר את הגובה של שביל הליכה מעל פני הים (במטרים), לפי המרחק מתחילת השביל (בק"מ). אורך השביל 121212 ק"מ. נסמן ב-h(x)h(x)h(x) את הגובה במרחק xxx ק"מ מתחילת השביל, 0≤x≤120\le x\le120≤x≤12.
השביל מתחיל בגובה 300300300 מטרים, עולה עד גובה 700700700 מטרים במרחק 333 ק"מ, יורד עד גובה 500500500 מטרים במרחק 555 ק"מ, עולה עד גובה 900900900 מטרים במרחק 999 ק"מ, ויורד עד סוף השביל, שבו הגובה 400400400 מטרים.
‫המרחק מתחילת השביל (קילומטרים)‬‫הגובה (מטרים)‬01234567891011121301002003004005006007008009001000(0,300)(3,700)(5,500)(9,900)(12,400)

א.

מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה h(x)h(x)h(x), ואת נקודות הקיצון הפנימיות שלה (שאינן בקצות השביל). קבעו את סוג כל נקודה.

ב.

מהי הנקודה הגבוהה ביותר בשביל ומהי הנקודה הנמוכה ביותר בו? רשמו את הגובה בכל אחת מהן ואת המרחק שלה מתחילת השביל. היעזרו בסעיף א ובגובה בקצות השביל.

ג.

מטייל הולך לאורך כל השביל, מתחילתו ועד סופו. כמה מטרים בסך הכול הוא מטפס (בתחומי העלייה), וכמה מטרים בסך הכול הוא יורד (בתחומי הירידה)? בדקו שההפרש בין שני המספרים שווה להפרש בין הגובה בסוף השביל לגובה בתחילתו.

שאלה 6 · קיצון בקצות התחום ומספר הפתרונות של f(x)=kשאלת ביניים · קשה

בסרטוט שלפניכם הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת בתחום −5≤x≤6-5\le x\le6−5≤x≤6. הגרף מתחיל בנקודה (−5,2)(-5,2)(−5,2), יורד עד הנקודה (−3,−4)(-3,-4)(−3,−4), עולה עד הנקודה (1,5)(1,5)(1,5), יורד עד הנקודה (4,−1)(4,-1)(4,−1) ועולה עד הנקודה (6,3)(6,3)(6,3), שבה הוא מסתיים.
f(x)
(-5,2)(-3,-4)(1,5)(4,-1)(6,3)

א.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x) ואת כל נקודות הקיצון שלה, כולל נקודות קיצון בקצות התחום. קבעו את סוג כל נקודה.

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x), ורשמו את קבוצת כל הערכים ש-f(x)f(x)f(x) מקבלת.

ג.

מצאו את כל הערכים של kkk שעבורם למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k יש בדיוק שני פתרונות.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (20)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

