דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על אינטגרל של פונקציית הנגזרת ועל השטח מתחת לגרף f'(x), לכיתה י"א 4 יחידות. הרעיון הוא שהשטח מתחת לגרף הנגזרת בקטע שווה להפרש ערכי f בקצותיו. בשאלות נתון גרף הנגזרת ושטח מסומן, ומוצאים ממנו ערך של f או את הפונקציה עצמה, ויש שאלות עם פרמטר בפונקציות רציונליות ושורש. זה שיעור רחב עם שאלות קלות, בינוניות וקשות, והמורה יכול לבחור מהן לבוחן, למבחן או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

110 שאלותקלה: 21בינונית: 65קשה: 24

שאלה 1 · מגרף הנגזרת לפונקציה אי-זוגית: קיצון ושטחשאלה מלאה · קלה

הפונקציה f(x)f(x) מוגדרת לכל xx. בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), שחותך את ציר ה-xx בנקודות (−2,0)(-2,0) ו-(2,0)(2,0) בלבד.

-22
א.

רשמו את שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון של f(x)f(x) וקבעו את סוגן. נמקו.

ב.

רשמו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x).

ג.

ידוע כי f(x)f(x) אי-זוגית ועוברת בנקודה (2,5)(2,5).

(1)

רשמו את f(−2)f(-2) ואת f(0)f(0). נמקו.

(2)

סרטטו סקיצה של גרף f(x)f(x).

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישרים x=−2x=-2, x=2x=2.

שאלה 2 · אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x)שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2+kxf(x)=\frac{x^2+k}{x} בתחום x>0x>0, כאשר kk פרמטר. בקטע 2≤x≤42\le x\le4 פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חיובית, והשטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישרים x=2x=2 ו-x=4x=4 שווה ל-32\frac32.

מצאו את kk.

שאלה 3 · אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x)שאלה קצרה · קשה

הפונקציה f(x)f(x) גזירה בקטע [0,4][0,4], ונגזרתה f′(x)f'(x) רציפה בקטע. נתון: f(0)=2f(0)=2, f(4)=5f(4)=5.

א.

האם ייתכן שסכום השטחים המוגבלים על ידי גרף הנגזרת f′(x)f'(x) וציר ה-xx בקטע [0,4][0,4] שווה ל-22? אם כן - תנו דוגמה לפונקציה כזאת; אם לא - נמקו.

ב.

נתון בנוסף כי סכום השטחים המוגבלים על ידי גרף הנגזרת f′(x)f'(x) וציר ה-xx בקטע [0,4][0,4] שווה ל-77. מצאו את סכום השטחים שבהם גרף הנגזרת נמצא מתחת לציר ה-xx.

שאלה 4 · פונקציה רציונלית: גרף הנגזרת ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2−16x2f(x)=2-\frac{16}{x^2}.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=32x3f'(x)=\frac{32}{x^3}, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה בתחום x>0x>0.

ד.

איזה מבין הגרפים I, II הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) בתחום x>0x>0? נמקו.

גרף I
גרף II
ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישרים x=2x=2, x=4x=4.

שאלה 5 · אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x)שאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) של פונקציה f(x)f(x) המוגדרת לכל xx. הנגזרת מתאפסת רק ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3. השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת וציר ה-xx בקטע [−1,3][-1,3] שווה ל-323\frac{32}{3}, והשטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת, ציר ה-xx והישר x=5x=5 בקטע [3,5][3,5] שווה גם הוא ל-323\frac{32}{3}. נתון: f(−1)=5f(-1)=5.

מצאו את הערך הקטן ביותר ואת הערך הגדול ביותר של f(x)f(x) בקטע [−1,5][-1,5].

שאלה 6 · מגרף הנגזרת: ערכים מהשטח ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

הפונקציה f(x)f(x) מוגדרת לכל xx. בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), שחותך את ציר ה-xx בנקודות (−3,0)(-3,0), (3,0)(3,0) ובראשית הצירים. ידוע כי f(x)f(x) זוגית, ש-f(0)=−1f(0)=-1 ושגרף f(x)f(x) עובר בנקודה (5,−20)(5,-20).

-33
א.

מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון של f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ב.

השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x) וציר ה-xx בין x=0x=0 ל-x=3x=3 הוא 12. מצאו את f(3)f(3) ואת f(−3)f(-3).

ג.

מצאו את כל ערכי kk שעבורם למשוואה f(x)=kf(x)=k יש בדיוק ארבעה פתרונות.

ד.

חשבו את ∫−33f′(x) dx\int_{-3}^{3}f'(x)\,dx, ואת השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x) וציר ה-xx בין x=−3x=-3 ל-x=3x=3. הסבירו את ההבדל.

שאלה 7 · פונקציה רציונלית זוגית וגרף הנגזרת שלהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2x2−1f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}.

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x) המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=−2x(x2−1)2f'(x)=\frac{-2x}{(x^2-1)^2}, ומצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ד.

לפניכם גרפים 1-3.

גרף 1
גרף 2
גרף 3
(1)

איזה מן הגרפים 1-3 הוא גרף הנגזרת f′(x)f'(x)? נמקו.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי ציר ה-xx ועל ידי הישר x=−12x=-\frac12.

שאלה 8 · אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x)שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x+kf(x)=\sqrt{x+k}, כאשר k>0k>0 הוא פרמטר. השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=5x=5 שווה ל-11.

מצאו את ערכו של kk.

שאלה 9 · פונקציה רציונלית: שטח מתחת לגרף הנגזרת עם גבול משתנהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ax2+1f(x)=\frac{a}{x^2}+1, aa הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1 הוא −6-6.

א.

מצאו את aa.

ב.

מצאו את האסימפטוטות של f(x)f(x) המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה שלה.

ג.

תארו את גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) בתחום x>0x>0: סימן, עלייה או ירידה, ואסימפטוטות. נמקו.

ד.

עבור t>1t>1, הביעו באמצעות tt את השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישרים x=1x=1, x=tx=t. מצאו את tt שבעבורו השטח הוא 2.252.25.

ה.

הראו כי לכל t>1t>1 השטח מסעיף ד קטן מ-33. האם יש tt שבעבורו השטח שווה ל-33? נמקו.

שאלה 10 · פונקציית שורש: קיצון ושטח מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

בציור שלפניכם מוצג גרף הפונקציה f(x)=x3−xf(x)=x\sqrt{3-x}.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת נקודות החיתוך של גרפה עם הצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=3(2−x)23−xf'(x)=\frac{3(2-x)}{2\sqrt{3-x}}.

ג.

מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ד.

כמה פתרונות יש למשוואה x3−x=1x\sqrt{3-x}=1? נמקו.

ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישר x=−1x=-1.

עוד 79 שאלות על אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x)

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x2+3x+1f(x)=\frac{x^2+3}{x+1} בתחום x>−1x>-1.

  2. פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ושטח הפוך (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x2−x2+ax−8f(x)=\frac{x^2}{-x^2+ax-8}, aa הוא פרמטר. ידוע שהישר x=1x=1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

  3. חקירת פונקציית שורש: קיצון קצה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x−4xf(x)=x-4\sqrt{x}. בסוף השאלה מופיעים שני גרפים I-II: גרף I: גרף II:

  4. מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, זוגיות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    הפונקציה f(x)f(x) מוגדרת לכל xx. בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) המוגדרת גם היא לכל xx. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך…

  5. פונקציית שורש עם פרמטר: מקסימום נתון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x2c−2xf(x)=x^2\sqrt{c-2x}, cc הוא פרמטר חיובי.

  6. מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה: מקסימום ומינימום אחד (שאלה מלאה · קלה)

    הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x) מוגדרות לכל xx. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). פונקציית הנגזרת מתאפסת…

  7. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    לפונקציה f(x)f(x) נגזרת f′(x)f'(x) המוגדרת לכל xx. ידוע כי f′(x)<0f'(x)<0 בתחום 1<x<31<x<3 ו-f′(x)>0f'(x)>0 בתחום 3<x<63<x<6, וכי f(1)=4f(1)=4, f(3)=−2f(3)=-2, f(6)=7f(6)=7.

  8. פונקציית שורש עם פרמטר: מקום נקודות הקיצון, מספר חיתוכים ושטח קבוע (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x−2x+af(x)=x-2\sqrt{x+a}, aa הוא פרמטר.

