שאלות פתוחות: נקודות חיתוך של פולינום עם הצירים - כיתה י' 5 יח"ל

בדף הזה 7 שאלות פתוחות במתמטיקה על נקודות חיתוך של פולינום עם הצירים, לתלמידי כיתה י' 5 יח"ל, מתוך הנושא "חקירת פונקציה פולינומיאלית". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · נקודות החיתוך של פולינום ממעלה שלישית עם הציריםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−x2−12xf(x)=x^3-x^2-12xf(x)=x3−x2−12x.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

שאלה 2 · נקודות חיתוך עם הצירים: פירוק בקיבוץ איברים ומשוואה דו-ריבועיתשאלה קצרה · בינונית

בשאלה זו שני סעיפים שאינם תלויים זה בזה.

א.

נתונה הפונקציה f(x)=2x3−x2−18x+9f(x)=2x^3-x^2-18x+9f(x)=2x3−x2−18x+9. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=x4−3x2−4g(x)=x^4-3x^2-4g(x)=x4−3x2−4. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

שאלה 3 · נקודות החיתוך עם ציר ה-x של פולינום עם פרמטרשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה g(x)=x3(x4−a)2g(x)=x^3(x^4-a)^2g(x)=x3(x4−a)2, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות החיתוך של גרף g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx. הביעו באמצעות aaa אם יש צורך.

שאלה 4 · נקודות חיתוך עם הצירים של פולינום הנתון כמכפלה ושל פולינום עם גורם משותףשאלה קצרה · קלה

בשאלה זו שני סעיפים שאינם תלויים זה בזה.

א.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)(x−1)2f(x)=(x+2)(x-1)^2f(x)=(x+2)(x−1)2. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=x4−16x2g(x)=x^4-16x^2g(x)=x4−16x2. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

שאלה 5 · פרמטר מנקודה על ציר ה-x, כל נקודות החיתוך ושטח משולששאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2−4x−12f(x)=x^3+ax^2-4x-12f(x)=x3+ax2−4x−12, כאשר aaa פרמטר. גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xxx בנקודה (−2,0)(-2,0)(−2,0).

א.

מצאו את aaa.

ב.

הציבו a=3a=3a=3, ומצאו את כל נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג.

נסמן ב-AAA את נקודת החיתוך השמאלית ביותר של הגרף עם ציר ה-xxx, ב-BBB את נקודת החיתוך הימנית ביותר של הגרף עם ציר ה-xxx, וב-CCC את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy. חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 6 · נקודות קיצון ונקודות חיתוך עם ציר ה-x של פולינום עם פרמטרשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3a2x+2a3f(x)=x^3-3a^2x+2a^3f(x)=x3−3a2x+2a3, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx.

שאלה 7 · נקודות חיתוך של פולינום ממעלה שלישית כשאחד השורשים נתוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3−7x+6f(x)=x^3-7x+6f(x)=x3−7x+6.

הראו כי x=1x=1x=1 הוא פתרון של המשוואה f(x)=0f(x)=0f(x)=0, ומצאו את כל נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.