שאלות פתוחות: מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהם - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהם, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים משתמשים בכך שהרדיוס שווה למרחק המרכז מהציר המשיק, ומוצאים משוואת מעגל שמשיק לשני הצירים ועובר בנקודה, או מעגל שמרכזו על ישר נתון ומשיק לציר ה-y. יש שאלות על מעגל המשיק לציר ה-x ועובר בשתי נקודות, ושאלות על מרובע חסום שקוטרו יוצא מנקודת ההשקה. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ומתאים להרכבת בוחן או מבחן, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

47 שאלותקלה: 10בינונית: 28קשה: 9

שאלה 1 · מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהםשאלה קצרה · קלה

רדיוס מעגל הוא 555. מרכז המעגל נמצא ברביע הראשון על הישר y=x+1y=x+1y=x+1, והמעגל משיק לציר ה-yyy.

א.

מצאו את משוואת המעגל.

ב.

האם המעגל חותך את ציר ה-xxx? אם כן - מצאו את נקודות החיתוך; אם לא - נמקו.

שאלה 2 · מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהםשאלה קצרה · בינונית

מעגל שמרכזו ברביע הראשון משיק לשני הצירים ועובר דרך הנקודה P(2,1)P(2,1)P(2,1).

מצאו את משוואות כל המעגלים המקיימים את הנתונים.

שאלה 3 · מעגל המשיק לציר ה-y עם פרמטרשאלה מלאה · קשה

ציר ה-yyy משיק בנקודה A(0,−k)A(0,-k)A(0,−k) למעגל שמרכזו MMM ורדיוסו 6, כאשר 0<k<60<k<60<k<6. המעגל חותך את ציר ה-xxx בנקודות BBB ו-CCC (BBB קרובה יותר לציר ה-yyy). ADADAD הוא קוטר במעגל (ראו איור).
ABCDM

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודות MMM, BBB, CCC ו-DDD.

ב.

מצאו את הערך של kkk שעבורו AB=BCAB=BCAB=BC.

ג.

עבור kkk שמצאתם, חשבו את גודל הזווית BADBADBAD ואת גודל הזווית BCDBCDBCD.

ד.

בסעיף זה kkk אינו נתון (0<k<60<k<60<k<6).

הוכיחו כי לכל ערך של kkk מתקיים ∠BAD>45∘\angle BAD>45^\circ∠BAD>45∘.

שאלה 4 · מעגל המשיק לציר ה-y: זוויות במרובע החסוםשאלה מלאה · קלה

ציר ה-yyy משיק בנקודה A(0,−3)A(0,-3)A(0,−3) למעגל שמרכזו MMM ורדיוסו 5. המעגל חותך את ציר ה-xxx בנקודות BBB ו-CCC (BBB קרובה יותר לציר ה-yyy). ADADAD הוא קוטר במעגל (ראו איור).
ABCDM

א.

הרדיוס MAMAMA מאונך לציר ה-yyy. מצאו את שיעורי MMM ואת משוואת המעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB, CCC ו-DDD.

ג.

הסבירו מדוע ∠ABD=90∘\angle ABD=90^\circ∠ABD=90∘.

ד.

חשבו את גודל הזווית BADBADBAD.

ה.

מצאו את גודל הזווית BCDBCDBCD. נמקו.

שאלה 5 · מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהםשאלה קצרה · בינונית

מעגל משיק לציר ה-xxx ועובר דרך הנקודות A(−1,4)A(-1,4)A(−1,4) ו-B(1,2)B(1,2)B(1,2).

מצאו את משוואות כל המעגלים המקיימים את הנתונים.

שאלה 6 · מעגל המשיק לציר ה-x עם פרמטר: למה AC שווה ל-OBשאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שמרכזו M(8,t)M(8,t)M(8,t), כאשר t>8t>8t>8. המעגל משיק לציר ה-xxx בנקודה AAA וחותך את ציר ה-yyy בשתי נקודות; BBB היא העליונה מביניהן. הישר BCBCBC משיק למעגל בנקודה BBB, ו-∠BCA=90∘\angle BCA=90^\circ∠BCA=90∘. OOO היא ראשית הצירים.
ABCMO

א.

