שאלות פתוחות: מספר הפתרונות של f(x)=k מתוך החקירה - כיתה י' 5 יח"ל

בדף הזה 7 שאלות פתוחות במתמטיקה על מספר הפתרונות של f(x)=k מתוך החקירה, לתלמידי כיתה י' 5 יח"ל, מתוך הנושא "חקירת פונקציה פולינומיאלית". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · מספר הפתרונות של f(x)=k לפי נקודות הקיצוןשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−27x+10f(x)=x^3-27x+10f(x)=x3−27x+10.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן. היעזרו בהן וקבעו כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=0f(x)=0f(x)=0 וכמה פתרונות יש למשוואה f(x)=64f(x)=64f(x)=64.

שאלה 2 · נקודה שבה הנגזרת מתאפסת ואינה קיצון, ומספר הפתרונותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=3x4+8x3f(x)=3x^4+8x^3f(x)=3x4+8x3.

האם יש ערך של kkk שבעבורו למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k יש בדיוק שלושה פתרונות? נמקו. מצאו גם את הערך של kkk שבעבורו למשוואה יש פתרון יחיד.

שאלה 3 · שלושה פתרונות בפולינום עם שלוש נקודות קיצוןשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=3x4−16x3+18x2f(x)=3x^4-16x^3+18x^2f(x)=3x4−16x3+18x2.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k יש בדיוק שלושה פתרונות.

שאלה 4 · מספר הפתרונות של f(x)=k כשנקודות הקיצון נתונותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x3−6x+1f(x)=2x^3-6x+1f(x)=2x3−6x+1. לפונקציה יש נקודת מקסימום (−1,5)(-1,5)(−1,5) ונקודת מינימום (1,−3)(1,-3)(1,−3), ואין לה נקודות קיצון נוספות.

א.

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=2f(x)=2f(x)=2? נמקו.

ב.

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=5f(x)=5f(x)=5? נמקו.

שאלה 5 · פונקציה זוגית ממעלה רביעית: מספר הפתרונות לפי kשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x4−18x2+32f(x)=x^4-18x^2+32f(x)=x4−18x2+32.

א.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ב.

היעזרו בסעיף א וקבעו, לכל ערך של kkk, כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k.

ג.

מצאו את הערך של kkk שבעבורו למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k יש בדיוק שלושה פתרונות, ופתרו את המשוואה בעבור ערך זה.

שאלה 6 · מציאת קבוע לפי מספר הפתרונות, ומספר הפתרונות של f(x)=kשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−75x+cf(x)=x^3-75x+cf(x)=x3−75x+c, כאשר ccc הוא מספר חיובי. ידוע שלמשוואה f(x)=0f(x)=0f(x)=0 יש בדיוק שני פתרונות.

א.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן. הביעו באמצעות ccc את ערכי הפונקציה בנקודות אלה, ומצאו את ccc.

ב.

הציבו את ccc שמצאתם ופתרו את המשוואה f(x)=0f(x)=0f(x)=0.

ג.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k יש בדיוק שלושה פתרונות.

שאלה 7 · מספר הפתרונות של משוואה לפי נקודות הקיצוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3−12x+11f(x)=x^3-12x+11f(x)=x3−12x+11.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן. הסבירו בעזרתן מדוע למשוואה x3−12x+11=0x^3-12x+11=0x3−12x+11=0 יש בדיוק שלושה פתרונות (אין צורך למצוא אותם).