  9. חקירת פונקציה רציונלית ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=2x−1x+1f(x)=\frac{2x-1}{x+1}.

  10. פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=ax2−1f(x)=\frac{a}{x^2}-1, aa הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x=−2x=-2 הוא 11.

  11. מגרף הנגזרת לפונקציה: שני שטחים, מינימומים שונים ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x) מוגדרות לכל xx, ולפונקציה f(x)f(x) אין אסימפטוטה אופקית. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית…

  12. חקירת פונקציה רציונלית ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=9x2−9+2f(x)=\frac{9}{x^2-9}+2.

  13. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=1+9x2f(x)=1+\frac{9}{x^2}.

  14. פונקציה רציונלית עם פרמטר: מונוטוניות, פרמטר משטח וספירת פתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=2x−bx−4f(x)=\frac{2x-b}{x-4}, b≠8b\neq8 הוא פרמטר.

  15. פונקציה רציונלית: מהנגזרת לגרף הנגזרת ולשטח (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=1(x−2)2+1f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}+1.

  16. חקירת פונקציה רציונלית, גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=2x2−x2+6x−8f(x)=\frac{2x^2}{-x^2+6x-8}.

  17. פונקציה רציונלית עם פרמטר במונה: מהשטח לפונקציה (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=ax2−4f(x)=\frac{a}{x^2-4}, a≠0a\neq0 הוא פרמטר.

  18. פונקציה עם שורש: קיצון בקצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)xf(x)=(x-3)\sqrt x.

  19. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=2x+1x+3f(x)=\frac{2x+1}{x+3}.

  20. פונקציה רציונלית עם פרמטר: שטחים שווים מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=a(x−1)2−1f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}-1, כאשר a>0a>0 פרמטר.

  21. פונקציה עם שורש: קיצון, סקיצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x⋅(x−6)f(x)=x\cdot(\sqrt x-6).

  22. פונקציית שורש: קיצון, מספר פתרונות וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    בציור שלפניכם מוצג גרף הפונקציה: f(x)=(x2+5x−10)5−xf(x)=(x^2+5x-10)\sqrt{5-x}.

  23. פונקציה עם שורש ופרמטר: מינימום נתון וגבול אינטגרציה (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)x+4f(x)=(x-a)\sqrt{x+4}, כאשר aa פרמטר, a>−4a>-4.

  24. חקירת פונקציה רציונלית וגרף הנגזרת - בהכוונה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=4xx2+1f(x)=\frac{4x}{x^2+1}.

  25. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=xx+3f(x)=x\sqrt{x+3}.

  26. פונקציה עם שורש ופרמטר: מהשטח מתחת לנגזרת לפרמטר (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=6x⋅(x−m)f(x)=6x\cdot(\sqrt x-m). m>0m>0 הוא פרמטר.

  27. פונקציית שורש: חקירה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x12−xf(x)=x\sqrt{12-x}.

  28. חקירת פונקציית שורש עם פרמטר: מקסימום, גרף הנגזרת ושטח מתחת לציר (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=4x+a−xf(x)=4\sqrt{x+a}-x, aa הוא פרמטר. גרף הפונקציה f(x)f(x) חותך את ציר ה-xx בנקודה (12,0)(12,0). בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים…

  29. פונקציה רציונלית עם פרמטר: חיתוכים, שטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=axx2+4+1f(x)=\frac{ax}{x^2+4}+1, כאשר a>0a>0 הוא פרמטר.

  30. פונקציה רציונלית: גרף הנגזרת, פרמטר ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    הפונקציה f(x)=x2x2−9+af(x)=\frac{x^2}{x^2-9}+a מוגדרת בתחום x≠±3x\neq\pm3 (aa פרמטר). בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). גרף f′(x)f'(x) חותך…

  31. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=2x+4−xf(x)=2\sqrt{x+4}-x.

