שאלות פתוחות: המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x) - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות פתוחות על המשפט היסודי של החדו"א, F'(x)=f(x), לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מוצאים את f ואת הקבוע a כשנתון האינטגרל מ-a עד x, חוקרים פונקציית הצטברות כמו האינטגרל של t²-at ומוצאים קיצון ופרמטרים, ובוחנים פונקציה כמו G(x) שמודדת שטח ב"חלון" ברוחב 2 שזז לאורך הפרבולה. מבחר גדול, רובו קל ובינוני. מכאן אפשר להרכיב מבחן, בוחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

90 שאלותקלה: 41בינונית: 42קשה: 7

שאלה 1 · המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x)שאלה קצרה · קלה

fff פונקציה רציפה ו-aaa קבוע, ולכל xxx מתקיים ∫axf(t) dt=x2−3x−4\int_a^x f(t)\,dt=x^2-3x-4∫ax​f(t)dt=x2−3x−4.

א.

מצאו את f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את כל הערכים האפשריים של aaa.

שאלה 2 · המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x)שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה F(x)=∫0x(t2−at)dtF(x)=\int_0^x \left(t^2-at\right)dtF(x)=∫0x​(t2−at)dt, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר. ידוע כי לגרף FFF יש, מלבד x=0x=0x=0, נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-xxx, ושיעור ה-xxx שלה הוא 666.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של FFF וקבעו את סוגן.

שאלה 3 · המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x)שאלה קצרה · קשה

מגדירים F(x)=∫ax(3t2−12)dtF(x)=\int_a^x \left(3t^2-12\right)dtF(x)=∫ax​(3t2−12)dt, כאשר aaa פרמטר. ידוע כי ערך המקסימום המקומי של FFF הוא 000.

מצאו את כל הערכים האפשריים של aaa.

שאלה 4 · המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x)שאלה קצרה · קלה

נתונה פונקציית ההצטברות F(x)=∫0x12t+4 dtF(x)=\int_0^x \frac{1}{\sqrt{2t+4}}\,dtF(x)=∫0x​2t+4​1​dt.

מצאו את משוואת המשיק לגרף FFF בנקודה שבה x=0x=0x=0, בלי לחשב את האינטגרל.

שאלה 5 · המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x)שאלה קצרה · בינונית

לכל מספר ממשי xxx מגדירים G(x)=∫xx+2t2 dtG(x)=\int_x^{x+2} t^2\,dtG(x)=∫xx+2​t2dt - השטח שמתחת לפרבולה y=t2y=t^2y=t2 ב"חלון" שרוחבו 222 ושקצהו השמאלי הוא xxx.

מצאו את הערך הקטן ביותר של G(x)G(x)G(x) ואת המיקום xxx של החלון שבו הוא מתקבל.

שאלה 6 · המשפחה $x + \frac{k}{x}$ : שטח של $f \cdot f^{'}$ כביטוי בפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x+kxf(x)=x+\frac kxf(x)=x+xk​, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה g(x)=f(x)⋅f′(x)g(x)=f(x)\cdot f'(x)g(x)=f(x)⋅f′(x), המוגדרת באותו התחום כמו f(x)f(x)f(x).

א.

מצאו באמצעות kkk את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת נקודות החיתוך של g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx.

בסעיפים ב-ד נתון k>1k>1k>1.

ב.

הביעו באמצעות kkk את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), ציר ה-xxx והישרים x=1x=1x=1 ו-x=kx=kx=k.

ג.

נתון שהשטח שבסעיף ב שווה ל-16. מצאו את kkk.

ד.

עבור kkk שמצאתם בסעיף ג, נתונה הפונקציה h(x)=∫1xf′(t)dth(x)=\int_1^x f'(t)dth(x)=∫1x​f′(t)dt בתחום x≥1x\ge1x≥1.

מצאו את כל הערכים של mmm שבעבורם למשוואה h(x)=mh(x)=mh(x)=m יש בדיוק שני פתרונות.

שאלה 7 · שאלות קצרות מודרכות: זוויות במעגל, אינדוקציה, תחום של שורשים ופונקציית הצטברותשאלה מלאה · קלה

לפניכם ארבע שאלות קצרות. ענו על כולן.

א.

