שאלות פתוחות: משפט הסינוסים והמעגל החוסם: a/sinα=2R - כיתה י' 5 יח"ל

שאלות פתוחות על משפט הסינוסים והמעגל החוסם, a/sinα=2R, לכיתה י' 5 יחידות. יש מציאת רדיוס המעגל החוסם לפי צלע וזווית, מציאת צלעות וזוויות של משולש חסום לפי הרדיוס, משיק למעגל בקודקוד של משולש חסום, משולש שווה שוקיים חסום, ומשולש שהצלעות שלו נתונות בעזרת פרמטר. רוב השאלות ברמה בינונית. מכאן מרכיבים מבחן או דף עבודה בטריגונומטריה, עם פתרונות מלאים וקובץ Word.

10 שאלותקלה: 1בינונית: 6קשה: 3

שאלה 1 · צלע וזווית ממשפט הסינוסים עם רדיוס המעגל החוסםשאלה קצרה · קלה

משולש KLMKLMKLM חסום במעגל שרדיוסו 777. נתון: ∠KLM=35∘\angle KLM=35^\circ∠KLM=35∘.

א.

חשבו את אורך הצלע KMKMKM.

ב.

נתון גם LM=10LM=10LM=10. מצאו את גודל הזווית ∠LKM\angle LKM∠LKM.

שאלה 2 · צלע שלישית משתי צלעות ורדיוס המעגל החוסםשאלה קצרה · בינונית

משולש ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו 555 ס"מ. נתון: AB=8AB=8AB=8 ס"מ, AC=6AC=6AC=6 ס"מ.

נתון כי הזוויות BBB ו-CCC במשולש חדות. מצאו את אורך הצלע BCBCBC.

שאלה 3 · יחס רדיוסים של שני משולשים עם זוויות צמודותשאלה קצרה · קשה

במשולש ABCABCABC נתון: AB=7AB=7AB=7, AC=10AC=10AC=10. הנקודה DDD נמצאת על הצלע BCBCBC, ו-∠ADB=70∘\angle ADB=70^\circ∠ADB=70∘.

א.

הראו כי היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDABDABD ובין רדיוס המעגל החוסם את המשולש ADCADCADC שווה ל-ABAC\frac{AB}{AC}ACAB​.

ב.

חשבו את שני הרדיוסים.

שאלה 4 · משיק, זווית היקפית ומשפט הסינוסים המורחבשאלת ביניים · בינונית

המשולש KLMKLMKLM חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא RRR. הישר TSTSTS משיק למעגל בנקודה KKK, כמתואר בסרטוט. נסמן: ∠TKL=α\angle TKL=\alpha∠TKL=α. נתון: ∠KLM=70∘\angle KLM=70^\circ∠KLM=70∘.
αKLMTS

א.

הביעו את אורכי הצלעות KLKLKL ו-KMKMKM באמצעות RRR ו-α\alphaα, אם יש צורך.

ב.

נתון: KM=1.5KLKM=1.5KLKM=1.5KL.
מצאו את α\alphaα.

שאלה 5 · משולש שווה שוקיים חסום במעגל: שני מקריםשאלת ביניים · קשה

משולש שווה שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC) חסום במעגל שרדיוסו 6.5 ס"מ. אורך הבסיס BC=12BC=12BC=12 ס"מ.

א.

מצאו את הזווית BACBACBAC. הבחינו בין שני מקרים.

ב.

מצאו את אורך השוק בכל אחד מהמקרים.

שאלה 6 · משפט הקוסינוסים ואחריו רדיוס המעגל החוסםשאלת ביניים · בינונית

במשולש KLM נתון: KL=2tKL=2tKL=2t, KM=5tKM=5tKM=5t, sin⁡∠K=0.6\sin\angle K=0.6sin∠K=0.6, והזווית K חדה.

א.

הביעו באמצעות ttt את אורך הצלע LM.

ב.

רדיוס המעגל החוסם את המשולש KLM הוא 13\sqrt{13}13​. מצאו את ttt.

שאלה 7 · משולש שווה-שוקיים: משוואה מרדיוס המעגל החוסםשאלה קצרה · קשה

בכל סעיף נתון משולש שווה-שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC). נסמן ב-RRR את רדיוס המעגל החוסם את המשולש. שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

נתון: R=ABR=ABR=AB. מצאו את זוויות המשולש.

ב.

נתון: אורך הגובה לבסיס BCBCBC שווה ל-32R\frac32R23​R. מצאו את זוויות המשולש.

שאלה 8 · משוואה בסינוסים של זוויות המשולש: מ- $2 R$ אל $cos α = \frac{1}{2}$ שאלת ביניים · בינונית

במשולש ABCABCABC מסמנים ב-a,b,ca,b,ca,b,c את הצלעות שמול הזוויות α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ בהתאמה. נתון: sin⁡2β+sin⁡2γ−sin⁡2α=sin⁡βsin⁡γ\sin^2\beta+\sin^2\gamma-\sin^2\alpha=\sin\beta\sin\gammasin2β+sin2γ−sin2α=sinβsinγ.

א.

מצאו את α\alphaα.

ב.

נתון גם: b=2cb=2cb=2c. מצאו את β\betaβ.

שאלה 9 · הצלע הארוכה ביותר כאשר צלע והזווית שמולה קבועותשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC נתון: BC=10BC=10BC=10, ∠BAC=30∘\angle BAC=30^\circ∠BAC=30∘. הזוויות ∠ABC=β\angle ABC=\beta∠ABC=β ו-∠ACB=γ\angle ACB=\gamma∠ACB=γ אינן ידועות.

מהו האורך הגדול ביותר האפשרי של הצלע ABABAB? מצאו את זוויות המשולש במקרה זה ואת אורך הצלע ACACAC.

שאלה 10 · שטח משולש באמצעות שלוש הצלעות ורדיוס המעגל החוסםשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC מסמנים ב-a,b,ca,b,ca,b,c את הצלעות שמול הזוויות α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ בהתאמה, ב-SSS את שטח המשולש וב-RRR את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

הוכיחו בעזרת משפט הסינוסים כי בכל משולש S=abc4RS=\frac{abc}{4R}S=4Rabc​, והיעזרו בכך כדי לחשב את רדיוס המעגל החוסם משולש שאורכי צלעותיו 555, 555 ו-666.