שאלות פתוחות: מציאת פרמטר מתוך שטח נתון - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על מציאת פרמטר מתוך שטח נתון, לכיתה י"א 4 יחידות. בכל שאלה השטח ידוע, והפרמטר נמצא בפונקציה או בגבול האינטגרציה: k-x², kx-x², x²-ax, 1-1/x² עד הישר x=a, או x³ עם ישר אופקי y=k. כדי לפתור צריך לבטא את השטח באמצעות הפרמטר ולפתור משוואה, ולעיתים להבחין בין קטעים שבהם הפונקציה שלילית. רוב השאלות קשות, ויש בינוניות ושאלה קלה, ומתאים להכנה למבחן, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

27 שאלותקלה: 1בינונית: 9קשה: 17

שאלה 1 · מציאת פרמטר מתוך שטח נתוןשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=k−x2f(x)=k-x^2f(x)=k−x2, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה וציר ה-xxx שווה ל-323\frac{32}{3}332​.

מצאו את ערכו של kkk.

שאלה 2 · מציאת פרמטר מתוך שטח נתוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=1−1x2f(x)=1-\frac{1}{x^2}f(x)=1−x21​. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישר x=ax=ax=a, כאשר a>1a>1a>1, שווה ל-43\frac4334​.

מצאו את aaa.

שאלה 3 · מציאת פרמטר מתוך שטח נתוןשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−axf(x)=x^2-axf(x)=x2−ax, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר. סכום השטחים המוגבלים על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישר x=3x=3x=3, בתחום 0≤x≤30\le x\le30≤x≤3, שווה ל-999.

מצאו את כל הערכים האפשריים של aaa.

שאלה 4 · מציאת פרמטר מתוך שטח נתוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 והישר y=ky=ky=k, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-yyy והישר y=ky=ky=k שווה ל-121212.

מצאו את ערכו של kkk.

שאלה 5 · פולינום ממעלה שלישית עם פרמטר: שטח ושורשיםשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3a2x+2a3f(x)=x^3-3a^2x+2a^3f(x)=x3−3a2x+2a3, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx.

ג.

השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לבין ציר ה-xxx הוא 108. מצאו את aaa.

ד.

הציבו a=2a=2a=2. נתונה g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-kg(x)=f(x)−k. עבור אלו ערכים של kkk לפונקציה g(x)g(x)g(x) יש שלושה שורשים?

שאלה 6 · מציאת פרמטר מתוך שטח נתוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=kx−x2f(x)=kx-x^2f(x)=kx−x2, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה וציר ה-xxx שווה ל-363636.

א.

מצאו את ערכו של kkk.

ב.

בתחום המוגבל על ידי גרף הפונקציה וציר ה-xxx חוסמים מלבן: אחת מצלעותיו מונחת על ציר ה-xxx, ושני קודקודיו האחרים על גרף הפונקציה. מצאו את השטח המקסימלי של מלבן כזה.

שאלה 7 · שטח בין שתי פרבולות עד ישר משתנהשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=(x−3)2f(x)=(x-3)^2f(x)=(x−3)2 ו-g(x)=(x−1)2g(x)=(x-1)^2g(x)=(x−1)2.

א.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים של שתי הפונקציות.

ב.

הביעו באמצעות kkk (k>2k>2k>2) את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות והישרים x=0x=0x=0 ו-x=kx=kx=k.

ג.

מצאו את הערך של k>0k>0k>0 שבעבורו ∫0k(f(x)−g(x))dx=0\int_0^k\left(f(x)-g(x)\right)dx=0∫0k​(f(x)−g(x))dx=0, וחשבו את השטח הכלוא בין הגרפים והישרים x=0x=0x=0 ו-x=kx=kx=k עבור ערך זה.

ד.

מצאו את kkk (k>2k>2k>2) שבעבורו השטח הכלוא בין הגרפים והישרים x=0x=0x=0 ו-x=kx=kx=k הוא 26 יח"ר.

שאלה 8 · מציאת פרמטר מתוך שטח נתוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=3x2−6xf(x)=3x^2-6xf(x)=3x2−6x.

א.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה וציר ה-xxx.

ב.

