שאלות פתוחות: משוואת מעגל שמרכזו (a,b): מציאת מרכז ורדיוס - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על משוואת מעגל שמרכזו (a,b) ועל מציאת המרכז והרדיוס מתוך המשוואה, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים משלימים לריבוע כדי להגיע לצורה הקנונית, ובודקים מתי משוואה מתארת מעגל. יש שאלות על משפחת מעגלים עם פרמטר, על מעגל שמרכזו על ישר נתון ועובר בנקודה, על הזזה של מעגל, ועל ישר דרך הראשית ומרכז המעגל. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ואפשר להרכיב מהן דף עבודה או מבחן, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

20 שאלותקלה: 5בינונית: 11קשה: 4

שאלה 1 · משוואת מעגל שמרכזו (a,b): מציאת מרכז ורדיוסשאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה (x+2y)2+(2x−y)2=10x−20y+20(x+2y)^2+(2x-y)^2=10x-20y+20(x+2y)2+(2x−y)2=10x−20y+20.

א.

הראו כי המשוואה מתארת מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-xxx.

שאלה 2 · משוואת מעגל שמרכזו (a,b): מציאת מרכז ורדיוסשאלה קצרה · בינונית

המעגל (x−a)2+(y−a)2=25(x-a)^2+(y-a)^2=25(x−a)2+(y−a)2=25 עובר דרך הנקודה (1,0)(1,0)(1,0).

א.

מצאו את ערכי aaa האפשריים.

ב.

הראו שהנקודה (0,1)(0,1)(0,1) נמצאת על שני המעגלים המתאימים לערכים שמצאתם בסעיף א.

שאלה 3 · משוואת מעגל שמרכזו (a,b): מציאת מרכז ורדיוסשאלה קצרה · קשה

נתונה משפחת המעגלים x2+y2−2ax−2(4−a)y=0x^2+y^2-2ax-2(4-a)y=0x2+y2−2ax−2(4−a)y=0, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את ערך aaa שעבורו רדיוס המעגל הוא הקטן ביותר, ואת משוואת המעגל הזה.

שאלה 4 · מיתרים נחתכים במעגל: צעד אחר צעדשאלה מלאה · קלה

במעגל שמשוואתו (x−8)2+(y−1)2=100(x-8)^2+(y-1)^2=100(x−8)2+(y−1)2=100 המיתרים ACACAC ו-BDBDBD נפגשים בנקודה EEE. הנקודות AAA ו-BBB הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-yyy (BBB מעל AAA), כמתואר באיור.
ABCDExy

א.

(1)

הסבירו מדוע ∠BAC=∠BDC\angle BAC=\angle BDC∠BAC=∠BDC.

(2)

הוכיחו כי המשולשים ABEABEABE ו-DCEDCEDCE דומים.

ב.

מצאו את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ד.

העבירו מיתר ADADAD. נתון: ∠CAD=30∘\angle CAD=30^\circ∠CAD=30∘.

המעגל חוסם את המשולש ACDACDACD. היעזרו במשפט הסינוסים במשולש ACDACDACD וחשבו את אורך המיתר CDCDCD.

ה.

מצאו את יחס הדמיון בין המשולש ABEABEABE למשולש DCEDCEDCE, ואת היחס בין שטחיהם.

שאלה 5 · משוואת מעגל שמרכזו (a,b): מציאת מרכז ורדיוסשאלה קצרה · בינונית

נתון המעגל x2+y2+6x−8y=0x^2+y^2+6x-8y=0x2+y2+6x−8y=0, המתואר בשרטוט. OOO היא ראשית הצירים. הישר העובר דרך OOO ודרך מרכז המעגל חותך את המעגל בנקודה נוספת PPP.
O

מצאו את מרכז המעגל ואת רדיוסו, ואת שיעורי הנקודה PPP.

