מבחן לדוגמה: פונקציית ההצטברות ומושג האינטגרל - כיתה י"א 5 יח"ל

הביעו באמצעות $v_A$, $v_B$ ו-$t$ את המרחק של כל אחד מהרצים מנקודת הזינוק ברגע $t$, עבור $t\ge10$. הסבירו מה מייצג כל ביטוי בגרפי המהירות.

מצאו את $v_A$ ואת $v_B$.

באיזה רגע, אחרי שרץ B משיג את רץ A, יהיה רץ B $30$ מטרים לפני רץ A?

נתונה הפונקציה: $f(x)=\left(1-\frac1{x^2}\right)^3$.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום $0\le x\le8$, ונתונה הפונקציה $h(t)=\int_0^t f(x)\,dx$ בתחום זה.

לפניכם משולש חד-זווית ABC חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: $\angle BAC=\alpha$, $\angle ABC=2\alpha$. דרך כל אחד מקודקודי המשולש מעבירים משיק למעגל. המשיקים בנקודות A ו-C נפגשים בנקודה D, המשיקים בנקודות A ו-B נפגשים בנקודה E, והמשיקים בנקודות B ו-C נפגשים בנקודה F.

הביעו באמצעות $\alpha$ את זוויות המשולש DEF.

מצאו את $n$ שעבורו $S_n$ קטן מהשטח המדויק שמתחת לגרף בקטע בדיוק ב-$0.25$.

$\int_{-3}^{1}f(x)dx=-\int_{1}^{3}f(x)dx$

$\int_0^3 (f(x))^3dx>-\int_{-3}^{0}f(x)dx$

הראו כי הפונקציה $f(x)$ אי-זוגית.

הראו כי $f(x)=\sin(2x)$, והסיקו כי לכל $x$: $-1\le f(x)\le1$.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים בתחום $-\pi\le x\le\pi$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $-\pi\le x\le\pi$.

נתונה הפונקציה $g(x)=f(2x)$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $g(x)$ בתחום $-\frac\pi4\le x\le\frac\pi4$, וקבעו את סוגן.

נתון כי $\int_0^{\frac{\pi}{12}}\left(g'(x)+f'(x)\right)dx=S$. הביעו באמצעות $S$ את $\int_{-\frac{\pi}{12}}^{0}\left(g'(x)+f'(x)\right)dx$. הסבירו.

בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac{2A}3+\frac{2A}{3^2}+\ldots+\frac{2A}{3^n}=A\left(1-\frac1{3^n}\right)$

הנקודה B היא אמצע הקטע OC. AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$. מן הנקודה C מעבירים ישר המשיק למעגל בנקודה D. בנקודה B מעבירים משיק נוסף למעגל. שני המשיקים נחתכים בנקודה E (ראו סרטוט).

לפניכם שלוש פונקציות והגרפים א-ד. כל אחת מן הפונקציות מתוארת על ידי אחד מן הגרפים.

$f(x)=\sqrt{x^2(4-x^2)}$, $h(x)=\sqrt{x(4-x^2)}$, $k(x)=x\sqrt{4-x^2}$

לפניכם גרף של הפונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל $x\neq0$. הישרים $y=1$ ו-$x=0$ הם אסימפטוטות של הפונקציה $f(x)$. הפונקציה $f(x)$ קעורה כלפי מטה עבור $x<0$ וקעורה כלפי מעלה עבור $x>0$.

מצאו את פונקציית הנגזרת $f'(x)$.

לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון נוספת. מצאו את שיעור ה-$x$ שלה וקבעו את סוגה.

השלימו את הגרף של $f(x)$ בתחום $-6<x<6$, ורשמו את נקודות החיתוך שלו עם ציר ה-$x$ ואת נקודות הקיצון שלו בתחום זה.

נתונה פונקציה $g(x)$ שעבורה $g'(x)=f(x)$. מצאו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של $g(x)$ בתחום $-6<x<6$, וקבעו את סוגן.

מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של $g(x)$.