הביעו באמצעות ttt את משוואת המעגל ואת שיעורי הנקודה BBB.

ב.

הוכיחו כי ABABAB חוצה את הזווית CAMCAMCAM.

ג.

הוכיחו כי AC=OBAC=OBAC=OB לכל ערך של ttt.

ד.

נתון כי AC=32AC=32AC=32. מצאו את ttt.

שאלה 7 · מעגל המשיק לציר ה-x: מהמשיק לאורך האנךשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו M(4,5)M(4,5)M(4,5), המשיק לציר ה-xxx בנקודה AAA. רדיוס המעגל שווה למרחק המרכז מציר ה-xxx.
ABCM

א.

מצאו את רדיוס המעגל, את משוואתו ואת שיעורי הנקודה AAA.

ב.

המעגל חותך את ציר ה-yyy בשתי נקודות. BBB היא העליונה מביניהן.

מצאו את שיעורי הנקודה BBB.

ג.

הראו ששיפוע הרדיוס MBMBMB הוא −34-\frac34−43​, ומצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה BBB.

ד.

מהנקודה AAA הורידו אנך למשיק, והוא פוגש את המשיק בנקודה CCC.

הוכיחו כי AC∥MBAC\parallel MBAC∥MB. (רמז: מה הזווית בין MBMBMB למשיק?)

ה.

מצאו את משוואת הישר ACACAC ואת שיעורי הנקודה CCC.

ו.

חשבו את אורך הקטע ACACAC.

שאלה 8 · מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהםשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה x2+y2−2(a+1)x−2(a−1)y+a2+3=0x^2+y^2-2(a+1)x-2(a-1)y+a^2+3=0x2+y2−2(a+1)x−2(a−1)y+a2+3=0, כאשר aaa פרמטר.

א.

מצאו לאילו ערכים של aaa המשוואה מייצגת מעגל, והביעו באמצעות aaa את מרכזו ואת רדיוסו.

ב.

האם יש ערך של aaa שעבורו המשוואה מייצגת מעגל המשיק לאחד מצירי השיעורים? אם כן - מצאו אותו; אם לא - נמקו.

שאלה 9 · מעגל המשיק לציר: שתי אפשרויות לנקודה Bשאלה מלאה · קשה

מעגל שמרכזו MMM ורדיוסו 5 משיק לציר ה-yyy בנקודה C(0,4)C(0,4)C(0,4), ומרכזו משמאל לציר ה-yyy. ACACAC קוטר במעגל. המעגל חותך את ציר ה-xxx בשתי נקודות, והנקודה BBB היא אחת מהן. הנקודה DDD נמצאת על ציר ה-yyy מעל CCC, וידוע כי ∠BAC=∠ADC\angle BAC=\angle ADC∠BAC=∠ADC.
AMC

א.

מצאו את משוואת המעגל ואת שתי האפשרויות לשיעורי הנקודה BBB.

ב.

הוכיחו כי ΔABC∼ΔDCA\Delta ABC\sim\Delta DCAΔABC∼ΔDCA (בעבור כל אחת משתי האפשרויות).

ג.

מצאו את שיעורי הנקודה DDD בעבור כל אחת משתי האפשרויות לנקודה BBB.

ד.

הראו כי מכפלת שני האורכים האפשריים של DCDCDC שווה ל-AC2AC^2AC2, והסבירו מדוע (רמז: השיקוף ביחס לישר x=−5x=-5x=−5).

שאלה 10 · מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהםשאלה קצרה · קלה

מעגל שרדיוסו 5 משיק לציר ה-yyy בנקודה (0,3)(0,3)(0,3), ומרכזו משמאל לציר ה-yyy.

א.

מצאו את משוואת המעגל.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-xxx.

