מבחן לדוגמה: אינדוקציה מתמטית - כיתה י"א 5 יח"ל

בדקו שהשוויון מתקיים בעבור $n=1$ ובעבור $n=2$, וכתבו את האיבר שמתווסף לאגף השמאלי במעבר מ-$n=k$ ל-$n=k+1$.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\ldots+n(3n+1)=n(n+1)^2$.

חשבו את הערך של הסכום: $3\cdot10+4\cdot13+5\cdot16+\ldots+30\cdot91$.

הוכיחו באינדוקציה כי $f(n)$ מתחלק ב-$8$ ללא שארית לכל $n$ טבעי.

לפניכם טענה:

אם ל-$n$ טבעי מסוים $8^n+k$ מתחלק ב-7 ללא שארית, אז גם $8^{n+1}+k$ מתחלק ב-7 ללא שארית ($k$ מספר שלם).

נתונה הפונקציה $f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)$ בתחום $-1\le x\le4$. נגדיר $F(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dx$, $-1<a\le4$.

נתונה סדרה חשבונית $a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}$ שהפרשה $d\ne0$.

נתונות שתי סדרות: $a_n=2^n+n$, $b_{n+1}=2b_n-n+1$ ו-$b_1=3$.

הראו כי $a_1=b_1$. האם $a_2=b_2$? האם $a_4=b_4$?

האם הסדרות זהות? אם לא, תנו דוגמה. אם כן, הוכיחו כי לכל $n$ טבעי מתקיים $a_n=b_n$.

הוכיחו באינדוקציה כי $R_n=2n^2-n+1$ לכל $n$ טבעי.

כמה זוויות משורטטות במישור, אם הן מחלקות אותו ל-$191$ תחומים?

הוכיחו באינדוקציה כי אחרי $n$ שלבים יש לצורה $3\cdot4^n$ צלעות, ואורך כל אחת מהן הוא $\frac{a}{3^n}$.

מצאו את השטח שנוסף לצורה בשלב $3$. הביעו באמצעות $S$.

נתונות הסדרות $a_n=n$ ו-$b_n=2^n$ ($n$ טבעי). נסמן: $T_n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n$.

בטרפז $ABCD$ $(AB\parallel CD)$ נתון: $AB=5$, $DC=15$. הקטע $EF$ הוא קטע אמצעים ($E$ על $AD$, $F$ על $BC$), והוא חותך את האלכסונים $AC$ ו-$BD$ בנקודות $H$ ו-$G$ בהתאמה.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2+1$ בתחום $0\le x\le3$. לפניכם הגרפים I-III, המייצגים את $f(x)$, את $f'(x)$ ואת $f''(x)$, לא בהכרח בסדר זה.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3x^2+1}{2x^2-2}$.