שאלות פתוחות: שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיק - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיק, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות מחשבים שטח בין גרף, משיק וצירים, למשל משיק ל-1/x² בנקודה x=1, ישר המאונך למשיק לפרבולה, או משולש שהמשיק ל-4-x² יוצר עם הצירים. יש גם שאלה על ערך מוחלט של פרבולה וישר, ושאלה שבה נתון רק גרף הנגזרת. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ואפשר לבחור מהן לבוחן או למבחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

34 שאלותקלה: 4בינונית: 22קשה: 8

שאלה 1 · משיק ושטח: פירוק לשני שלביםשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+1f(x)=\frac{2}{x^2}+1f(x)=x22​+1 בתחום x>0x>0x>0.

א.

רשמו את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.

ב.

הראו כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.

ג.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1x=1.

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישרים x=1x=1x=1 ו-x=4x=4x=4.

ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק מסעיף ג', ציר ה-xxx והישר x=4x=4x=4. היעזרו בסעיף ד'.

שאלה 2 · שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיקשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2. דרך הנקודה A(1,1)A(1,1)A(1,1) שעל גרף הפונקציה מעבירים ישר המאונך למשיק לגרף בנקודה AAA.
y=x2
A

א.

מצאו את משוואת הישר המאונך למשיק בנקודה AAA.

ב.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), הישר שמצאתם בסעיף א וציר ה-xxx (השטח המסומן בסרטוט).

שאלה 3 · שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיקשאלה קצרה · קשה

מעבירים משיק לגרף הפונקציה y=4−x2y=4-x^2y=4−x2 בנקודה שבה x=tx=tx=t, כאשר 0<t<20<t<20<t<2. המשיק יוצר עם הצירים משולש ברביע הראשון. בסרטוט מתואר מקרה אחד לדוגמה.
y=4−x2

מצאו את ttt שעבורו השטח של החלק של המשולש שנמצא מחוץ לתחום המוגבל על ידי הפרבולה והצירים (השטח המסומן בסרטוט) הוא מינימלי, ומצאו את השטח המינימלי.

שאלה 4 · גרף הנגזרת, חקירת פולינום ממעלה רביעית ושטח עם משיקשאלה מלאה · קלה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x)f′(x) מוגדרות לכל xxx.
בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), שחותכת את ציר ה-xxx בנקודות x=−2x=-2x=−2, x=0x=0x=0, x=2x=2x=2 בלבד.
-22

א.

היעזרו בגרף של f′(x)f'(x)f′(x), ומצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת סוגן.

ב.

נתון: f(x)=x4−8x2+7f(x)=x^4-8x^2+7f(x)=x4−8x2+7.

מצאו את שיעורי ה-yyy של נקודות הקיצון.

ג.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx, וסרטטו סקיצה של הגרף.

ד.

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=2x=2x=2, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x), על ידי המשיק הזה ועל ידי ציר ה-yyy.

שאלה 5 · שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיקשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{x^2}f(x)=x21​. מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA שבה x=1x=1x=1.
f(x)
A

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק, ציר ה-xxx והישר x=3x=3x=3 (השטח המסומן בסרטוט).

שאלה 6 · פולינום: שיפועי משיקים, פרמטר משיק, שטח ו-1/f'שאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3x2+5x+bf(x)=x^3-3x^2+5x+bf(x)=x3−3x2+5x+b, bbb הוא פרמטר.
A

א.

הוכיחו כי לפונקציה אין נקודות קיצון, ומצאו את השיפוע הקטן ביותר של משיק לגרף הפונקציה.

ב.

לאילו ערכים של mmm יש לגרף הפונקציה בדיוק שני משיקים ששיפועם mmm?

ג.

המשיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA שברביע הראשון ששיפועו 5 חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=0.6x=0.6x=0.6. מצאו את bbb.

ד.

עבור ה-bbb שמצאתם, חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק מסעיף ג והצירים (השטח המסומן בסרטוט).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=1f′(x)g(x)=\frac{1}{f'(x)}g(x)=f′(x)1​. מצאו את נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x), קבעו את סוגה, ורשמו את האסימפטוטה האופקית של g(x)g(x)g(x).

שאלה 7 · חקירה, משיק ושטח של פונקציה רציונלית פשוטהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=1(x−1)2+2f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}+2f(x)=(x−1)21​+2.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=−2(x−1)3f'(x)=-\frac{2}{(x-1)^3}f′(x)=−(x−1)32​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ג.

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=2x=2x=2.

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x), על ידי המשיק מסעיף ג ועל ידי הישר x=4x=4x=4.

