מבחן לדוגמה: חישובי שטחים בעזרת אינטגרל - כיתה י"א 4 יח"ל

מצאו את $a$ ואת $b$.

הישר $x=2$ מחלק את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה וציר ה-$x$ לשני חלקים. מצאו את היחס בין שטח החלק השמאלי לשטח החלק הימני.

הביעו באמצעות $a$ את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

לאילו ערכים של $a$ יש למשוואה $f(x)=0$ שלושה פתרונות בדיוק?

מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=1$. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי הישר $x=3$.

הציבו $a=4$.

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי ציר ה-$x$.

חשבו את השטח $S$ המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

הראו כי $f'(x)=\frac{3x-6}{2\sqrt x}$.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=-f(x)$, שהגרף שלה הוא שיקוף של גרף $f(x)$ ביחס לציר ה-$x$. נסמן ב-$S$ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$.

סרטטו את גרף $g(x)$ במערכת הצירים של סעיף ד, והביעו באמצעות $S$ את השטח המוגבל על ידי הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$.

מצאו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של הפונקציה, והוכיחו שאחת מהן היא מקסימום והאחרת היא מינימום.

נתון כי שיעור ה-$y$ של נקודת המינימום הוא $-6$.

חשבו את הערך של הפרמטר $a$.

מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-$y$, ומעבירים אנך לציר ה-$x$ דרך נקודת המקסימום של הפונקציה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי המשיק, על ידי האנך, על ידי גרף הפונקציה ועל ידי ציר ה-$x$ (השטח המסומן בסרטוט).

מצאו את ערכו של $k$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים (הביעו באמצעות $k$).

נתון כי לפונקציה יש נקודת מקסימום שבה $x=4$. מצאו את $k$.

הציבו $k=5$.

מצאו את כל ערכי $m$ שבעבורם למשוואה $f(x)=m$ יש בדיוק שלושה פתרונות.

$a$ הוא פרמטר חיובי, $a\neq1$. השטח המוגבל על ידי גרף $f'(x)$ ועל ידי גרף $a\cdot f'(x)$ שווה ל-8. מצאו את $a$.

קבעו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של $f(x)$ ואת סוגן.

$S_1$ הוא השטח שמוגבל על ידי גרף $f'(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$ ברביע השני, ו-$S_2$ הוא השטח שמוגבל על ידיהם ברביע הרביעי. נתון: $S_1=5$, $S_2=32$, $f(0)=10$.

מצאו את ערכי הפונקציה בנקודות הקיצון שלה.

כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$? נמקו.