עוד 29 שאלות על מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהם

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהם (שאלה קצרה · בינונית)
מרכז מעגל נמצא על הישר $y=x-2$ , והמעגל משיק לציר ה- $y$ . המעגל חותך מציר ה- $x$ מיתר שאורכו $12$ .
מעגל המשיק לציר ה-x ומקבילית: רדיוס כפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
מעגל שמרכזו $M(6,r)$ ורדיוסו $r$ ( $r>6$ ) משיק לציר ה- $x$ בנקודה $E$ , וחותך את ציר ה- $y$ בנקודות $B$ (התחתונה) ו- $C$ . הנקודה $A$ , השונה…
משולש חסום במעגל המשיק לציר: מהזוויות לשטח (שאלה מלאה · קלה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C(0,12)$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B(-8,0)$ ,…
מעגל המשיק לציר ה-y וטרפז חסום (שאלה מלאה · בינונית)
המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . ציר ה- $y$ משיק למעגל בנקודה $A$ , והמעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ . $AD$ הוא קוטר במעגל (ראו…
מעגל משיק לציר: זווית היקפית קבועה ושטח מקסימלי (שאלה מלאה · קשה)
מעגל עובר דרך הנקודות $A(8,-3)$ ו- $B(8,5)$ ומשיק לציר ה- $y$ . מרכז המעגל נמצא מימין לציר ה- $y$ .
מעגל המשיק לציר ה-x ומקבילית: בחישוב (שאלה מלאה · קלה)
מעגל שמרכזו $M(4,5)$ משיק לציר ה- $x$ בנקודה $E$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $B$ (התחתונה) ו- $C$ . הנקודה $A$ נמצאת על המשך $ME$ מתחת…
מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהם (שאלה קצרה · בינונית)
מעגל שמרכזו ברביע הראשון משיק לציר ה- $x$ בנקודה $(4,0)$ ועובר דרך הנקודה $(0,2)$ .
מעגלים המשיקים לשני הצירים שמרכזם על ישר (שאלה מלאה · קשה)
הישר $\ell$ : $y=\frac13x+2$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $A$ . מעגל שמרכזו $M$ נמצא על הישר $\ell$ משיק לשני הצירים: לציר ה- $x$ בנקודה $C$ ולציר…
מעגל המשיק לציר ה-x: דלתון ומעגל חוסם (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל שרדיוסו 3 ומרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . המעגל משיק לציר ה- $x$ בראשית הצירים $O$ , כמתואר בסרטוט. הישר $4x+3y=24$ …
מעגל המשיק לציר ה-x: משיק בנקודה על ציר ה-y וחוצה זווית (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $M(5,13)$ . המעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $A$ .
חוצה זווית במערכת צירים: הצלע, נקודת המפגש של חוצי הזוויות ומעגלים המשיקים לשלוש הצלעות (שאלה מלאה · קשה)
המשולש $ABC$ ישר זווית ב- $B$ , ו- $B$ היא ראשית הצירים. $A(0,12)$ , והנקודה $C$ על החלק החיובי של ציר ה- $x$ . הישר $AD$ חוצה את $\angle BAC$ …
מעגל חסום במשולש ישר זווית: ריבוע, משוואה ומשיקים (שאלה מלאה · קלה)
המשולש $ABO$ ישר זווית, $O$ ראשית הצירים, $A$ על החלק השלילי של ציר ה- $x$ ו- $B$ על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . במשולש חסום מעגל שמרכזו $C$ ,…
מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהם (שאלה קצרה · בינונית)
מרכז מעגל הוא $M(-4,b)$ , כאשר $b>0$ . המעגל משיק לציר ה- $x$ ועובר בנקודה $P(0,2)$ .
מעגל העובר דרך שתי נקודות ומשיק לציר ה-y (שאלה קצרה · קשה)
מעגל עובר דרך הנקודות $A(8,-3)$ ו- $B(8,5)$ ומשיק לציר ה- $y$ . מרכז המעגל נמצא מימין לציר ה- $y$ .
מעגל המשיק לשני הצירים: מרכז מהצורה $(r, r)$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הנקודות $A(0,4)$ ו- $B(20,14)$ .
מעגל המשיק לציר ה-x: דמיון, משוואת המעגל ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $C$ וחותך את ציר ה- $y$ בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט.…
רדיוס מעגל המשיק לציר ה-x ולישר נתון, בעזרת דמיון (שאלת ביניים · קשה)
נתון מעגל שמרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. המעגל משיק לציר ה- $x$ וחותך את ציר ה- $y$ בנקודה $C$ ,…
משוואת מעגל המשיק לציר ה-x כשמרכזו נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתון מעגל שמרכזו $M(4,5)$ , המשיק לציר ה- $x$ בנקודה $A$ . רדיוס המעגל שווה למרחק המרכז מציר ה- $x$ .
