שאלות פתוחות: שטח בין גרפים של שתי פונקציות - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על שטח בין הגרפים של שתי פונקציות לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מוצאים את נקודות החיתוך ומחשבים אינטגרל של הפרש הפונקציות, בזוגות כמו פרבולה וישר, 4/x² ו-5-x², או x² ו-6-|x|. יש שאלות שבהן הישר עובר דרך נקודות החיתוך של פרבולה עם הצירים, ושאלות עם פונקציה רציונלית מהצורה 1/(x-a)². הרמות: קלה, בינונית וקשה, והמורה יכול להרכיב מהן מבחן בחישובי שטחים או דף תרגול, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

43 שאלותקלה: 10בינונית: 25קשה: 8

שאלה 1 · שטח בין גרפים של שתי פונקציותשאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=−x2+4xf(x)=-x^2+4xf(x)=−x2+4x ו-g(x)=xg(x)=xg(x)=x.
f(x)g(x)

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות (השטח המסומן בסרטוט).

שאלה 2 · שטח בין גרפים של שתי פונקציותשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=4x2f(x)=\frac{4}{x^2}f(x)=x24​ ו-g(x)=5−x2g(x)=5-x^2g(x)=5−x2.
y=x24​y=5−x2

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות ברביע הראשון (השטח המסומן בסרטוט).

שאלה 3 · שטח בין גרפים של שתי פונקציותשאלה קצרה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 ו-g(x)=6−∣x∣g(x)=6-|x|g(x)=6−∣x∣.
f(x)g(x)

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות (השטח המסומן בסרטוט).

שאלה 4 · פולינום: משיק לפי שיפוע ושטח בין הגרף למשיקשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3+x+2f(x)=x^3+x+2f(x)=x3+x+2.
A

א.

הראו כי f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 לכל xxx, והסיקו שלפונקציה אין נקודות קיצון.

ב.

מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA הנמצאת ברביע הראשון, ששיפועו 4.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה AAA.

(2)

מצאו את משוואת המשיק.

ג.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק וציר ה-yyy (השטח המסומן בסרטוט).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=1f′(x)g(x)=\frac{1}{f'(x)}g(x)=f′(x)1​.

רשמו את האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x), אם יש כאלה. נמקו.

שאלה 5 · שטח בין גרפים של שתי פונקציותשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 ו-g(x)=2−xg(x)=2-xg(x)=2−x.

חשבו את סכום השטחים המוגבלים על ידי הגרפים של שתי הפונקציות, ציר ה-yyy והישר x=2x=2x=2.

שאלה 6 · הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ עם פרמטר: משיקים ושטחשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות: f(x)=(x−a)2f(x)=(x-a)^2f(x)=(x−a)2, g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​, a>1a>1a>1 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), את האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה שלה.

ב.

מצאו באמצעות aaa את נקודות המפגש של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

ג.

בנקודת המפגש שבה x>ax>ax>a העבירו משיק לגרף של f(x)f(x)f(x) ומשיק לגרף של g(x)g(x)g(x). הראו כי שני המשיקים וציר ה-xxx יוצרים משולש ששטחו אינו תלוי ב-aaa, ומצאו את שטחו.

ד.

הביעו באמצעות aaa את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x) וציר ה-yyy.

שאלה 7 · הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ : אסימפטוטות ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות: f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2f(x)=(x−2)2, g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) נפגשים בנקודות שבהן x=1x=1x=1 ו-x=3x=3x=3.

ג.

הפונקציה fff יורדת ב-x<2x<2x<2 ועולה ב-x>2x>2x>2. מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x).

ד.

הראו כי G(x)=−1x−2G(x)=-\frac{1}{x-2}G(x)=−x−21​ היא פונקציה קדומה של g(x)g(x)g(x).

ה.

בציור מוצגים הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x) וציר ה-yyy (השטח המקווקו בציור).

שאלה 8 · שטח בין גרפים של שתי פונקציותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=x^2-6x+8f(x)=x2−6x+8. הישר ℓ\ellℓ עובר דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-yyy ודרך נקודת החיתוך הימנית של הגרף עם ציר ה-xxx.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) לבין הישר ℓ\ellℓ.

שאלה 9 · שטח בין שתי פרבולות עד ישר משתנהשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=(x−3)2f(x)=(x-3)^2f(x)=(x−3)2 ו-g(x)=(x−1)2g(x)=(x-1)^2g(x)=(x−1)2.

א.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים של שתי הפונקציות.

ב.

הביעו באמצעות kkk (k>2k>2k>2) את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות והישרים x=0x=0x=0 ו-x=kx=kx=k.

ג.

מצאו את הערך של k>0k>0k>0 שבעבורו ∫0k(f(x)−g(x))dx=0\int_0^k\left(f(x)-g(x)\right)dx=0∫0k​(f(x)−g(x))dx=0, וחשבו את השטח הכלוא בין הגרפים והישרים x=0x=0x=0 ו-x=kx=kx=k עבור ערך זה.

ד.