שאלה 6 · משוואת מעגל שמרכזו (a,b): מציאת מרכז ורדיוסשאלת ביניים · קשה

מזיזים את המעגל x2+y2=25x^2+y^2=25x2+y2=25 ב-222 יחידות שמאלה וביחידה אחת למעלה. נתונה הנקודה Q(10,10)Q(10,10)Q(10,10).

א.

מצאו את המרחק הקטן ביותר ואת המרחק הגדול ביותר בין QQQ לבין נקודה על המעגל החדש.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה על המעגל הקרובה ביותר ל-QQQ.

שאלה 7 · מעגל במערכת צירים: ממשוואת המעגל לזוויות ולשטחשאלה מלאה · קלה

מרכז המעגל שבסרטוט הוא M(0,5)M(0,5)M(0,5), והמעגל עובר בנקודה A(−5,6)A(-5,6)A(−5,6). המעגל חותך את ציר ה-xxx בנקודות CCC ו-DDD (CCC מימין). הנקודה B(1,10)B(1,10)B(1,10) נמצאת על המעגל, והמשולש ABCABCABC חד זוויות.
ABCDEM

א.

(1)

מצאו את משוואת המעגל.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודות CCC ו-DDD.

ב.

(1)

מצאו את אורך הצלע ACACAC.

(2)

היעזרו במשפט הסינוסים במשולש ABCABCABC, ACsin⁡∠ABC=2R\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2Rsin∠ABCAC​=2R, ומצאו את גודל הזווית ABCABCABC.

ג.

הנקודה E(−5,4)E(-5,4)E(−5,4) נמצאת על הקשת הקטנה ACACAC.

הסבירו מדוע ABCEABCEABCE הוא מרובע חסום במעגל, ומצאו את גודל הזווית AECAECAEC.

ד.

(1)

נתון: EC=52EC=\sqrt{52}EC=52​. מצאו את גודל הזווית EACEACEAC.

(2)

מצאו את שטח המשולש AECAECAEC.

שאלה 8 · משולש שווה שוקיים חסום במעגל: גובה דרך המרכזשאלה מלאה · בינונית

משולש ABCABCABC חסום במעגל שמרכזו MMM. CDCDCD הוא הגובה לצלע ABABAB. ידוע כי CDCDCD עובר דרך מרכז המעגל.
ABCDM

א.

הוכיחו כי: CA=CBCA=CBCA=CB.

ב.

נתונה משוואת המעגל: (x+1)2+(y−3)2=100(x+1)^2+(y-3)^2=100(x+1)2+(y−3)2=100. משוואת הצלע ABABAB היא: y=−3y=-3y=−3.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB.

ג.

(1)

חשבו את גודל הזווית ACBACBACB.

(2)

מצאו את גודל הזוויות של המשולש ACMACMACM.

ד.

(1)

חשבו את אורכי הקטעים CMCMCM ו-DMDMDM.

(2)

חשבו את היחס בין השטחים של המשולשים ACMACMACM ו-ADMADMADM.

שאלה 9 · מעגל חסום במשולש ישר זווית: מציאת הקודקוד מהמעגלשאלה מלאה · קשה

המשולש ABOABOABO ישר זווית, OOO ראשית הצירים, A(−15,0)A(-15,0)A(−15,0), והקודקוד BBB נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yyy.
המעגל (x+3)2+(y−3)2=9(x+3)^2+(y-3)^2=9(x+3)2+(y−3)2=9 חסום במשולש: הוא משיק לצלעות AOAOAO, BOBOBO ו-ABABAB בנקודות DDD, EEE ו-FFF בהתאמה.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה FFF.

ג.

חשבו את השטח של החלק במשולש ABOABOABO שנמצא מחוץ לעיגול.