משולש חסום במעגל המשיק לציר: דמיון, מעגל ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט.…
מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהם (שאלה קצרה · בינונית)
מעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C(0,6)$ ועובר דרך הנקודה $B(-2,2)$ .
מעגל המשיק לציר ה-y ומקבילית: הוכחות ושיעורי נקודות (שאלה מלאה · בינונית)
מעגל שמרכזו $M$ משיק לציר ה- $y$ בנקודה $E$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם ( $B$ קרובה יותר לראשית הצירים).…
מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהם (שאלה קצרה · בינונית)
מעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $E(6,0)$ ועובר דרך הנקודה $P(2,2)$ . מרכז המעגל מעל ציר ה- $x$ .
מעגל המשיק לציר ה-x ודלתון החסום במעגל (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. המעגל משיק לציר ה- $x$ וחותך את ציר ה- $y$ בנקודה $C$ ,…
מעגל חסום במשולש ישר זווית במערכת צירים (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABO$ הוא ישר זווית. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. הצלע $AO$ נמצאת על החלק החיובי של ציר ה- $x$ , והצלע $BO$ נמצאת על החלק החיובי של ציר…
מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהם (שאלה קצרה · בינונית)
מעגל שמרכזו ברביע השלישי משיק לשני הצירים. נקודת ההשקה שלו עם ציר ה- $x$ היא $(-5,0)$ .
מעגל המשיק לשני הצירים שמרכזו על ישר נתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(0,3)$ ו- $B(28,24)$ .
מעגל המשיק לאחד הצירים או לשניהם (שאלה קצרה · בינונית)
מרכז מעגל נמצא ברביע הראשון על הישר $y=3x-8$ , והמעגל משיק לשני הצירים.
מעגל המשיק לציר ה-y: משוואה וחיתוך עם ציר ה-x (שאלה קצרה · בינונית)
מעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו 5 משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C(0,4)$ , ומרכזו משמאל לציר ה- $y$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בשתי נקודות, והנקודה $B$ היא אחת…
מרכז מעגל המשיק לשני הצירים על ישר נתון (שאלת ביניים · בינונית)
נתונות הנקודות $A(0,4)$ ו- $B(20,14)$ . משוואת הישר $AB$ היא $y=\frac12x+4$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מעגל המשיק לציר ה-y וטרפז חסום · בגרות 471 חורף 2021, שאלה 5
המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . ציר ה- $y$ משיק למעגל בנקודה $A$ , והמעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ . $AD$ הוא קוטר במעגל (ראו איור).
מעגל המשיק לציר ה-x: משיק, הקבלה וחוצה זווית · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $M(6,10)$ . המעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $A$ .
מעגל המשיק לציר: דמיון משולשים, משוואת המעגל ושטח מרובע · בגרות 471 קיץ 2023 מועד א', שאלה 5
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על…
משולש חסום במעגל המשיק לציר: דמיון, משוואת המעגל ושטח · בגרות 471 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על…
מעגל המשיק לציר ה-x ומקבילית: הוכחות ושיעורי נקודות · בגרות 471 חורף 2023, שאלה 5
מעגל שמרכזו $M$ משיק לציר ה- $x$ בנקודה $E$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $B$ ו- $C$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם. הנקודה $A$ נמצאת על המשך $ME$ , כמתואר בסרטוט.
מעגל המשיק לציר ה-x ודלתון החסום במעגל · בגרות 471 חורף 2024, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. המעגל משיק לציר ה- $x$ וחותך את ציר ה- $y$ בנקודה $C$ , כמתואר בסרטוט. דרך…
מעגל חסום במשולש ישר זווית במערכת צירים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 5
המשולש $ABO$ הוא ישר זווית. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. הצלע $AO$ נמצאת על ציר ה- $x$ , והצלע $BO$ נמצאת על ציר ה- $y$ (ראה ציור). במשולש $ABO$ חסום מעגל שמרכזו…
מעגל המשיק לשני הצירים שמרכזו על ישר נתון · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 5
נתונות הנקודות $A(0,2)$ ו- $B(18,14)$ .