  32. מגרף הנגזרת ושטחים לערכי הפונקציה (שאלה מלאה · קשה)

    הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x) מוגדרות לכל xx. לפניכם גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), שמתאפסת רק ב-x=−2x=-2, x=1x=1, x=3x=3. נתון:…

  33. פונקציה רציונלית: נגזרת, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=3x2−12x2+2f(x)=\frac{3x^2-12}{x^2+2}, המוגדרת לכל xx. בסוף השאלה מופיעים שני גרפים, I ו-II: גרף I: גרף II:

  34. מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה: צורת M, שטח וחיתוך עם ישר אופקי (שאלה מלאה · בינונית)

    הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x) מוגדרות לכל xx. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). פונקציית הנגזרת מתאפסת…

  35. פונקציית שורש עם פרמטר: מבעיה הפוכה לספירת פתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x2k−xf(x)=x^2\sqrt{k-x}, k>0k>0 הוא פרמטר.

  36. פונקציית שורש: נגזרת, קיצון וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=(x2+15)⋅5−xf(x)=(x^2+15)\cdot\sqrt{5-x}.

  37. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x) מוגדרות לכל xx. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של f′(x)f'(x), שמתאפסת ב-x=1x=1 וב-x=5x=5 בלבד. השטח…

  38. גרף הנגזרת: פרמטרים, מספר פתרונות ושטח נתון (שאלה מלאה · קשה)

    הפונקציה f(x)=ax2x2−9+2f(x)=\frac{ax^2}{x^2-9}+2 מוגדרת בתחום x≠±3x\neq\pm3 (aa פרמטר). בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). גרף f′(x)f'(x)…

  39. פונקציית שורש: קיצון קצה, חיתוך ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x+45−xf(x)=x+4\sqrt{5-x}.

  40. חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x−bx−3+1f(x)=\frac{x-b}{x-3}+1, bb הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

  41. פונקציה רציונלית עם פרמטר: שטח מתחת לנגזרת ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x2−ax2+1+1f(x)=\frac{x^2-a}{x^2+1}+1, המוגדרת לכל xx. aa הוא פרמטר, a>1a>1.

  42. פונקציית שורש: קיצון בקצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(13−x)⋅x−1f(x)=(13-x)\cdot\sqrt{x-1}.

  43. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x+5x+1f(x)=\frac{x+5}{x+1}.

  44. פונקציית שורש עם פרמטר: תנאי לשני קיצונים ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=(x2+a)⋅6−2xf(x)=(x^2+a)\cdot\sqrt{6-2x} בתחום x≤3x\le3, ו-aa הוא פרמטר.

  45. פונקציית שורש: קיצון בקצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x−4x−3f(x)=x-4\sqrt{x-3}.

  46. חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=−12x2−4+bf(x)=\frac{-12}{x^2-4}+b, bb הוא פרמטר.

  47. פונקציית שורש עם פרמטר: פרמטר משטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x+a4−xf(x)=x+a\sqrt{4-x}, a>0a>0 הוא פרמטר.

  48. פונקציה רציונלית: גרף הנגזרת והשטח מתחתיו (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=4(x−2)2f(x)=\frac{4}{(x-2)^2}, המוגדרת בתחום x≠2x\ne2. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

  49. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=8x2+4f(x)=\frac{8}{x^2+4}.

  50. פונקציית שורש עם פרמטר: פרמטר מתוך שטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(a−x)⋅2x−4f(x)=(a-x)\cdot\sqrt{2x-4}, כאשר a>2a>2 הוא פרמטר.

  51. אינטגרל של הנגזרת ושטח מתחת לגרף f'(x) מתוך ערכי f (שאלה קצרה · קלה)

    לפונקציה f(x)f(x) נגזרת f′(x)f'(x) המוגדרת לכל xx. ידוע כי f′(x)<0f'(x)<0 בתחום 1<x<31<x<3 ו-f′(x)>0f'(x)>0 בתחום 3<x<63<x<6, וכי f(1)=4f(1)=4, f(3)=−2f(3)=-2, f(6)=7f(6)=7.

  52. פונקציה רציונלית יורדת-עולה: זיהוי גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=2−8(2x+3)2f(x)=2-\frac{8}{(2x+3)^2}.

  53. פונקציית שורש עם פרמטר: מספר אפסים ושטח (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x−ax−4f(x)=x-a\sqrt{x-4}, ו-a>0a>0 הוא פרמטר.

  54. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x+1x−2f(x)=\frac{x+1}{x-2}.