עגורים בעמק החולה: מתי מספרם עלה ומתי ירד (שאלה מלאה · קלה)
בכל חורף עוצרים בעמק החולה עשרות אלפי עגורים. הגרף מתאר את מספר העגורים בעמק (באלפים) במשך חורף אחד. $x$ הוא…
מחיר כרטיס להצגה: מתי העלאת מחיר מגדילה את ההכנסה (שאלה מלאה · בינונית)
לקראת הצגת סוף השנה, ועד ההורים מעריך שאם מחיר כרטיס יהיה $p$ שקלים, יימכרו $600-10p$ כרטיסים (עבור…
חקר: הפונקציה $y = x^{2}$ בקטעים קצרים (שאלה מלאה · קשה)
בשאלה זו חוקרים את הפונקציה $f(x)=x^2$ , כשמסתכלים עליה רק בחלק מערכי $x$ .
טיסה בכדור פורח: מתי הכדור עלה, מתי ירד ומתי שמר על גובה (שאלת ביניים · קלה)
הגרף מתאר את הגובה של כדור פורח מעל הקרקע (במטרים) במהלך טיסה אחת. $x$ הוא הזמן (בדקות) מרגע ההמראה, ו- $y$ הוא…
פרבולה בהצגה סטנדרטית: תחומי עלייה וירידה והשוואת ערכים בלי חישוב (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=-x^2-2x+15$ .
בדיקת דוח על גרף עם שתי פסגות (שאלת ביניים · בינונית)
לפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)$ בכל התחום שבו היא מוגדרת, $-6\le x\le 6$ . הגרף בנוי מקטעים ישרים, ונקודות…
למצוא פרבולה מתחומי העלייה והירידה שלה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2+bx+c$ , כאשר $b$ ו- $c$ מספרים. ידוע ש- $f(x)$ יורדת בתחום $x<4$ ועולה בתחום $x>4$ ,…
תחומי עלייה וירידה מגרף ונקודות המעבר ביניהם (שאלה קצרה · קלה)
לפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . הגרף ממשיך באותה מגמה מעבר לגבולות הסרטוט (בשני הצדדים כלפי…
מנקודות הקיצון לתחומי העלייה והירידה (שאלה קצרה · בינונית)
בכל סעיף הפונקציה מוגדרת לכל $x$ , הגרף שלה הוא קו רציף אחד בלי קטעים אופקיים, ואין לה נקודות קיצון מלבד…
עלייה, ירידה ונקודת אפס: מה אפשר להסיק על הסימן (שאלה קצרה · בינונית)
בכל סעיף הפונקציה מוגדרת לכל $x$ , והגרף שלה הוא קו רציף אחד.
יתרה בבנק: חיובית אינו אומר עולה (שאלה קצרה · קלה)
הגרף מתאר את היתרה בחשבון הבנק של מועדון ספורט שכונתי במשך שנה. $t$ הוא מספר החודשים מתחילת השנה (…
ארבע פונקציות: קיצון מקומי, קיצון מוחלט ופונקציה בלי קיצון (שאלה מלאה · קלה)
נתונות ארבע פונקציות המוגדרות לכל $x$ : $f(x)=2(x-3)^2-1$ , $g(x)=4-3x$ , ושתי פונקציות $h(x)$ ו- $k(x)$ שנתונים…
מחיר של מניה: מתי לקנות ומתי למכור (שאלה מלאה · בינונית)
הגרף מתאר את המחיר (בש"ח) של מניה אחת של חברה במשך $8$ ימי מסחר. $t$ הוא הזמן בימים מתחילת המעקב, ו- $p(t)$ הוא…
סוללת הטלפון: מקסימום מקומי ומקסימום מוחלט במהלך יום (שאלת ביניים · קלה)
הגרף מתאר את אחוז הטעינה של הסוללה בטלפון של יעל במהלך יום אחד, משעה $6$ בבוקר ועד שעה $22$ בלילה. $t$ היא…
פונקציה שמוגדרת מנקודה מסוימת והלאה: ערך גדול ביותר וקטן ביותר (שאלת ביניים · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת רק עבור $x\ge -3$ . הגרף שלה מתחיל בנקודה $(-3,-4)$ . מימין לחלק המסורטט הגרף ממשיך לעלות…
פרבולה בתחום $0 \leq x \leq t$ : מתי הקדקוד ומתי הקצה קובעים (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-6x+3$ .
אותה נקודת מקסימום: מתי היא מוחלטת ומתי מקומית (שאלת ביניים · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=-(x+2)^2+4$ . לפניכם הגרף של פונקציה אחרת, $g(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . מחוץ לחלק המסורטט הגרף…
פרבולה בתחום מוגבל: הערך הגדול ביותר בקצוות התחום (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+2)^2-3$ .
בדיקת דוח: מקסימום מקומי, הערך הגדול ביותר וערך המינימום (שאלה קצרה · קלה)
לפניכם הגרף של הפונקציה $g(x)$ , המוגדרת רק בתחום $-5\le x\le 5$ . נקודות הקיצון של הגרף ושתי נקודות הקצה שלו…
טענות על נקודות קיצון: דוגמה נגדית והסבר (שאלה קצרה · בינונית)
בשאלה זו כל הפונקציות מוגדרות לכל $x$ , והגרף של כל אחת מהן הוא קו אחד רציף, בלי קפיצות ובלי חלקים אופקיים.