הסרטוט לסעיף א:
ACBDP

במעגל שבסרטוט המיתרים ABABAB ו-CDCDCD נחתכים בנקודה PPP. נתון: הקשת ACACAC (שאינה מכילה את BBB ואת DDD) היא 80∘80^\circ80∘, והקשת BDBDBD (שאינה מכילה את AAA ואת CCC) היא 120∘120^\circ120∘. מעבירים את המיתר BCBCBC. חשבו את ∢ABC\sphericalangle ABC∢ABC, את ∢BCD\sphericalangle BCD∢BCD ואת ∢BPD\sphericalangle BPD∢BPD.

ב.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי: 11⋅2+12⋅3+13⋅4+...+1n(n+1)=nn+1\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}1⋅21​+2⋅31​+3⋅41​+...+n(n+1)1​=n+1n​.

ג.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)=x−2⋅x+4f(x)=\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{x+4}f(x)=x−2​⋅x+4​ ואת תחום ההגדרה של הפונקציה h(x)=(x−2)(x+4)h(x)=\sqrt{(x-2)(x+4)}h(x)=(x−2)(x+4)​.

(2)

האם הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-h(x)h(x)h(x) מסעיף ג(1) זהות? נמקו.

ד.

נתון גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בתחום −3≤x≤5-3\le x\le5−3≤x≤5, ונתונה הפונקציה h(a)=∫−1af(x) dxh(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dxh(a)=∫−1a​f(x)dx עבור a>−1a>-1a>−1.
-224-22

(1)

היעזרו בכך ש-h′(a)=f(a)h'(a)=f(a)h′(a)=f(a), וקבעו באיזה תחום h(a)h(a)h(a) עולה ובאיזה תחום היא יורדת.

(2)

היעזרו בכך ש-h′′(a)=f′(a)h''(a)=f'(a)h′′(a)=f′(a), ומצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של h(a)h(a)h(a).

שאלה 8 · המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x)שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה F(x)=∫0x(t2−2at+3)dtF(x)=\int_0^x \left(t^2-2at+3\right)dtF(x)=∫0x​(t2−2at+3)dt, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם FFF עולה בכל תחום הגדרתה.

שאלה 9 · פונקציה טריגונומטרית עם ריבוע: מציאת פרמטר עם פסילה, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרתשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=sin⁡x (b+cos⁡x)2f(x)=\sin x\,(b+\cos x)^2f(x)=sinx(b+cosx)2, המוגדרת בתחום: −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π, bbb הוא פרמטר.

א.

נתון כי לגרף הפונקציה יש בדיוק שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx, וכי המשיק לגרף בנקודה שבה x=π3x=\frac\pi3x=3π​ מקביל לציר ה-xxx. מצאו את bbb.

הציבו את הערך של bbb שמצאתם בסעיף א, וענו על הסעיפים ב-ד.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) בתחום, וקבעו את סוגן.

ג.

מצאו את כל הערכים של mmm שבעבורם למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m יש בדיוק שני פתרונות בתחום.

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) ועל ידי ציר ה-xxx בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.

שאלה 10 · שאלות קצרות מודרכות: התחלקות, גרף הנגזרת, הצטברות ומשיקיםשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הראו כי 6n+1−1=6(6n−1)+56^{n+1}-1=6(6^n-1)+56n+1−1=6(6n−1)+5, והוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 6n−16^n-16n−1 מתחלק ב-5 ללא שארית.

(2)

הראו כי לכל nnn טבעי הביטוי 6n+1+46^{n+1}+46n+1+4 מתחלק ב-10 ללא שארית.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x2−1)3f(x)=(x^2-1)^3f(x)=(x2−1)3. לפניכם שני גרפים, I ו-II.
גרף I
גרף II

(1)

הראו כי f′(x)=6x(x2−1)2f'(x)=6x(x^2-1)^2f′(x)=6x(x2−1)2, וקבעו איזה מהגרפים I-II מתאר את f′(x)f'(x)f′(x). נמקו.

(2)

נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x) הן נקודות הקיצון של f′(x)f'(x)f′(x). היעזרו בגרף שבחרתם, וקבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤60\le x\le60≤x≤6, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
123456-2-112

(1)

חשבו את h(3)h(3)h(3) ואת h(6)h(6)h(6).

(2)

היעזרו בכך ש-h′(t)=f(t)h'(t)=f(t)h′(t)=f(t), וקבעו באיזה תחום h(t)h(t)h(t) עולה ובאיזה תחום היא יורדת.

ד.