  55. פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת, שטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=a(x−2)2f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}, המוגדרת בתחום x≠2x\ne2. aa הוא פרמטר חיובי. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף…

  56. חקירת פונקציה עם שורש וזיהוי גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(x−5)⋅x+7f(x)=(x-5)\cdot\sqrt{x+7}.

  57. האם ייתכן סכום שטחים כזה? שטח מול השינוי בערך הפונקציה (שאלה קצרה · קשה)

    הפונקציה f(x)f(x) גזירה בקטע [0,4][0,4], ונגזרתה f′(x)f'(x) רציפה בקטע. נתון: f(0)=2f(0)=2, f(4)=5f(4)=5.

  58. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=xx+3f(x)=x\sqrt{x+3}, המוגדרת עבור x≥−3x\ge-3.

  59. ערכי קיצון מתוך שטחים בגרף הנגזרת ומספר נקודות החיתוך עם ציר ה-x (שאלת ביניים · קשה)

    הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x) מוגדרות לכל xx, ולפונקציה f(x)f(x) אין אסימפטוטה אופקית. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית…

  60. פונקציה עם שורש ופרמטר: קיצון, סקיצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(x−m)⋅xf(x)=(x-m)\cdot\sqrt x. m>0m>0 הוא פרמטר.

  61. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=2x⋅(x−3)f(x)=2\sqrt x\cdot(x-3), בתחום x≥0x\ge0.

  62. חקירת פונקציה רציונלית שהמקסימום שלה על ציר ה-x (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=6xx2+9−1f(x)=\frac{6x}{x^2+9}-1.

  63. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=8xx2+4+3f(x)=\frac{8x}{x^2+4}+3. נתון כי f′(x)>0f'(x)>0 בתחום −2<x<2-2<x<2 ו-f′(x)<0f'(x)<0 בתחום x>2x>2.

  64. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x8−x2f(x)=x\sqrt{8-x^2}.

  65. פונקציה רציונלית מתוך גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    הפונקציה f(x)f(x) מוגדרת בתחום x≠±3x\neq\pm3. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), המוגדרת באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)…

  66. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=8x2+4f(x)=\frac{8}{x^2+4}. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), שחותך את ציר ה-xx רק בראשית הצירים.

  67. חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x2−33x2+3+2f(x)=\frac{x^2-33}{x^2+3}+2, המוגדרת לכל xx. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

  68. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x2−5x2+1f(x)=\frac{x^2-5}{x^2+1}, המוגדרת לכל xx.

  69. פונקציית שורש: זיהוי גרף הנגזרת, קיצון בקצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    הפונקציה f(x)f(x) מוגדרת בתחום x≤4x\le4, ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום x<4x<4. לפונקציה f(x)f(x) יש בדיוק שתי נקודות קיצון פנימיות. לפניכם…

  70. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=(x2+4)3−xf(x)=(x^2+4)\sqrt{3-x} בתחום x≤3x\le3.

  71. פונקציית שורש בתחום סגור: גרף הנגזרת, קיצוני קצה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    הפונקציה f(x)f(x) מוגדרת בתחום −5≤x≤5-5\le x\le5, ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום −5<x<5-5<x<5. לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד,…

  72. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=2x+9−xf(x)=2\sqrt{x+9}-x, המוגדרת בתחום x≥−9x\ge-9.

  73. פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(a−x)⋅2x−8f(x)=(a-x)\cdot\sqrt{2x-8}. aa הוא פרמטר.

  74. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(9−x)⋅x+3f(x)=(9-x)\cdot\sqrt{x+3}. פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום x>−3x>-3.

  75. פונקציית שורש: קיצון בקצה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=2x−62x−5f(x)=2x-6\sqrt{2x-5}.

  76. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x−4x−1f(x)=x-4\sqrt{x-1}.

  77. פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=a(x−4)2f(x)=\frac{a}{(x-4)^2}, המוגדרת בתחום x≠4x\ne4. aa הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה x=6x=6, שיפוע המשיק לגרף הפונקציה…

  78. אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=6(x−3)2f(x)=\frac{6}{(x-3)^2}, המוגדרת בתחום x≠3x\ne3.

  79. נקודת קיצון ושטחים מתחת לגרף הנגזרת של פונקציה רציונלית (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x2+3x+1f(x)=\frac{x^2+3}{x+1} בתחום x>−1x>-1.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.