שאלה 8 · שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיקשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=∣x2−1∣f(x)=\left|x^2-1\right|f(x)=​x2−1​ והישר y=x+1y=x+1y=x+1.

חשבו את סכום השטחים של כל התחומים הכלואים בין גרף הפונקציה לבין הישר.

שאלה 9 · משיק ושטח עם פרמטרשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ax2+3f(x)=\frac{a}{x^2}+3f(x)=x2a​+3 בתחום x>0x>0x>0, aaa הוא פרמטר חיובי. דרך הנקודה שעל גרף הפונקציה שבה x=2x=2x=2 העבירו משיק לגרף.

א.

הביעו באמצעות aaa את משוואת המשיק ואת שיעור ה-xxx של נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-xxx.

ב.

נתון כי המשיק חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=5x=5x=5. מצאו את aaa.

ג.

עבור aaa שמצאתם, חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק, ציר ה-xxx והישר x=6x=6x=6.

ד.

בסעיף זה aaa אינו נתון.

מצאו את כל ערכי aaa שבעבורם המשיק חותך את ציר ה-xxx משמאל לישר x=6x=6x=6.

שאלה 10 · שטח המוגבל על ידי פרבולה, משיק נתון וציר ה-xשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה (2,4)(2,4)(2,4) הוא הישר y=4x−4y=4x-4y=4x−4.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-xxx.

עוד 18 שאלות על שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיק

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיק (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3$ . מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: פרמטר משטח ומספר נקודות חיתוך (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{k}{(x-2)^2}$ , כאשר $k>0$ פרמטר. דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ העבירו ישר המקביל לציר ה- $x$ . הישר…
פולינום עם פרמטר: משיק, שטח ופונקציה הפוכה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x^2+4x+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פולינום עם פרמטר: מספר אפסים ושטח שאינו תלוי בפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2+a$ , $a$ פרמטר.
שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיק (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2+1$ . בנקודה $A$ שעל גרף הפונקציה, שבה $x=2$ , מעבירים משיק לגרף.
משיק מהראשית לגרף רציונלי, שטח והזזה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{(x+2)^2}$ . מראשית הצירים $O$ העבירו ישר המשיק לגרף $f(x)$ .
פונקציה עם אסימפטוטה נתונה, משיק ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8}{x^2}+b$ בתחום: $x>0$ , $b$ הוא פרמטר. הישר $y=2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
משיק מהראשית לגרף 1/(x+2)² והשטח שהוא יוצר, כולל הזזה (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{(x+2)^2}$ . מראשית הצירים $O$ העבירו ישר המשיק לגרף $f(x)$ .
שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיק (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4}{x^2}$ בתחום $x>0$ .
שטח מורכב תחת גרף k/(x-2)² וישר אופקי: מציאת k (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{k}{(x-2)^2}$ , כאשר $k>0$ פרמטר. דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ העבירו ישר המקביל לציר ה- $x$ . הישר…
גרף הנגזרת, חקירת פולינום ממעלה רביעית ושטח עם משיק (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ …
שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיק (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x^2+1$ .
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות, חיתוך עם ישר אופקי ושטח מורכב (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{9}{(x-1)^2}-1$ .
פולינום עם פרמטר: קיצון, משיק ושטח מורכב (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט מוצגת סקיצה של הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x-a$ , $a$ הוא פרמטר.
שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיק (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2$ .
שיקוף והזזה של 1/x²: חקירה, משיק ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=-\frac{1}{x^2}$ .
שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיק (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$ .
פרמטר מנקודת מינימום ושטח המוגבל על ידי משיק ואנך (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט מוצגת סקיצה של הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x-a$ , $a$ הוא פרמטר.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פולינום עם פרמטר: משיק, שטח ופונקציה הפוכה · בגרות 471 קיץ 2020 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x^3-2x^2+x+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פונקציה עם אסימפטוטה נתונה, משיק ושטח · בגרות 471 חורף 2021, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2}{x^2}+b$ בתחום: $x>0$ , $b$ הוא פרמטר. הישר $y=4$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
גרף הנגזרת, חקירת פולינום ממעלה רביעית ושטח עם משיק · בגרות 471 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 8
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותכת את ציר ה- $x$ …
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות, חיתוך עם ישר אופקי ושטח מורכב · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
בציור שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{4}{(2x+1)^2}$ .
פולינום עם פרמטר: קיצון, משיק ושטח מורכב · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
בציור מוצגת סקיצה של הפונקציה $f(x)=2x^3-9x^2+12x-a$ , $a$ הוא פרמטר.
הפונקציה 1/x² והזזות שלה: חקירה, משיק ושטח · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2}$ .