שאלות פתוחות: תופעות שמתפלגות נורמלית ותופעות שאינן - כיתה י"א 4 יח"ל

בדף הזה 8 שאלות פתוחות במתמטיקה על תופעות שמתפלגות נורמלית ותופעות שאינן, לתלמידי כיתה י"א 4 יח"ל, מתוך הנושא "התפלגות נורמלית: העקומה ותכונותיה". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

8 שאלותקלה: 3בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · תופעות שמתפלגות נורמלית ותופעות שאינןשאלה קצרה · קלה

במדגם של 200200200 נתונים הממוצע הוא 505050 וסטיית התקן היא בקירוב 101010. מספר הנתונים בכל תחום:
תחוםפחות מ-303030303030-404040404040-505050505050-606060606060-707070יותר מ-707070
מספר נתונים000404040606060606060404040000
בהתפלגות נורמלית כ-68%68\%68% מהנתונים נמצאים בתחום של סטיית תקן אחת מהממוצע, וכ-95%95\%95% בתחום של שתי סטיות תקן מהממוצע.

תחום	פחות מ- $30$	$30$ - $40$	$40$ - $50$	$50$ - $60$	$60$ - $70$	יותר מ- $70$
מספר נתונים	$0$	$40$	$60$	$60$	$40$	$0$

א.

איזה אחוז מהנתונים נמצא בתחום של סטיית תקן אחת מהממוצע? כמה נתונים נמצאים מחוץ לתחום של שתי סטיות תקן מהממוצע?

ב.

האם סביר שהנתונים מתפלגים נורמלית? נמקו.

שאלה 2 · אורך חיים של נורות: האם ההתפלגות נורמליתשאלה קצרה · בינונית

במדגם של 400400400 נורות, אורך החיים הממוצע הוא 1,0001{,}0001,000 שעות. 260260260 מהנורות פעלו פחות מ-1,0001{,}0001,000 שעות.

א.

האם סביר שאורך החיים של הנורות מתפלג נורמלית? נמקו.

ב.

האם החציון של אורכי החיים במדגם גדול מ-1,0001{,}0001,000 שעות או קטן ממנו? נמקו.

שאלה 3 · התפלגות סימטרית שאינה נורמלית: בדיקה לפי סטיות תקןשאלה קצרה · קשה

במדגם של 200200200 נתונים הממוצע הוא 505050 וסטיית התקן היא בקירוב 101010. מספר הנתונים בכל תחום:
תחוםפחות מ-303030303030-404040404040-505050505050-606060606060-707070יותר מ-707070
מספר נתונים000404040606060606060404040000
בהתפלגות נורמלית כ-68%68\%68% מהנתונים נמצאים בתחום של סטיית תקן אחת מהממוצע, וכ-95%95\%95% בתחום של שתי סטיות תקן מהממוצע.

תחום	פחות מ- $30$	$30$ - $40$	$40$ - $50$	$50$ - $60$	$60$ - $70$	יותר מ- $70$
מספר נתונים	$0$	$40$	$60$	$60$	$40$	$0$

האם סביר שהנתונים מתפלגים נורמלית? נמקו.

שאלה 4 · תופעות שמתפלגות נורמלית ותופעות שאינןשאלה קצרה · קלה

במדגם של 100100100 נתונים יש רק שלושה ערכים שונים:
ערך101010202020303030
מספר נתונים404040202020404040
רון טוען: "כל התפלגות סימטרית שבה הממוצע שווה לחציון היא התפלגות נורמלית".

ערך	$10$	$20$	$30$
מספר נתונים	$40$	$20$	$40$

א.

הראו כי התפלגות הנתונים סימטרית, וכי הממוצע שלהם שווה לחציון.

ב.

האם הנתונים מתפלגים נורמלית? האם הטענה של רון נכונה? נמקו.

שאלה 5 · האם התופעה מתפלגת נורמליתשאלה קצרה · בינונית

בשני הסעיפים בודקים אם סביר שתופעה מתפלגת נורמלית.

א.

לכל אחת מן התופעות הבאות קבעו אם סביר שהיא מתפלגת נורמלית, ונמקו.
(1) המשקל של שקיות סוכר של 111 ק"ג שממלאת מכונה.
(2) מספר הילדים במשפחה, בכל המשפחות בעיר.
(3) הספרה האחרונה (מ-000 עד 999) של מספרי הטלפון של תושבי העיר.

ב.

