שאלות פתוחות: אינטגרל ושטח של פונקציה לאחר הזזה, מתיחה ושיקוף - כיתה י"א 5 יח"ל

מה קורה לאינטגרל ולשטח כשמזיזים, מותחים או משקפים פונקציה? שאלות פתוחות בנושא לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות נתון אינטגרל של f בקטע ומחשבים ממנו אינטגרלים של f(x-a), של 2f(x) ושל f(-x), משתמשים בזוגיות ובאי-זוגיות של פונקציה, וקוראים גרף של פונקציה שבנויה משני קטעים ישרים. רוב השאלות קלות ובינוניות. השאלות בודקות הבנה של משמעות האינטגרל ולא רק חישוב; המורה יכול לבחור מהן לבוחן או לדף עבודה ולייצא ל-Word עם פתרון מלא.

33 שאלותקלה: 13בינונית: 17קשה: 3

שאלה 1 · אינטגרל ושטח של פונקציה לאחר הזזה, מתיחה ושיקוףשאלה קצרה · קלה

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית ורציפה, ונתון ∫02f(x) dx=A\int_0^2 f(x)\,dx=A∫02​f(x)dx=A.

א.

הביעו באמצעות AAA את ∫−20f(x) dx\int_{-2}^{0} f(x)\,dx∫−20​f(x)dx.

ב.

חשבו את ∫15(f(x−3)+2)dx\int_1^5\left(f(x-3)+2\right)dx∫15​(f(x−3)+2)dx.

שאלה 2 · אינטגרל ושטח של פונקציה לאחר הזזה, מתיחה ושיקוףשאלה קצרה · בינונית

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה רציפה. בקטע [0,3][0,3][0,3] מתקיים f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0 ונתון ∫03f(x) dx=2\int_0^3 f(x)\,dx=2∫03​f(x)dx=2; בקטע [3,5][3,5][3,5] מתקיים f(x)≤0f(x)\le0f(x)≤0 ונתון ∫35f(x) dx=−4\int_3^5 f(x)\,dx=-4∫35​f(x)dx=−4.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של y=3f(x)y=3f(x)y=3f(x) ושל y=−f(x)y=-f(x)y=−f(x) ועל ידי הישרים x=0x=0x=0 ו-x=5x=5x=5.

שאלה 3 · אינטגרל ושטח של פונקציה לאחר הזזה, מתיחה ושיקוףשאלה קצרה · קשה

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה זוגית ורציפה, ו-f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0 לכל xxx בקטע [−3,3][-3,3][−3,3]. נסמן ב-SSS את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים x=0x=0x=0 ו-x=3x=3x=3.
נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)−kg(x)=-f(x)-kg(x)=−f(x)−k, kkk פרמטר חיובי. נתון כי השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x) ועל ידי הישרים x=−3x=-3x=−3 ו-x=3x=3x=3 שווה ל-16S16S16S.

הביעו את kkk באמצעות SSS.

שאלה 4 · אינטגרל ושטח של פונקציה לאחר הזזה, מתיחה ושיקוףשאלה קצרה · קלה

בשרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בקטע [0,4][0,4][0,4]: שני קטעים ישרים, מהנקודה (0,0)(0,0)(0,0) לנקודה (2,4)(2,4)(2,4) ומשם לנקודה (4,0)(4,0)(4,0). מגדירים g(x)=4−f(x)g(x)=4-f(x)g(x)=4−f(x); גם הגרף של g(x)g(x)g(x) מתואר בשרטוט.
y=f(x)y=g(x)
12341234

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x) ועל ידי הישרים x=0x=0x=0 ו-x=4x=4x=4.

שאלה 5 · אינטגרל של פונקציה מורכבת עם פנימית לינאריתשאלה קצרה · בינונית

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה רציפה, ונתון כי ∫04f(x) dx=10\int_0^4 f(x)\,dx=10∫04​f(x)dx=10.

א.

חשבו את ∫15f(x−1) dx\int_1^5 f(x-1)\,dx∫15​f(x−1)dx.

ב.

חשבו את ∫02(3f(2x)+1)dx\int_0^2\left(3f(2x)+1\right)dx∫02​(3f(2x)+1)dx.

שאלה 6 · פונקציית שורש: פרמטר מתנאי רביע, מספר פתרונות של $∣ f (x) ∣ = m$ ואינטגרל עם הזזה כלליתשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=(x+2)(x2−1)x+af(x)=\frac{(x+2)(x^2-1)}{\sqrt{x+a}}f(x)=x+a​(x+2)(x2−1)​, aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

נתון כי לפונקציה f(x)f(x)f(x) אין אסימפטוטות מאונכות לצירים, וכי הגרף שלה אינו עובר ברביע השני.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים ואת נקודות הקיצון שלה.

ג.

נתונה הפונקציה h(x)=∣f(x)∣h(x)=|f(x)|h(x)=∣f(x)∣. קבעו, לפי ערכי mmm, כמה פתרונות יש למשוואה h(x)=mh(x)=mh(x)=m.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=−f(x+c)g(x)=-f(x+c)g(x)=−f(x+c), כאשר c>0c>0c>0 פרמטר.

