מבחן לדוגמה: חישובי שטחים בעזרת אינטגרל - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$, הראו כי $f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית, והסבירו מדוע הגרף אינו חותך את הצירים.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.

הראו כי $f'(x)=\frac{-4}{(x^2-4)^{\frac32}}$, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

נתון כי לפונקציה $f(x)$ אין נקודות פיתול.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

קבעו איזה מן הגרפים I-IV שבסוף השאלה מתאר את גרף הנגזרת השנייה $f''(x)$. נמקו את קביעתכם.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $f''(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים $x=3$ ו-$x=4$. היעזרו בכך ש-$f'(x)$ היא פונקציה קדומה של $f''(x)$.

נתון כי לגרף הפונקציה יש בדיוק שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$, וכי המשיק לגרף בנקודה שבה $x=\frac\pi3$ מקביל לציר ה-$x$. מצאו את $b$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$ בתחום, וקבעו את סוגן.

מצאו את כל הערכים של $m$ שבעבורם למשוואה $f(x)=m$ יש בדיוק שני פתרונות בתחום.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$ בתחום $0\le x\le\pi$.

חשבו את השטח המסומן.

התאימו לכל אחת מן הפונקציות $f(x)$, $f'(x)$ ו-$f''(x)$ את הגרף המתאר אותה. נמקו את תשובתכם.

שיעורי נקודת המינימום של הפונקציה $f(x)$ הם $(a,-3)$.

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f'(x)$, על ידי גרף הפונקציה $f''(x)$, על ידי הישר $x=a$ ועל ידי ציר ה-$y$.

נתון כי הפונקציה היא: $f(x)=-3x^4+8x^3+18x^2-10$.

מצאו את $a$.

מצאו את שיעורי ה-$y$ של נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$, על ידי הישר המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=a$ ועל ידי הישר $x=-1$.

מצאו את $a$.

הביעו את $S(t)$ באמצעות $t$.

מצאו עבור איזה ערך של $t$ השטח $S(t)$ הוא הקטן ביותר, וחשבו את השטח הזה.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציה $f(x)$ עם הצירים.

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה). הבחינו בין $n$ זוגי לבין $n$ אי-זוגי.

מצאו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן. הביעו את תשובתכם באמצעות $n$, אם יש צורך. הבחינו בין $n$ זוגי לבין $n$ אי-זוגי.

לפניכם שלושה גרפים III-I. אחד מהגרפים מתאר את הפונקציה $f(x)$ עבור $n$ זוגי, ואחד מהם מתאר את הפונקציה $f(x)$ עבור $n>1$ ואי-זוגי.

קבעו איזה גרף מתאר את הפונקציה $f(x)$ עבור $n$ זוגי, ואיזה מהם מתאר את הפונקציה $f(x)$ עבור $n>1$ ואי-זוגי. נמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקציה $g(x)=k\cdot f(x+3)$, כאשר $k$ הוא פרמטר חיובי. נסמן ב-$A$ את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f(x)$ ובין ציר ה-$x$.

הביעו באמצעות $k$ ו-$A$ את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $g(x)$ ובין ציר ה-$x$. נמקו.