שאלה 10 · מעגל, קוטר ומשיק במערכת צירים - צעד אחר צעדשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מעגל שמשוואתו (x−4)2+(y−3)2=25(x-4)^2+(y-3)^2=25(x−4)2+(y−3)2=25 ומרכזו MMM. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה-xxx בנקודה AAA. ABABAB הוא קוטר במעגל. דרך הנקודה BBB העבירו משיק למעגל, החותך את ציר ה-xxx בנקודה CCC.
ABCDM

א.

מצאו את שיעורי המרכז MMM, את הרדיוס ואת שיעורי הנקודה AAA.

ב.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה BBB.

(2)

הראו כי משוואת המשיק BCBCBC היא y=43x+6y=\frac43x+6y=34​x+6.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודה CCC ואת אורך הקטע ACACAC.

ד.

הנקודה DDD נמצאת על המעגל כך ש-ABABAB חוצה את הזווית DACDACDAC.

(1)

הסבירו מדוע ∠ADB=90∘\angle ADB=90^\circ∠ADB=90∘ ומדוע ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘.

(2)

הוכיחו: △ABC∼△ADB\triangle ABC\sim\triangle ADB△ABC∼△ADB.

ה.

מצאו פי כמה גדול שטח המשולש ABCABCABC משטח המשולש ADBADBADB.

עוד 6 שאלות על משוואת מעגל שמרכזו (a,b): מציאת מרכז ורדיוס

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מיתרים נחתכים במעגל: דמיון, משוואת מעגל ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל המיתרים $AC$ ו- $BD$ נפגשים בנקודה $E$ , כמתואר באיור.
מעגל נתון: קודקודי משולש שווה שוקיים וזוויותיו (שאלת ביניים · קשה)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . $CD$ הוא הגובה לצלע $AB$ . ידוע כי $CD$ עובר דרך מרכז המעגל.
מרכז ורדיוס, וחיתוך המעגל עם ציר ה-y (שאלה קצרה · קלה)
נתון המעגל שמשוואתו $(x-8)^2+(y-1)^2=100$ . הנקודות $A$ ו- $B$ הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- $y$ ( $B$ מעל $A$ ).
מעגל במערכת צירים: משולש חסום ומרובע חסום (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל חסום משולש חד זוויות $ABC$ . נתון: $A(-5,4)$ , $B(4,7)$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $y$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $C$ ו- $D$ ,…
מרובע חסום במעגל במערכת צירים: זווית היקפית, שטח ודמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שמשוואתו $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ . המשכי הצלעות $AD$ ו- $BC$ נפגשים בנקודה $E$ (ראו ציור). נתון: $A(-4,2)$ , $B(1,-3)$ ,…
מעגל נתון: חיתוך עם ציר ה-x, קצה קוטר וזווית במרובע חסום (שאלת ביניים · בינונית)
המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . ציר ה- $y$ משיק למעגל בנקודה $A$ , והמעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ . $AD$ הוא קוטר במעגל (ראו…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולש שווה שוקיים חסום במעגל: גובה דרך המרכז · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 5
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . $CD$ הוא הגובה לצלע $AB$ . ידוע כי $CD$ עובר דרך מרכז המעגל.
מיתרים נחתכים במעגל: דמיון, משוואת מעגל ומשפט הסינוסים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 5
במעגל המיתרים $AC$ ו- $BD$ נפגשים בנקודה $E$ , כמתואר באיור.
מעגל במערכת צירים: משולש חסום, משפט הסינוסים ומרובע חסום · בגרות 471 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
במעגל חסום משולש חד זוויות $ABC$ . נתון: $A(-5,3)$ , $B(3,7)$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $y$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $C$ ו- $D$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם.
מרובע חסום במעגל במערכת צירים: זווית היקפית, שטח ודמיון משולשים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 5
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שמשוואתו $(x-2)^2+(y+2)^2=100$ . המשכי הצלעות $AD$ ו- $BC$ נפגשים בנקודה $E$ (ראו ציור). נתון: $A(-8,-2)$ , $B(8,-10)$ , $E(0,14)$ ,…