הביעו באמצעות ccc את הערך של kkk שבעבורו ∫−1−ckg(x)dx=∫−11h(x)dx\int_{-1-c}^{k}g(x)dx=\int_{-1}^{1}h(x)dx∫−1−ck​g(x)dx=∫−11​h(x)dx (כאשר k>−1−ck>-1-ck>−1−c). הסבירו.

שאלה 7 · אינטגרל ושטח של פונקציה לאחר הזזה, מתיחה ושיקוףשאלה קצרה · קלה

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה רציפה, ונתון ∫15f(x) dx=A\int_1^5 f(x)\,dx=A∫15​f(x)dx=A.

הביעו באמצעות AAA את ∫37(3f(x−2)−1)dx\int_3^7\left(3f(x-2)-1\right)dx∫37​(3f(x−2)−1)dx.

שאלה 8 · פונקציית שורש עם פרמטר: היעדר אסימפטוטות, חקירה, $- f (x + 1)$ ו- $∣ f (x) ∣$ ואינטגרליםשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=(x−3)(x+2)2x+af(x)=\frac{(x-3)(x+2)^2}{\sqrt{x+a}}f(x)=x+a​(x−3)(x+2)2​, aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

הביעו באמצעות aaa את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתון כי לפונקציה f(x)f(x)f(x) אין אסימפטוטות מאונכות לצירים.

(1)

מצאו את aaa.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

נתונות הפונקציות: g(x)=−f(x+1)g(x)=-f(x+1)g(x)=−f(x+1), h(x)=∣f(x)∣h(x)=|f(x)|h(x)=∣f(x)∣.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)g(x) ואת תחום ההגדרה של הפונקציה h(x)h(x)h(x).

(2)

האם שיעור ה-yyy של נקודת המקסימום של הפונקציה g(x)g(x)g(x) גדול משיעור ה-yyy של נקודת המקסימום של הפונקציה h(x)h(x)h(x), קטן ממנו או שווה לו? נמקו את התשובה.

ד.

נתון כי: ∫13h(x)dx=∫0kg(x)dx\int_{1}^{3}h(x)dx=\int_{0}^{k}g(x)dx∫13​h(x)dx=∫0k​g(x)dx, k>0k>0k>0.

מצאו את kkk. הסבירו את התשובה.

שאלה 9 · הזזה, שיקוף וערך מוחלט: השוואת אינטגרליםשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=(x−3)(x+2)2x+2f(x)=\frac{(x-3)(x+2)^2}{\sqrt{x+2}}f(x)=x+2​(x−3)(x+2)2​, המוגדרת בתחום x>−2x>-2x>−2. גרף הפונקציה חותך את הצירים בנקודות (0,−62)(0,-6\sqrt2)(0,−62​) ו-(3,0)(3,0)(3,0), ולפונקציה יש נקודת מינימום יחידה (1,−63)(1,-6\sqrt3)(1,−63​): היא יורדת בתחום −2<x<1-2<x<1−2<x<1 ועולה בתחום x>1x>1x>1. כמו כן f(x)<0f(x)<0f(x)<0 בתחום −2<x<3-2<x<3−2<x<3 ו-f(x)>0f(x)>0f(x)>0 בתחום x>3x>3x>3.

א.

נתונות הפונקציות: g(x)=−f(x+1)g(x)=-f(x+1)g(x)=−f(x+1), h(x)=∣f(x)∣h(x)=|f(x)|h(x)=∣f(x)∣.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)g(x) ואת תחום ההגדרה של הפונקציה h(x)h(x)h(x).

ב.

האם שיעור ה-yyy של נקודת המקסימום של הפונקציה g(x)g(x)g(x) גדול משיעור ה-yyy של נקודת המקסימום של הפונקציה h(x)h(x)h(x), קטן ממנו או שווה לו? נמקו את התשובה.

ג.

נתון כי: ∫13h(x)dx=∫0kg(x)dx\int_{1}^{3}h(x)dx=\int_{0}^{k}g(x)dx∫13​h(x)dx=∫0k​g(x)dx, k>0k>0k>0.

מצאו את kkk. הסבירו את התשובה.

שאלה 10 · שאלות קצרות מודרכות: זוגיות, סדרה הנדסית, טור אינסופי ואינטגרל של הזזהשאלה מלאה · קלה

השאלה כוללת ארבעה סעיפים בלתי תלויים, א-ד.

א.

נתונה f(x)f(x)f(x), פונקציה המוגדרת לכל xxx. בסרטוט מוצג חלק מגרף הפונקציה, עבור x≥0x\ge0x≥0.
-4-224-224(2,-1)

(1)

נתון ש-fff פונקציה זוגית. השלימו את הסרטוט, ומצאו את f(−2)f(-2)f(−2).

