שאלות פתוחות: נקודה על המעגל, בתוכו או מחוצה לו - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על מיקום נקודה ביחס למעגל: על המעגל, בתוכו או מחוצה לו, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים משווים את המרחק של הנקודה מהמרכז לרדיוס, ובשאלות עם פרמטר מוצאים לאילו ערכים נקודה כמו P(k,2k) נמצאת בתוך המעגל. יש שאלות על שתי נקודות שאחת בתוך המעגל והשנייה מחוצה לו, על משוואה עם פרמטר שמתארת מעגל, ועל מיתר המקביל לציר ה-x. רוב השאלות קלות ובינוניות, ויש שאלה קשה, ומתאים לבוחן קצר או לדף תרגול, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

10 שאלותקלה: 5בינונית: 4קשה: 1

שאלה 1 · נקודה על המעגל, בתוכו או מחוצה לושאלה קצרה · קלה

נתונות הנקודות A(3,4)A(3,4)A(3,4) ו-B(6,8)B(6,8)B(6,8), ומעגל שמשוואתו x2+y2=R2x^2+y^2=R^2x2+y2=R2, כאשר R>0R>0R>0.

א.

מצאו את ערכי RRR שעבורם אחת מהנקודות נמצאת בתוך המעגל והאחרת מחוץ לו.

ב.

עבור R=7.5R=7.5R=7.5, מצאו את נקודת החיתוך של המעגל עם הקטע ABABAB.

שאלה 2 · נקודה על המעגל, בתוכו או מחוצה לושאלה קצרה · בינונית

נתונות הנקודות A(−1,2)A(-1,2)A(−1,2) ו-B(5,6)B(5,6)B(5,6), והנקודה P(3,t)P(3,t)P(3,t).

מצאו את ערכי ttt שעבורם הזווית APBAPBAPB היא זווית ישרה.

שאלה 3 · נקודה על המעגל, בתוכו או מחוצה לושאלה קצרה · קשה

נתונה המשוואה x2+y2−2kx+4y+k2−k−6=0x^2+y^2-2kx+4y+k^2-k-6=0x2+y2−2kx+4y+k2−k−6=0, כאשר kkk פרמטר.

מצאו את ערכי kkk שעבורם המשוואה מייצגת מעגל, וראשית הצירים נמצאת מחוץ למעגל.

שאלה 4 · נקודה על המעגל, בתוכו או מחוצה לושאלה קצרה · קלה

נתון המעגל (x−1)2+y2=13(x-1)^2+y^2=13(x−1)2+y2=13.

א.

מצאו את ערכי kkk שעבורם הנקודה (k,2)(k,2)(k,2) נמצאת בתוך המעגל.

ב.

מצאו את ערכי kkk שעבורם גם הנקודה (k,2)(k,2)(k,2) וגם הנקודה (2,k)(2,k)(2,k) נמצאות בתוך המעגל.

שאלה 5 · נקודה על המעגל, בתוכו או מחוצה לושאלה קצרה · בינונית

נתון המעגל x2+y2=20x^2+y^2=20x2+y2=20 והנקודה P(k,2k)P(k,2k)P(k,2k).

מצאו את ערכי kkk שעבורם PPP נמצאת מחוץ למעגל, וגם הישר x=kx=kx=k חותך את המעגל בשתי נקודות.

שאלה 6 · משולש חסום במעגל: משוואה, זווית ושטחשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו M(4,3)M(4,3)M(4,3), והוא עובר דרך ראשית הצירים OOO. הנקודה AAA היא נקודת החיתוך של המעגל עם החלק החיובי של ציר ה-yyy. המיתר ABABAB מקביל לציר ה-xxx (ראו סרטוט).
OABM

א.

מצאו את משוואת המעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ג.

הראו כי הנקודה C(1,−1)C(1,-1)C(1,−1) נמצאת על המעגל, ומצאו את גודל הזווית ACBACBACB.

ד.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 7 · רדיוס שעבורו נקודה אחת בתוך המעגל והאחרת מחוצה לושאלה קצרה · בינונית

נתונות הנקודות A(3,4)A(3,4)A(3,4) ו-B(6,8)B(6,8)B(6,8), ומעגל שמשוואתו x2+y2=R2x^2+y^2=R^2x2+y2=R2, כאשר R>0R>0R>0.

מצאו את ערכי RRR שעבורם אחת מהנקודות נמצאת בתוך המעגל והאחרת מחוץ לו.

שאלה 8 · מעגל במערכת צירים: משיק וקוטרשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו M(−12,0)M(-12,0)M(−12,0) ורדיוסו 5. הנקודה A(−8,3)A(-8,3)A(−8,3) נמצאת על המעגל.
MADBC

א.

הראו כי הנקודה AAA נמצאת על המעגל, ומצאו את משוואת הישר MAMAMA.

ב.

הישר MAMAMA חותך את ציר ה-yyy בנקודה BBB. מצאו את שיעורי BBB.

ג.

המשיק למעגל בנקודה AAA מאונך לרדיוס MAMAMA. מצאו את משוואת המשיק, ואת שיעורי הנקודה DDD שבה הוא חותך את ציר ה-yyy.

ד.

הנקודה CCC נמצאת על המעגל כך ש-ACACAC קוטר. מצאו את שיעורי CCC, והראו כי BD=CDBD=CDBD=CD.

ה.

חשבו את גודל הזווית ABDABDABD.

שאלה 9 · נקודות על מעגל נתון, זווית היקפית ושטח משולששאלת ביניים · בינונית

נתון המעגל (x−4)2+(y−3)2=25(x-4)^2+(y-3)^2=25(x−4)2+(y−3)2=25 שמרכזו M(4,3)M(4,3)M(4,3), והוא עובר דרך ראשית הצירים OOO. הנקודה AAA היא נקודת החיתוך של המעגל עם החלק החיובי של ציר ה-yyy. המיתר ABABAB מקביל לציר ה-xxx (ראו סרטוט).
OABM

א.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ב.

הראו כי הנקודה C(1,−1)C(1,-1)C(1,−1) נמצאת על המעגל, ומצאו את גודל הזווית ACBACBACB.

ג.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 10 · בדיקה שנקודה נמצאת על המעגל, וישר דרך המרכזשאלה קצרה · קלה

נתון מעגל שמרכזו M(−12,0)M(-12,0)M(−12,0) ורדיוסו 5. נתונה הנקודה A(−8,3)A(-8,3)A(−8,3).

הראו כי הנקודה AAA נמצאת על המעגל, ומצאו את משוואת הישר MAMAMA.