שאלות פתוחות: טענות ויזואליות וגאומטריות - כיתה י"א 5 יח"ל

נתון מצולע קמור בעל $n$ צלעות ($n\ge3$).

בונים סדרת צורות $F_1,F_2,F_3,\dots$. הצורה $F_1$ היא ריבוע שאורך צלעו $1$. את הצורה $F_{n+1}$ מקבלים מהצורה $F_n$ כך: על כל צלע חופשית (צלע שאינה צמודה לריבוע אחר) של כל ריבוע שנוסף בשלב האחרון, מצמידים כלפי חוץ, באמצע הצלע, ריבוע חדש שאורך צלעו שליש מאורך הצלע שעליה הוא מוצמד. כך למשל $F_2$ מתקבלת מהצמדת $4$ ריבועים שצלעם $\frac13$, אחד באמצע כל צלע של $F_1$. ידוע שהריבועים אינם חופפים זה לזה, וכל ריבוע נוגע רק בריבוע שעליו הוצמד ובריבועים שהוצמדו עליו.

באיור מתוארות הצורות $F_1$, $F_2$, $F_3$ (לא בקנה מידה).

בונים את "פתית השלג של קוך". בשלב $0$ הצורה היא משולש שווה-צלעות שאורך צלעו $a$ ושטחו $S$. בכל שלב, על השליש האמצעי של כל צלע של הצורה מוסיפים כלפי חוץ משולש שווה-צלעות שצלעו שליש מאורך אותה צלע, והשליש האמצעי מוחלף בשתי הצלעות האחרות של המשולש החדש. המשולשים החדשים אינם חופפים זה לזה ולצורה.

באיור מתוארים שלבים $0$, $1$, $2$ של הבנייה.

נתון מצולע קמור בעל $n$ צלעות ($n\ge3$).

"זווית" היא צורה המורכבת משתי קרניים היוצאות מנקודה משותפת. משרטטים במישור $n$ זוויות, כך שכל שתי זוויות נחתכות בארבע נקודות, ואין שלוש זוויות שעוברות דרך אותה נקודה. נסמן ב-$R_n$ את מספר התחומים שהזוויות מחלקות אליהם את המישור. זווית אחת מחלקת את המישור לשני תחומים: $R_1=2$.

לוח משבצות ריבועי בגודל $2^n\times2^n$ משבצות ($n$ טבעי). מסירים מהלוח משבצת אחת כלשהי. "טרומינו" היא צורה בצורת האות L, המורכבת משלוש משבצות (ריבוע של $2\times2$ משבצות שהוסרה ממנו משבצת אחת). מכסים את הלוח בטרומינו כך שהן אינן חופפות זו לזו, אינן חורגות מהלוח ומכסות את כל המשבצות שלא הוסרו.

"זווית" היא צורה המורכבת משתי קרניים היוצאות מנקודה משותפת. משרטטים במישור $n$ זוויות, כך שכל שתי זוויות נחתכות בארבע נקודות, ואין שלוש זוויות שעוברות דרך אותה נקודה. נסמן ב-$R_n$ את מספר התחומים שהזוויות מחלקות אליהם את המישור. זווית אחת מחלקת את המישור לשני תחומים: $R_1=2$.