שאלות פתוחות: שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על חישוב שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מוצאים את נקודות החיתוך עם ציר ה-x, מחלקים את התחום לקטעים ומחשבים כל שטח בנפרד, בפונקציות כמו x²-6x+5, x³-3x ו-x-1/x². יש שאלות עם פרמטר שבהן סכום השטחים נתון, ושאלות שבהן קודם מוצאים פרמטר מתוך נקודת מינימום. רוב השאלות בינוניות, לצד קלות וקשות, ואפשר לבחור מהן למבחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

45 שאלותקלה: 4בינונית: 36קשה: 5

שאלה 1 · שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימןשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+5f(x)=x^2-6x+5f(x)=x2−6x+5.

א.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה וציר ה-xxx.

ב.

חשבו את סכום השטחים המוגבלים על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx, ציר ה-yyy והישר x=5x=5x=5.

שאלה 2 · שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x−1x2f(x)=x-\frac{1}{x^2}f(x)=x−x21​ בתחום x>0x>0x>0.
y=f(x)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים x=12x=\frac{1}{2}x=21​ ו-x=2x=2x=2 (השטח המסומן בסרטוט).

שאלה 3 · שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימןשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3xf(x)=x3−3x.

חשבו את סכום השטחים המוגבלים על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישרים x=−1x=-1x=−1 ו-x=2x=2x=2.

שאלה 4 · פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2f(x)=x3−3x2.

א.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ד.

חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לבין ציר ה-xxx.

ה.

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4.

(1)

רשמו את נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן.

(2)

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) והישרים x=0x=0x=0, x=2x=2x=2.

שאלה 5 · שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x(x−a)f(x)=x(x-a)f(x)=x(x−a), כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר. סכום השטחים המוגבלים על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישרים x=0x=0x=0 ו-x=2ax=2ax=2a שווה ל-888.

מצאו את ערכו של aaa.

שאלה 6 · שטח בין שתי פרבולות עד ישר משתנהשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=(x−3)2f(x)=(x-3)^2f(x)=(x−3)2 ו-g(x)=(x−1)2g(x)=(x-1)^2g(x)=(x−1)2.

א.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים של שתי הפונקציות.

ב.

הביעו באמצעות kkk (k>2k>2k>2) את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות והישרים x=0x=0x=0 ו-x=kx=kx=k.

ג.

מצאו את הערך של k>0k>0k>0 שבעבורו ∫0k(f(x)−g(x))dx=0\int_0^k\left(f(x)-g(x)\right)dx=0∫0k​(f(x)−g(x))dx=0, וחשבו את השטח הכלוא בין הגרפים והישרים x=0x=0x=0 ו-x=kx=kx=k עבור ערך זה.

ד.

מצאו את kkk (k>2k>2k>2) שבעבורו השטח הכלוא בין הגרפים והישרים x=0x=0x=0 ו-x=kx=kx=k הוא 26 יח"ר.

שאלה 7 · פונקציה רציונלית: מהנגזרת לגרף הנגזרת ולשטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=1(x−2)2+1f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}+1f(x)=(x−2)21​+1.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy, והראו שאין לגרף נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx.

ג.

הראו ש-f′(x)=−2(x−2)3f'(x)=\frac{-2}{(x-2)^3}f′(x)=(x−2)3−2​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

אחד משלושת הגרפים שלפניכם הוא גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). היעזרו בסעיף ג, ציינו מיהו ונמקו.
גרף I
גרף II
גרף III

ו.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx והישרים x=3x=3x=3 ו-x=4x=4x=4. (רמז: f(x)f(x)f(x) היא פונקציה קדומה של f′(x)f'(x)f′(x).)

שאלה 8 · שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2f(x)=x^3+ax^2f(x)=x3+ax2, כאשר aaa הוא פרמטר. לפונקציה יש נקודת מינימום מקומי שבה x=2x=2x=2.

א.

מצאו את ערכו של aaa.

ב.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) וציר ה-xxx.

שאלה 9 · פונקציה רציונלית עם פרמטר: שטחים שווים מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=a(x−1)2−1f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}-1f(x)=(x−1)2a​−1, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את משוואות האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

ב.

אחד משלושת הגרפים שלפניכם הוא גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) (בעבור aaa כלשהו). ציינו מיהו ונמקו.
גרף I
גרף II
גרף III

ג.

השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx והישרים x=2x=2x=2 ו-x=3x=3x=3 הוא 1.5. מצאו את aaa.

ד.

