שאלות פתוחות: שטחים מורכבים ושטחים המוגבלים בישרים - כיתה י"א 5 יח"ל

שטחים מורכבים ושטחים המוגבלים בישרים - שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים שטח בין גרף, משיק וציר, כמו המשיק ל-x³ בנקודה x=2, שטח בין |x²-4| לישר y=5 שדורש פיצול לכמה חלקים, ושטח המוגבל על ידי אסימפטוטה וגרף. יש גם שאלות שבהן השטח נתון ומוצאים את נקודת ההשקה. השאלות ברמה קלה ובינונית, ויש גם קשות. המורה יכול לבחור מהן לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

22 שאלותקלה: 10בינונית: 10קשה: 2

שאלה 1 · שטחים מורכבים ושטחים המוגבלים בישריםשאלה קצרה · קלה

מעבירים משיק לגרף הפונקציה f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 בנקודה שבה x=2x=2x=2 (ראו שרטוט).
y=x3

א.

מצאו את משוואת המשיק ואת נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-xxx.

ב.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק וציר ה-xxx (המסומן בשרטוט).

שאלה 2 · שטחים מורכבים ושטחים המוגבלים בישריםשאלה קצרה · בינונית

מעבירים משיק לגרף הפונקציה y=x2y=x^2y=x2 בנקודה שבה x=ax=ax=a, a>0a>0a>0. נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק וציר ה-xxx שווה ל-181818 (בשרטוט מתואר מקרה אחד לדוגמה).
y=x2

מצאו את aaa.

שאלה 3 · שטח בין גרף, משיק בשיפוע נתון וישר אנכישאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xx2−4f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}f(x)=x2−4​x​, שגרפה מתואר בסרטוט שלפניכם.
f(x)
נתון כי הנגזרת של הפונקציה g(x)=x2−4g(x)=\sqrt{x^2-4}g(x)=x2−4​ היא g′(x)=xx2−4g'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}g′(x)=x2−4​x​, כלומר g(x)g(x)g(x) היא פונקציה קדומה של f(x)f(x)f(x).

לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) העבירו ברביע הראשון משיק ששיפועו −12-\frac12−21​.
חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, המשיק הנ"ל והישר x=4x=4x=4.
רשמו את תשובתכם באמצעות שורשים או בהצגה עשרונית עם שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

שאלה 4 · שטח בין גרף לאסימפטוטה האופקית שלושאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה g(x)=1(x−2)2−14g(x)=\frac1{(x-2)^2}-\frac14g(x)=(x−2)21​−41​, המוגדרת בתחום x≠2x\neq2x=2.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x), על ידי האסימפטוטה האופקית של g(x)g(x)g(x), על ידי הישר x=4x=4x=4 ועל ידי הישר x=10x=10x=10.

שאלה 5 · שטחים מורכבים ושטחים המוגבלים בישריםשאלה קצרה · בינונית

נתונים הפונקציה f(x)=∣x2−4∣f(x)=\left|x^2-4\right|f(x)=​x2−4​ והישר y=5y=5y=5 (ראו שרטוט).
y=f(x)y=5

א.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הישר y=5y=5y=5 ועם ציר ה-xxx.

ב.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה והישר y=5y=5y=5.

שאלה 6 · שטח בין גרף, משיק, ציר ה-x וישר אנכישאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=8x2+bf(x)=\frac{8}{x^2}+bf(x)=x28​+b בתחום: x>0x>0x>0, bbb הוא פרמטר. הישר y=2y=2y=2 הוא אסימפטוטה של הפונקציה.

א.

מצאו את bbb.

ב.

בתחום הנתון העבירו משיק לגרף הפונקציה. שיפוע המשיק שווה ל-−2-2−2.

מצאו את משוואת המשיק.

ג.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), המשיק, ציר ה-xxx והישר x=6x=6x=6.

שאלה 7 · שטחים מורכבים ושטחים המוגבלים בישריםשאלה קצרה · בינונית

בשרטוט שלפניכם מתוארות הפרבולות y=x2y=x^2y=x2 ו-y=x24y=\frac{x^2}{4}y=4x2​ והישר y=4y=4y=4. השטח המוגבל על ידי שתי הפרבולות והישר מסומן בשרטוט.
y=x2y=4

א.