הישר x=ax=ax=a, כאשר a>2a>2a>2, נבחר כך שהשטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישרים x=2x=2x=2 ו-x=ax=ax=a שווה לשטח שחישבתם בסעיף א. מצאו את aaa.

שאלה 9 · פולינום עם פרמטר: שטח בין פונקציה לשליש ממנהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3ax2f(x)=x^3-3ax^2f(x)=x3−3ax2, a>0a>0a>0 הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה g(x)=13f(x)g(x)=\frac13f(x)g(x)=31​f(x).

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

הביעו באמצעות aaa את נקודות החיתוך של g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx ואת נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x).

ג.

השטח המוגבל בין הגרפים של fff ושל ggg הוא 72. מצאו את aaa.

ד.

הציבו a=2a=2a=2. מצאו את ערכי mmm שבעבורם הישר y=my=my=m חותך את גרף fff בשלוש נקודות ואת גרף ggg בנקודה אחת בלבד.

שאלה 10 · שטח מתחת לציר ושטח שווה מימין לו: מציאת aשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=3x2−6xf(x)=3x^2-6xf(x)=3x2−6x.

א.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה וציר ה-xxx.

ב.

הישר x=ax=ax=a, כאשר a>2a>2a>2, נבחר כך שהשטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישרים x=2x=2x=2 ו-x=ax=ax=a שווה לשטח שחישבתם בסעיף א. מצאו את aaa.

עוד 13 שאלות על מציאת פרמטר מתוך שטח נתון

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פונקציה רציונלית עם פרמטר: מונוטוניות, פרמטר משטח וספירת פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x-b}{x-4}$ , $b\neq8$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: שטחים שווים מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}-1$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משטח לפרמטר ולמספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x+\frac{a}{x^2}$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי הישרים $x=2$ ו- $x=4$ ועל ידי ציר ה- $x$ הוא…
פונקציה עם שורש ופרמטר: מהשטח מתחת לנגזרת לפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=6x\cdot(\sqrt x-m)$ . $m>0$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש עם פרמטר: מבעיה הפוכה לספירת פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2\sqrt{k-x}$ , $k>0$ הוא פרמטר.
גרף הנגזרת: פרמטרים, מספר פתרונות ושטח נתון (שאלה מלאה · קשה)
הפונקציה $f(x)=\frac{ax^2}{x^2-9}+2$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm3$ ( $a$ פרמטר). בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף $f'(x)$ …
פונקציית שורש עם פרמטר: פרמטר משטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x+a\sqrt{4-x}$ , $a>0$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש עם פרמטר: פרמטר מתוך שטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(a-x)\cdot\sqrt{2x-4}$ , כאשר $a>2$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת, שטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne2$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: פרמטר משטח ומספר נקודות חיתוך (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{k}{(x-2)^2}$ , כאשר $k>0$ פרמטר. דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ העבירו ישר המקביל לציר ה- $x$ . הישר…
משפחת פולינומים: שטח, מספר פתרונות ועקומת הקיצון (שאלה מלאה · קשה)
נתונה משפחת הפונקציות $f(x)=x^3-3k^2x$ , כאשר $k>0$ הוא פרמטר.
מציאת פרמטר מתוך השטח בין גרף פולינום לשיקופו (שאלה קצרה · קשה)
נתונה משפחת הפונקציות $f(x)=x^3-3k^2x$ , כאשר $k>0$ הוא פרמטר.
שטח מורכב תחת גרף k/(x-2)² וישר אופקי: מציאת k (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{k}{(x-2)^2}$ , כאשר $k>0$ פרמטר. דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ העבירו ישר המקביל לציר ה- $x$ . הישר…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציית שורש: חקירה, גרף הנגזרת ושטח בין $f^{'}$ ל- $a f^{'}$ · בגרות 471 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2\cdot\sqrt{-\frac12x+5}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שטח בין שני גרפים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+2bx}{(x+b)^2}$ , כאשר $b>0$ הוא פרמטר.
שטח עם פרמטר ושאלות הפוכות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac2{(x-3)^2}-b$ , $b$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $(t,0)$ , $t>3$ , היא נקודת חיתוך של גרף…
שטח עם פרמטר ושאלות הפוכות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x-\frac{a^3}{x^2}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר חיובי.