לפניכם משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. נתון: ∠BAC=50∘\angle BAC=50^\circ∠BAC=50∘, ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ∠ABC=60∘. דרך כל אחד מקודקודי המשולש מעבירים משיק למעגל. המשיקים בנקודות A ו-C נפגשים בנקודה D, המשיקים בנקודות A ו-B נפגשים בנקודה E, והמשיקים בנקודות B ו-C נפגשים בנקודה F (ראו סרטוט).
ABCDEFO

(1)

מצאו את גודל הזווית BOCBOCBOC.

(2)

מצאו את זוויות המשולש DEF.

עוד 31 שאלות על המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x)

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
מגדירים $F(x)=\int_0^x \left(t^2+at\right)dt$ , כאשר $a$ פרמטר. המשיק לגרף $F$ בנקודה שבה $x=3$ עובר דרך ראשית הצירים.
פונקציה זוגית עם מקסימום פרמטרי: מספר פתרונות של $\frac{1}{f} = c$ ושטח מתחת ל- $g^{''}$ (שאלה מלאה · קשה)
הפונקציה $f(x)$ זוגית ומוגדרת לכל $x$ . לפניכם הגרף של $f(x)$ בתחום $-8<x<0$ ( $m>0$ פרמטר). נתון: $f(-8)=-6$ ; $f$ עולה בתחום $-8<x<-4$ ויורדת…
הפונקציה $x - \frac{4}{x}$ : מונוטוניות, אפסים של $f \cdot f^{'}$ ושטח בעזרת $\frac{1}{2} f^{2}$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x-\frac4x$ .
המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
מגדירים $F(x)=\int_0^x \left(t^3+at^2+b\right)dt$ , כאשר $a$ ו- $b$ פרמטרים. ל- $F$ יש נקודת פיתול שבה $x=2$ , והמשיק לגרף $F$ בנקודה זו מקביל…
g'=-f כש-f זוגית: זוגיות של g, קיצון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
לפניכם חלק מגרף של פונקציה זוגית $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ : (בסרטוט: $f(0)=-2$ , נקודת המינימום $(2,-6)$ , ו- $f(4)=0$ ; לכל $x>2$ הפונקציה עולה…
פונקציה טריגונומטרית אי-זוגית: זווית כפולה, קיצון של $f (2 x)$ ואינטגרל של נגזרות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2\sin(x)\cos(x)$ , המוגדרת לכל $x$ .
שאלות קצרות: זווית בין חותכים, אינדוקציה, זהות פונקציות שורש ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
שני ישרים יוצאים מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל. הישר הראשון חותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , והישר השני חותך אותו בנקודות $C$ ו- $D$ ( $A$ בין $P$ …
נגזרת של פונקציית הצטברות שהגבול הקבוע שלה גדול מהמשתנה (שאלה קצרה · קשה)
נתון גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $-4\le x\le6$ , ונתונה הפונקציה $h(a)=\int_{3}^{a}f(x)\,dx$ עבור $a<3$ . (לפי הגרף: $f$ מתאפסת ב- $x=-4$ ,…
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, קטע אמצעים בטרפז, $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ (שאלה מלאה · קלה)
הראו כי $T_{k+1}=T_k+(k+1)\cdot2^{k+1}$ , והוכיחו: אם בעבור $k$ טבעי כלשהו $T_k=(k-1)\cdot2^{k+1}$ , אז $T_{k+1}=k\cdot2^{k+2}$ .
שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משולש המשיקים (שאלה מלאה · בינונית)
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $3^{2n}-1$ מתחלק ב-8 ללא שארית.
פונקציה שנגזרתה נתונה בגרף: זוגיות, קיצון בעזרת שטח ומספר פתרונות (שאלת ביניים · קשה)
לפניכם חלק מגרף של פונקציה זוגית $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ : (בסרטוט: $f(0)=-2$ , נקודת המינימום $(2,-6)$ , ו- $f(4)=0$ ; לכל $x>2$ הפונקציה עולה…
פונקציה זוגית נתונה בגרף: קיצון, קעירות ושטח של $g$ ש- $g^{'} = f$ (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ זוגית ומוגדרת לכל $x$ . לפניכם הגרף של $f(x)$ בתחום $-6<x<0$ . (בגרף מסומנים: $f(-6)=-3$ , נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ ב- $x=-4$ ,…
חקירת $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3+\frac{1}{x^3}$ .
הפונקציה $\frac{1}{c o s x}$ : חקירה מודרכת, הזזה ואינטגרל של הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\cos x}}$ . ענו על כל הסעיפים עבור התחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\pi$ .
המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2+\frac{16}{x}$ , ונתונה הפונקציה $h(x)=\int_1^x f'(t)dt$ המוגדרת בתחום $x\ge1$ .
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, קעירות ונקודות פיתול (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט מתואר הגרף של $f'(x)$ , הנגזרת של פונקציה $f(x)$ . לגרף של $f'$ יש שתי נקודות קיצון: מקסימום ב- $(0,0)$ ומינימום ב- $(2,-4)$ , והוא חותך…
פונקציה טריגונומטרית זוגית: זווית כפולה, חסמים, קיצון של $f (2 x)$ ואינטגרל של נגזרות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos(2x)-2\cos(x)+1$ , המוגדרת לכל $x$ .
תכונות $f$ מגרף נגזרת פרבולי (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מוצג גרף הנגזרת $f'(x)$ של פונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . גרף הנגזרת הוא פרבולה שחותכת את ציר ה- $x$ בנקודות $(1,0)$ …
המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ זוגית, מוגדרת וגזירה לכל $x$ . נתון: $f(0)=1$ , $\int_0^3f'(x)dx=4$ .
המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x) (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מוצג גרף הנגזרת $f'(x)$ של פונקציה $f(x)$ . הגרף עובר בנקודות $(1,3)$ ו- $(4,-1)$ . נתון: $f(1)=2$ , $f(4)=5$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, מקבילית בטרפז, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו כי: אם בעבור $k$ טבעי כלשהו מתקיים: $T_k=(2k-1)\cdot3^{k+1}$ , אז מתקיים: $T_{k+1}=(2k+1)\cdot3^{k+2}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac{2A}3+\frac{2A}{3^2}+\ldots+\frac{2A}{3^n}=A\left(1-\frac1{3^n}\right)$
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)^{2}$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac32+\frac54+\frac78+\ldots+\frac{2n+1}{2^n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז ישר זווית וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x - a) (x + b)$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
פונקציה זוגית נתונה בגרף: $\frac{1}{f}$ , פונקציה ש- $g^{'} = - f$ , קעירות ושטח מתחת ל- $g^{''}$ (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ זוגית ומוגדרת לכל $x$ . לפניכם הגרף של $f(x)$ בתחום: $-6<x<0$ . (בגרף מסומנים: נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ ב- $x=-4$ …
המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
לפניכם הגרף של פונקציה $f(x)$ . ל- $f$ נקודת מקסימום $(1,12)$ ונקודת מינימום $(4,-15)$ , ו- $f(0)=1$ . אלה נקודות הקיצון היחידות של $f$ .
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, קעירות, נקודות פיתול ואינטגרל של $f^{''}$ (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט מתואר גרף נגזרת של פונקציה: $f'(x)$ . על-פי הנתונים בסרטוט:
המשפט היסודי של החדו"א: F'(x)=f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט מתואר הגרף של $f'(x)$ , הנגזרת של פונקציה $f(x)$ .
תכונות $f$ מגרף הנגזרת: אסימפטוטות ב- $x = \pm 2$ ונקודת פיתול אחת (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מוצג גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ . הגרף סימטרי ביחס לציר ה- $y$ . הישר $x=2$ הוא אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה.…
מגרף פונקציה זוגית: גרף ההופכית, הנגזרות של g ושטח מתחת ל-g'' (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם חלק מגרף של פונקציה זוגית $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ : (בסרטוט: $f(0)=2$ , $f(1)=0$ , נקודת המינימום $(2,-2)$ , ו- $f(3)=0$ ; לכל $x>2$ …
פרמטרים בפונקציית הצטברות מנקודת קיצון ונקודת פיתול, ומשיק (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $F(x)=\int_0^x\left(t^2+at+b\right)dt$ , כאשר $a$ ו- $b$ פרמטרים. ידוע כי לגרף $F(x)$ יש נקודת פיתול שבה $x=1$ , וכי לפונקציה…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: זווית בין מיתרים, אינדוקציה, זהות פונקציות שורש ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 1
הראו כי במעגל, הזווית הנוצרת על ידי שני מיתרים שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן. כלומר יש להראות:…
שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משיקים למעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $4^n-1$ מתחלק ב-3 ללא שארית.
חקירת $3 x + \frac{3}{x}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=3x+\frac3x$ .
פונקציה טריגונומטרית זוגית: זווית כפולה, חסמים, קיצון של $f (2 x)$ ואינטגרל של נגזרות · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin^2(x)-\cos^2(x)-1$ , המוגדרת לכל $x$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, קטע אמצעים בטרפז, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 1
הוכיחו כי: אם בעבור $k$ טבעי כלשהו מתקיים: $T_k=(2k-3)\cdot2^{k+1}$ , אז מתקיים: $T_{k+1}=(2k-1)\cdot2^{k+2}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרלים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac A2+\frac A{2^2}+\ldots+\frac A{2^n}=A\left(1-\frac1{2^n}\right)$
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)$ ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac23+\frac69+\frac{10}{27}+\ldots+\frac{4n-2}{3^n}=2-\frac{2n+2}{3^n}$
פונקציה זוגית נתונה בגרף: $\frac{1}{f}$ , פונקציה ש- $g^{'} = - f$ , קעירות ושטח מתחת ל- $g^{''}$ · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
הפונקציה $f(x)$ זוגית ומוגדרת לכל $x$ . לפניך הגרף של $f(x)$ בתחום: $-7<x<0$ . (בגרף מסומנים: נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ ב- $x=-5$ וב- $x=-1$ , נקודת המקסימום…
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, קעירות, נקודות פיתול ואינטגרל של $f^{''}$ · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
בסרטוט מתואר גרף נגזרת של פונקציה: $f'(x)$ . על-פי הנתונים בסרטוט:
תכונות $f$ מגרף הנגזרת: מונוטוניות, קיצון, פיתול, משיקים ואינטגרל של $f^{''}$ · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