מצאו את נקודות החיתוך של הישר y=4y=4y=4 עם כל אחת מהפרבולות.

ב.

חשבו את השטח המסומן.

שאלה 8 · שטחים מורכבים ושטחים המוגבלים בישריםשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציה f(x)=∣x2−1∣f(x)=\left|x^2-1\right|f(x)=​x2−1​ והישר y=x+1y=x+1y=x+1 (ראו שרטוט).
y=f(x)y=x+1

א.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הישר.

ב.

חשבו את סך השטחים הכלואים בין גרף הפונקציה לבין הישר (המסומנים בשרטוט).

שאלה 9 · אינטגרל של פונקציה מורכבת עם פנימית לינאריתשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=2x+1f(x)=\sqrt{2x+1}f(x)=2x+1​ ו-g(x)=17−2xg(x)=\sqrt{17-2x}g(x)=17−2x​. בסרטוט שלפניכם מתוארים הגרפים של שתי הפונקציות, והשטח המוגבל על ידי שני הגרפים ועל ידי ציר ה-xxx מסומן.
y=2x+1​y=17−2x​
(הדרכה: הנגזרת של (2x+1)2x+1(2x+1)\sqrt{2x+1}(2x+1)2x+1​ היא 32x+13\sqrt{2x+1}32x+1​, והנגזרת של (17−2x)17−2x(17-2x)\sqrt{17-2x}(17−2x)17−2x​ היא −317−2x-3\sqrt{17-2x}−317−2x​.)

א.

מצאו את תחומי ההגדרה של שתי הפונקציות ואת נקודת החיתוך של הגרפים.

ב.

חשבו את השטח המסומן.

שאלה 10 · שטח בין ישר אופקי לגרף של ערך מוחלט של פרבולהשאלה קצרה · בינונית

נתונים הפונקציה f(x)=∣x2−4∣f(x)=\left|x^2-4\right|f(x)=​x2−4​ והישר y=5y=5y=5 (ראו שרטוט). הגרף חותך את הישר y=5y=5y=5 בנקודות (−3,5)(-3,5)(−3,5) ו-(3,5)(3,5)(3,5), ואת ציר ה-xxx בנקודות (−2,0)(-2,0)(−2,0) ו-(2,0)(2,0)(2,0).
y=f(x)y=5

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה והישר y=5y=5y=5.

עוד 1 שאלות על שטחים מורכבים ושטחים המוגבלים בישרים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שטח בין גרף פולינום, המשיק בנקודת המקסימום וישר אנכי (שאלת ביניים · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ …

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (11)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פולינום עם פרמטר: משיק, שטח ופונקציה הפוכה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x^3-2x^2+x+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פולינום עם פרמטר: משיק, שטח ופונקציה הפוכה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x^2+4x+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פולינום: שיפועי משיקים, פרמטר משיק, שטח ו-1/f' (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x^2+5x+b$ , $b$ הוא פרמטר.
גרף הנגזרת, חקירת פולינום ממעלה רביעית ושטח עם משיק (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת…
גרף הנגזרת, חקירת פולינום ממעלה רביעית ושטח עם משיק (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת…
שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיק (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2+1$ . בנקודה $A$ שעל גרף הפונקציה, שבה $x=2$ , מעבירים משיק לגרף.
שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיק (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4}{x^2}$ בתחום $x>0$ .
שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיק (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x^2+1$ .
פונקציה עם אסימפטוטה נתונה, משיק ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2}{x^2}+b$ בתחום: $x>0$ , $b$ הוא פרמטר. הישר $y=4$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
פונקציה עם אסימפטוטה נתונה, משיק ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8}{x^2}+b$ בתחום: $x>0$ , $b$ הוא פרמטר. הישר $y=2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
משיק ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+3$ בתחום $x>0$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. דרך הנקודה שעל גרף הפונקציה שבה $x=2$ …