מצאו את kkk (k>2k>2k>2) שבעבורו השטח הכלוא בין הגרפים והישרים x=0x=0x=0 ו-x=kx=kx=k הוא 26 יח"ר.

שאלה 10 · פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2f(x)=x3−3x2.

א.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ד.

חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לבין ציר ה-xxx.

ה.

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4.

(1)

רשמו את נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן.

(2)

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) והישרים x=0x=0x=0, x=2x=2x=2.

עוד 22 שאלות על שטח בין גרפים של שתי פונקציות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ ופרבולה: שטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x+1)^2$ , $g(x)=\frac{16}{f(x)}$ .
פולינום עם פרמטר: שטח בין פונקציה לשליש ממנה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3ax^2$ , $a>0$ הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה $g(x)=\frac13f(x)$ .
שתי פרבולות: שטח עם פיצול בנקודת החיתוך (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם הגרפים של הפונקציות: $f(x)=x^2$ , $g(x)=(x-4)^2$ .
שטח בין גרפים של שתי פונקציות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{4}{(x+2)^2}$ .
משפחת פולינומים: שטח, מספר פתרונות ועקומת הקיצון (שאלה מלאה · קשה)
נתונה משפחת הפונקציות $f(x)=x^3-3k^2x$ , כאשר $k>0$ הוא פרמטר.
פולינום, מתיחה אנכית ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=-x^3+3x^2$ .
פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-12x+11$ .
שטח בין גרף פולינום לגרף הנגזרת שלו (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-2x^2$ .
חקירת פונקציית שורש, שיקוף ושטח בין גרף לשיקופו (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(x-6)\cdot\sqrt{x}$ .
שטח בין גרפים של שתי פונקציות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=x^3-6x^2+9x$ ו- $g(x)=f(x)-2$ .
מציאת פרמטר מתוך השטח בין גרף פולינום לשיקופו (שאלה קצרה · קשה)
נתונה משפחת הפונקציות $f(x)=x^3-3k^2x$ , כאשר $k>0$ הוא פרמטר.
פולינום: קיצון, משיק ושטח בין גרף למשיק (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט מוצגת סקיצה של הפונקציה $f(x)=x^3-3x+2$ .
שתי פרבולות: זיהוי גרפים, שטח ואינטגרל מסוים (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם הגרפים של הפונקציות: $f(x)=(x-2)^2$ , $g(x)=(x+1)^2$ .
פולינום: חקירה, שיקוף ושטח בין $f$ ל- $- f$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2-9x+27$ .
שטח בין גרפים של שתי פונקציות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=x^2$ ו- $g(x)=2x+3$ .
פולינום עם פרמטר, כיווץ אנכי ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=ax^3+9x^2$ , $a$ הוא פרמטר.
שטח בין גרפים של שתי פונקציות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=4x-x^2$ ו- $g(x)=\frac14f(x)$ .
חקירת פונקציית שורש, שיקוף ושטח בין גרף לשיקופו (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(x-6)\cdot\sqrt{x+3}$ .
שטח בין גרפים של שתי פונקציות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=x^2-4x$ ו- $g(x)=-f(x)$ .
פולינום עם פרמטר: חקירה, שיקוף ושטח בין $f$ ל- $- f$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-ax+(a-12)x^4$ , כאשר $a$ הוא פרמטר. ידוע: $f'(1)=-9$ .
שטח בין גרפים של שתי פונקציות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-6x+5$ .
שטח בין שתי פרבולות כשהעליונה מתחלפת (שאלת ביניים · בינונית)
לפניכם הגרפים של הפונקציות: $f(x)=x^2$ , $g(x)=(x-4)^2$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ ופרבולה: שטח בין הגרפים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 8
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x-3)^2$ , $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ .
פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזה · בגרות 471 קיץ 2021 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x+2$ .
שתי פרבולות: זיהוי גרפים, שטח ואינטגרל מסוים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 7
לפניכם הגרפים של הפונקציות: $f(x)=(2-x)^2$ , $g(x)=(2+x)^2$ .
פולינום עם פרמטר, כיווץ אנכי ושטח בין הגרפים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=ax^3+6x^2-9x$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציית שורש, שיקוף ושטח בין גרף לשיקופו · בגרות 471 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(x-3)\cdot\sqrt{2x}$ .
פונקציית שורש: חקירה, גרף הנגזרת ושטח בין $f^{'}$ ל- $a f^{'}$ · בגרות 471 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2\cdot\sqrt{-\frac12x+5}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פולינום עם פרמטר: חקירה, שיקוף ושטח בין $f$ ל- $- f$ · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-ax^2+(a-3)x^4$ , $a$ הוא פרמטר. ידוע: $f'(1)=-3$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה רציונלית עם מכנה בריבוע ושטח בין שני גרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{(x+1)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף שנמצא מעל גרף אחר ושטח ביניהם (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-a^2}{(x-3)^2}$ , $0<a<3$ הוא פרמטר.
שטח בין שני גרפים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+2bx}{(x+b)^2}$ , כאשר $b>0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר במכנה: חקירה, גרף מעל גרף ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-4}{(x-a)^2}$ , $0<a<2$ הוא פרמטר.