זמני ההמתנה של לקוחות בתור בבנק נמדדו בדקות. הממוצע של זמני ההמתנה הוא 444 דקות, וסטיית התקן היא 444 דקות. ידוע שבהתפלגות נורמלית העקומה סימטרית סביב הממוצע, וכ-68%68\%68% מהנתונים נמצאים בתחום של סטיית תקן אחת מהממוצע. האם זמני ההמתנה יכולים להתפלג נורמלית? נמקו.

שאלה 6 · הטלות קובייה: התפלגות סימטרית שאינה נורמליתשאלת ביניים · קשה

בניסוי הטילו קובייה 600600600 פעמים. כל אחת מן התוצאות 111, 222, 333, 444, 555, 666 התקבלה בדיוק 100100100 פעמים. ידוע שבהתפלגות נורמלית כ-68%68\%68% מהנתונים נמצאים בתחום של סטיית תקן אחת מהממוצע, וכ-95%95\%95% מהנתונים נמצאים בתחום של שתי סטיות תקן מהממוצע.

א.

מצאו את הממוצע ואת החציון של 600600600 התוצאות.

ב.

חשבו את סטיית התקן של התוצאות (דייקו עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית), ומצאו איזה אחוז מהתוצאות נמצא בתחום של סטיית תקן אחת מהממוצע.

ג.

רינה טוענת: "האחוז שמצאתם בסעיף ב' קרוב ל-68%68\%68%, ולפי סעיף א' ההתפלגות סימטרית והממוצע שווה לחציון. לכן תוצאות ההטלות מתפלגות נורמלית." האם רינה צודקת? נמקו (היעזרו גם בתחום של שתי סטיות תקן מהממוצע).

שאלה 7 · האם התפלגות הטמפרטורות בהיסטוגרמה יכולה להיות נורמליתשאלה קצרה · קלה

ההיסטוגרמה שלפניכם מתארת את הטמפרטורה המרבית היומית (במעלות צלזיוס) בעיר מסוימת בכל 365365365 ימי השנה. השכיחויות במחלקות [5,10)[5,10)[5,10), [10,15)[10,15)[10,15), [15,20)[15,20)[15,20), [20,25)[20,25)[20,25), [25,30)[25,30)[25,30), [30,35][30,35][30,35] הן 20,70,55,45,105,7020, 70, 55, 45, 105, 7020,70,55,45,105,70 בהתאמה.
‫טמפרטורה מרבית יומית במשך שנה‬02040608010012020705545105705101520253035‫טמפרטורה (מעלות)‬‫מספר ימים‬

האם התפלגות הטמפרטורות יכולה להיות נורמלית? נמקו.

שאלה 8 · שקיות קמח: בדיקה אם המשקלים מתפלגים נורמליתשאלת ביניים · בינונית

מכונה ממלאת שקיות קמח. נשקלו 100100100 שקיות, והתוצאות מסוכמות בטבלה (משקל שנמצא בדיוק על גבול בין שתי מחלקות נספר במחלקה העליונה):
משקל (גרם)985985985-990990990990990990-995995995995995995-1,0001{,}0001,0001,0001{,}0001,000-1,0051{,}0051,0051,0051{,}0051,005-1,0101{,}0101,0101,0101{,}0101,010-1,0151{,}0151,015
מספר שקיות222141414343434343434141414222
סטיית התקן של המשקלים היא בקירוב 555 גרם. ידוע שבהתפלגות נורמלית כ-68%68\%68% מהנתונים נמצאים בתחום של סטיית תקן אחת מהממוצע, וכ-95%95\%95% מהנתונים נמצאים בתחום של שתי סטיות תקן מהממוצע.

משקל (גרם)	$985$ - $990$	$990$ - $995$	$995$ - $1{,}000$	$1{,}000$ - $1{,}005$	$1{,}005$ - $1{,}010$	$1{,}010$ - $1{,}015$
מספר שקיות	$2$	$14$	$34$	$34$	$14$	$2$

א.

הסבירו מדוע ההתפלגות של המשקלים בטבלה סימטרית, מצאו את הממוצע (בעזרת אמצעי המחלקות) והעריכו את החציון של המשקלים.

ב.

איזה אחוז מהשקיות נמצא בתחום של סטיית תקן אחת מהממוצע? איזה אחוז מהשקיות נמצא בתחום של שתי סטיות תקן מהממוצע?

ג.

האם סביר שמשקלי השקיות מתפלגים נורמלית? נמקו בעזרת סעיפים א' ו-ב'.