הוכיחו כי לכל a>0a>0a>0 השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx והישרים x=−1x=-1x=−1 ו-x=0x=0x=0 שווה לשטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx והישרים x=2x=2x=2 ו-x=3x=3x=3, והסבירו זאת בעזרת גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

שאלה 10 · שטח בין פרבולה שמתחת לציר ה-x לבין הצירשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4xf(x)=x2−4x.

חשבו את השטח SSS המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ועל ידי ציר ה-xxx.

עוד 20 שאלות על שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, זוגיות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ המוגדרת גם היא לכל $x$ . גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך…
פונקציית שורש עם פרמטר: מספר אפסים ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x-a\sqrt{x-4}$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}-1$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=-2$ הוא $1$ .
סימן הפונקציה מתוך המונוטוניות וסכום שטחים (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=1-\frac{9}{(x+2)^2}$ בתחום $x>-2$ .
פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-12x+11$ .
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-4x$ .
שתי פרבולות: זיהוי גרפים, שטח ואינטגרל מסוים (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם הגרפים של הפונקציות: $f(x)=(x-2)^2$ , $g(x)=(x+1)^2$ .
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-4x+3$ .
פונקציית שורש: קיצון, מספר פתרונות וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מוצג גרף הפונקציה: $f(x)=(x^2+5x-10)\sqrt{5-x}$ .
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x-b}{x-3}+1$ , $b$ הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציה רציונלית יורדת-עולה: זיהוי גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2-\frac{8}{(2x+3)^2}$ .
פונקציה עם שורש ופרמטר: קיצון, סקיצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(x-m)\cdot\sqrt x$ . $m>0$ הוא פרמטר.
מגרף הנגזרת לפונקציה: נקודה אופקית בצד ושטח שאינו מחליף סימן (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . נתון: פונקציית הנגזרת $f'(x)$ …
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ שלילית בתחום $0<x<2$ וחיובית בתחום $2<x<5$ . השטח המוגבל על ידי גרף $f(x)$ וציר ה- $x$ בתחום $0\le x\le2$ הוא 4. נתון:…
פונקציה רציונלית מתוך גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm3$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ …
חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-33}{x^2+3}+2$ , המוגדרת לכל $x$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציית שורש בתחום סגור: גרף הנגזרת, קיצוני קצה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $-5\le x\le5$ , ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרת בתחום $-5<x<5$ . לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד,…
פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(a-x)\cdot\sqrt{2x-8}$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש: קיצון בקצה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x-6\sqrt{2x-5}$ .
שטח מתחת לציר ושטח שווה מימין לו: מציאת a (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=3x^2-6x$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, זוגיות ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 471 קיץ 2020 מועד א', שאלה 8
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ המוגדרת גם היא לכל $x$ . גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה- $x$ …
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+2$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=2$ הוא $-2$ .
פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזה · בגרות 471 קיץ 2021 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x+2$ .
שתי פרבולות: זיהוי גרפים, שטח ואינטגרל מסוים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 7
לפניכם הגרפים של הפונקציות: $f(x)=(2-x)^2$ , $g(x)=(2+x)^2$ .
פונקציית שורש: קיצון, מספר פתרונות וגרף הנגזרת · בגרות 471 חורף 2021, שאלה 8
בציור שלפניכם מוצג גרף הפונקציה: $f(x)=x^2\sqrt{10-4x}$ .
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 471 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x-b}{x-4}+1$ , $b$ הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1}{(4x-1)^2}-4$ .
פונקציה עם שורש ופרמטר: קיצון, סקיצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 471 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=6x\cdot(\sqrt x-m)$ . $m>0$ הוא פרמטר.
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, זיהוי גרף, אינטגרל מול שטח והזזה · בגרות 471 חורף 2023, שאלה 8
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . נתון: פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מתאפסת בנקודות שבהן:…
פונקציה רציונלית מתוך גרף הנגזרת · בגרות 471 חורף 2024, שאלה 6
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm4$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה- $x$ …
חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחתיו · בגרות 471 קיץ 2025 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2+1}+1$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציית שורש בתחום x≤2: גרף הנגזרת, קיצון קצה ושטח · בגרות 471 חורף 2025, שאלה 7
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\le2$ , ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x<2$ . לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד, מסוג מקסימום. בסרטוט שלפניכם…
פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח · בגרות 471 קיץ 2026 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(a-x)\cdot\sqrt{3x-6}$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש: קיצון בקצה, גרף הנגזרת ושטח · בגרות 471 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x-4\sqrt{5x-16}$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת $\frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + 1}$ והשטח בין $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ לציר ה- $x$ (מודרך) (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4(x+1)^2}{x^2+1}$ .