בסרטוט שלפניך מוצג גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ . הגרף סימטרי ביחס לציר ה- $y$ . הישר $x=3$ הוא אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה. לפונקציה $f(x)$ ולנגזרתה יש…
מגרף פונקציה זוגית: גרף ההופכית, הנגזרות של g ושטח מתחת ל-g'' · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 6
לפניך חלק מגרף של פונקציה זוגית: $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ : (בסרטוט: $f(0)=-1$ , נקודת המינימום $(3,-4)$ , ו- $f(5)=0$ ; לכל $x>3$ הפונקציה עולה,…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (38)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה רציונלית, גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{-x^2+4x-3}$ .
חקירת פונקציה רציונלית, גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x^2}{-x^2+6x-8}$ .
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x-b}{x-4}+1$ , $b$ הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II:…
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x-b}{x-3}+1$ , $b$ הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II:…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מונוטוניות, פרמטר משטח וספירת פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x-b}{x-4}$ , $b\neq8$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4}{4x^2-1}+b$ , $b$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{-12}{x^2-4}+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1}{(4x-1)^2}-4$ .
פונקציה רציונלית יורדת-עולה: זיהוי גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2-\frac{8}{(2x+3)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: שטחים שווים מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}-1$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{5x}{x^2+4}+1$ .
חקירת פונקציה רציונלית שהמקסימום שלה על ציר ה-x (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x}{x^2+9}-1$ .
חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2+1}+1$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-33}{x^2+3}+2$ , המוגדרת לכל $x$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: שטח מתחת לנגזרת ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-a}{x^2+1}+1$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר, $a>1$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
לפונקציה $f(x)$ נגזרת $f'(x)$ המוגדרת לכל $x$ . ידוע כי $f'(x)<0$ בתחום $1<x<3$ ו- $f'(x)>0$ בתחום $3<x<6$ , וכי…
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=1+\frac{9}{x^2}$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x+1}{x+3}$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\sqrt{x+3}$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2\sqrt{x+4}-x$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של $f'(x)$ , שמתאפסת…
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+5}{x+1}$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{x^2+4}$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=2\sqrt x\cdot(x-3)$ , בתחום $x\ge0$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8x}{x^2+4}+3$ . נתון כי $f'(x)>0$ בתחום $-2<x<2$ ו- $f'(x)<0$ בתחום $x>2$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\sqrt{8-x^2}$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-5}{x^2+1}$ , המוגדרת לכל $x$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2+4)\sqrt{3-x}$ בתחום $x\le3$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(9-x)\cdot\sqrt{x+3}$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x>-3$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x-4\sqrt{x-1}$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6}{(x-3)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne3$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+2$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=2$ הוא $-2$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}-1$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=-2$ הוא $1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-5)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne5$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=7$ ,…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-4)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne4$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=6$ ,…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת, שטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne2$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. בסוף השאלה מופיעים ארבעה…
פונקציה רציונלית עם פרמטר במונה: מהשטח לפונקציה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2-4}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חיתוכים, שטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax}{x^2+4}+1$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.