שאלות פתוחות: משפט הקוסינוסים: מציאת זווית - כיתה י' 5 יח"ל

כאן מרוכזות שאלות פתוחות על משפט הקוסינוסים למציאת זווית לכיתה י' 5 יחידות, כשידועות שלוש הצלעות. יש חישוב זוויות במשולש, ספינה שמשנה כיוון ומחשבים את הזווית ואת המרחק מהנמל, מחוגה שפותחים בזווית משתנה, אלכסון במקבילית ומרובע שהאלכסון שלו חוצה זווית. יש גם שאלות שבהן צריך להסיק את סוג הזווית מקשר בין סינוסים. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. מכאן אפשר להרכיב מבחן, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

9 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 4

שאלה 1 · זווית במשולש משלוש צלעות נתונותשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABCABC נתון: AB=8AB=8AB=8, AC=3AC=3AC=3, BC=7BC=7BC=7.

חשבו את גודל הזווית BACBACBAC.

שאלה 2 · שינוי כיוון של ספינה: זווית ממשפט הקוסינוסיםשאלה קצרה · בינונית

ספינה יצאה מנמל AAA והפליגה בקו ישר 12 ק"מ עד לנקודה BBB. בנקודה BBB היא שינתה את כיוון ההפלגה, והפליגה בקו ישר עוד 8 ק"מ עד לנקודה CCC. בנקודה CCC המרחק שלה מהנמל הוא 18 ק"מ.
בסרטוט: BDBDBD הוא המשך הקטע ABABAB מעבר לנקודה BBB.
?12818ABCD

בכמה מעלות שינתה הספינה את כיוון ההפלגה בנקודה BBB? כלומר, מצאו את הזווית DBCDBCDBC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

שאלה 3 · הבעת קוסינוס של זווית במשולש שצלעותיו נתונות באמצעות פרמטרשאלה קצרה · קשה

במשולש KLM נתון: KL=mKL=mKL=m, KM=msin⁡αKM=\frac{m}{\sin\alpha}KM=sinαm​, LM=mcos⁡αsin⁡αLM=\frac{m\cos\alpha}{\sin\alpha}LM=sinαmcosα​, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘. נסמן: ∠LKM=β\angle LKM=\beta∠LKM=β.

הוכיחו כי cos⁡β=sin⁡α\cos\beta=\sin\alphacosβ=sinα.

שאלה 4 · זווית הפתיחה של מחוגה מהמרחק בין קצות הזרועותשאלה קצרה · קלה

לשתי הזרועות של מחוגה אותו אורך, 121212 ס"מ. נסמן ב-α\alphaα את הזווית שבין שתי הזרועות כשהמחוגה פתוחה. שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

המרחק בין קצות הזרועות הוא 121212 ס"מ. מצאו את α\alphaα.

ב.

המרחק בין קצות הזרועות הוא 12312\sqrt3123​ ס"מ (כ-20.7820.7820.78 ס"מ). מצאו את α\alphaα.

שאלה 5 · אלכסון וזוויות במקבילית במשפט הקוסינוסיםשאלת ביניים · בינונית

במקבילית ABCD נתון: AB=10AB=10AB=10, AD=4AD=4AD=4, ∠DAB=35∘\angle DAB=35^\circ∠DAB=35∘. מעבירים את האלכסון BD (ראו סרטוט).
ABCD

א.

חשבו את אורך האלכסון BD.

ב.

חשבו את הזוויות ADB ו-CDB.

שאלה 6 · מרובע שאלכסונו חוצה זווית: מציאת זווית במשפט הקוסינוסיםשאלת ביניים · קשה

בסרטוט שלפניכם מרובע ABCDABCDABCD. נתון: AB=BC=4AB=BC=4AB=BC=4, CD=7CD=7CD=7, AD=6AD=6AD=6, והאלכסון CACACA חוצה את הזווית BCDBCDBCD. נסמן: ∠BCA=β\angle BCA=\beta∠BCA=β.
ABCD

א.

הביעו את אורך האלכסון ACACAC באמצעות β\betaβ.

ב.

מצאו את β\betaβ.

שאלה 7 · משוואה בסינוסים של זוויות המשולש: מ- $2 R$ אל $cos α = \frac{1}{2}$ שאלת ביניים · בינונית

במשולש ABCABCABC מסמנים ב-a,b,ca,b,ca,b,c את הצלעות שמול הזוויות α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ בהתאמה. נתון: sin⁡2β+sin⁡2γ−sin⁡2α=sin⁡βsin⁡γ\sin^2\beta+\sin^2\gamma-\sin^2\alpha=\sin\beta\sin\gammasin2β+sin2γ−sin2α=sinβsinγ.

א.

מצאו את α\alphaα.

ב.

נתון גם: b=2cb=2cb=2c. מצאו את β\betaβ.

שאלה 8 · מרובע חסום במעגל: זוויות נגדיות במשפט הקוסינוסים ובשטחשאלת ביניים · קשה

המרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: AB=5AB=5AB=5, BC=8BC=8BC=8, CD=3CD=3CD=3, DA=5DA=5DA=5. נסמן ∢ABC=β\sphericalangle ABC=\beta∢ABC=β (ראו סרטוט).
β5835ABCD

א.

הסבירו מדוע cos⁡∢ADC=−cos⁡β\cos\sphericalangle ADC=-\cos\betacos∢ADC=−cosβ, והביעו את AC2AC^2AC2 באמצעות cos⁡β\cos\betacosβ בשתי דרכים: מהמשולש ABCABCABC ומהמשולש ADCADCADC.

ב.

מצאו את β\betaβ ואת אורך האלכסון ACACAC.

ג.

חשבו את שטח המרובע ABCDABCDABCD.

שאלה 9 · קשר בין הצלעות מתוך יחס טנגנסיםשאלה קצרה · קשה

במשולש ABCABCABC מסמנים ב-a,b,ca,b,ca,b,c את הצלעות שמול הזוויות α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ בהתאמה. נתון: tan⁡α=2tan⁡β\tan\alpha=2\tan\betatanα=2tanβ.

הביעו את c2c^2c2 באמצעות aaa ו-bbb.