(2)

הוכיחו שאם ggg פונקציה אי-זוגית המוגדרת ב-x=0x=0x=0, אז g(0)=0g(0)=0g(0)=0. האם הפונקציה fff שבסרטוט יכולה להיות אי-זוגית?

ב.

(1)

הוכיחו כי בכל סדרה הנדסית ana_nan​ מתקיים a42=a2⋅a6a_4^2=a_2\cdot a_6a42​=a2​⋅a6​.

(2)

בסדרה הנדסית יש 777 איברים, והאיבר האמצעי a4a_4a4​ שווה ל-222. חשבו את מכפלת כל איברי הסדרה.

ג.

(1)

נתון הטור האינסופי 1+sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x+…1+\sin x+\sin^2x+\sin^3x+\dots1+sinx+sin2x+sin3x+…. רשמו את האיבר הראשון ואת המנה, ומצאו עבור אילו ערכי xxx הטור מתכנס.

(2)

מצאו את ערכי xxx בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π שבעבורם סכום הטור הוא 222.

ד.

בסרטוט מתואר גרף של פונקציה חיובית f(x)f(x)f(x). נתון ∫03f(x)dx=5\int_0^3f(x)dx=5∫03​f(x)dx=5.

(1)

חשבו את ∫25f(x−2)dx\int_2^5f(x-2)dx∫25​f(x−2)dx.

(2)

חשבו את ∫03(f(x)+2)dx\int_0^3\left(f(x)+2\right)dx∫03​(f(x)+2)dx.

עוד 8 שאלות על אינטגרל ושטח של פונקציה לאחר הזזה, מתיחה ושיקוף

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אינטגרל ושטח של פונקציה לאחר הזזה, מתיחה ושיקוף (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-4x$ . נגדיר: $h(x)=|f(x)|$ , $g(x)=-f(x+2)$ .
אינטגרל של פונקציה לאחר הזזה אופקית ואנכית (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט מתואר גרף של פונקציה חיובית $f(x)$ . נתון $\int_0^3f(x)dx=5$ .
חקירת $x^{n} (x - 2)^{3}$ : n זוגי מול n אי-זוגי, התאמת גרפים ושטח אחרי הזזה ומתיחה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^n\cdot(x-2)^3$ , כאשר $n>1$ מספר טבעי, והפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ .
אינטגרל ושטח של פונקציה לאחר הזזה, מתיחה ושיקוף (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^4(x-2)$ . נסמן ב- $A$ את השטח הכלוא בין גרף $f(x)$ ובין ציר ה- $x$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)=-3f(x+5)$ .
שאלות קצרות: זוגיות מגרף, סדרה הנדסית, טור הנדסי טריגונומטרי ואינטגרל של הזזה (שאלה מלאה · בינונית)
השלימו את הסרטוט אם הפונקציה היא זוגית.
אינטגרל ושטח של פונקציה לאחר הזזה, מתיחה ושיקוף (שאלה קצרה · בינונית)
נתון: $\int_0^4f(x)dx=10$ .
שטח ואינטגרל לאחר הזזה, שיקוף ומתיחה אנכית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^4(x-2)$ . נסמן ב- $A$ את השטח הכלוא בין גרף $f(x)$ ובין ציר ה- $x$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)=-3f(x+5)$ .
שטח מתחת לגרף הנגזרת לפני הזזה אנכית ואחריה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne2$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציית שורש עם פרמטר: היעדר אסימפטוטות, חקירה, $- f (x + 2)$ ו- $∣ f (x) ∣$ ואינטגרלים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{\sqrt{x+a}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת $x^{n} (x + 1)^{2}$ : n זוגי מול n אי-זוגי, התאמת גרפים ושטח אחרי הזזה ומתיחה · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=x^n\cdot(x+1)^2$ , כאשר $n>1$ מספר טבעי, והפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ .
שאלות קצרות: זוגיות מגרף, סדרה הנדסית, טור הנדסי טריגונומטרי ואינטגרל של הזזה · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מארבעת הסעיפים א-ד.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (12)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x+2$ .
פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-12x+11$ .
פולינום עם פרמטר, כיווץ אנכי ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=ax^3+6x^2-9x$ , $a$ הוא פרמטר.
פולינום עם פרמטר, כיווץ אנכי ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=ax^3+9x^2$ , $a$ הוא פרמטר.
פולינום עם פרמטר: שטח בין פונקציה לשליש ממנה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3ax^2$ , $a>0$ הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה $g(x)=\frac13f(x)$ .
שטח בין גרפים של שתי פונקציות (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=4x-x^2$ ו- $g(x)=\frac14f(x)$ .
שטח בין גרפים של שתי פונקציות (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=x^2-4x$ ו- $g(x)=-f(x)$ .
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, זיהוי גרף, אינטגרל מול שטח והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .…
מגרף הנגזרת לפונקציה: נקודה אופקית בצד ושטח שאינו מחליף סימן (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-5)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne5$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=7$ ,…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-4)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne4$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=6$ ,…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת, שטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne2$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. בסוף השאלה מופיעים ארבעה…