מבחן לדוגמה: טכניקות אינטגרציה - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את $a$.

מצאו את כל הנקודות שבהן יכול הגרף להשיק לציר ה-$x$, ולכל אחת מהן מצאו את $b$ ואת $c$.

הביעו את $I(a)$ באמצעות $a$.

האם קיים ערך של $a$ שעבורו $I(a)=1$? אם כן, מצאו אותו; אם לא, נמקו. לאילו ערכים של $a$ מתקיים $I(a)>\frac{3}{4}$?

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. הנקודה K היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC. נסמן: $\angle ACB=\alpha$.

נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית ורציפה המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ובה: $x=-2$. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$ היא בנקודה $(3,0)$.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. אחד מן הביטויים I-IV שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$.

מצאו את משוואת המשיק.

מצאו את $f(x)$ וחשבו את $f(1)$.

יש נקודה נוספת על גרף הפונקציה $f(x)$ שבה המשיק מקביל למשיק שמצאתם בסעיף א. מצאו את שיעוריה ואת משוואת המשיק בה.

האם הפונקציה $f(x)$ היא זוגית או אי-זוגית? נמקו את תשובתכם.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$.

הראו כי $f'(x)=\frac{1+2\cos x}{(2+\cos x)^2}$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ בתחום, וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=(f(x))^2\cdot f'(x)$, המוגדרת בתחום: $0\le x\le\pi$.

היעזרו בכך ש-$\left(\frac{f^3(x)}3\right)'=f^2(x)\cdot f'(x)$, וחשבו את השטח ברביע הראשון המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$.

בסרטוט שלפניכם הגרף של פונקציה אי-זוגית $f(x)$ בתחום $-2\le x\le2$. נתון: $\int_0^2 f(x)dx=-4$.

נתונה טבלת הסתברויות ובה מידע חלקי:

נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x^2-5x+1}{2x^2-2x-4}$.

במעגל שמרכזו $O$ חסום כוכב שקודקודיו $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ מסודרים על המעגל לפי הסדר הזה (ראו סרטוט). הקשתות שבין קודקודים שכנים הן: הקשת $AB$ - $60^\circ$, הקשת $BC$ - $80^\circ$, הקשת $CD$ - $70^\circ$, הקשת $DE$ - $90^\circ$, הקשת $EA$ - $60^\circ$.

נתונה הפונקציה $g(x)$ שפונקציית הנגזרת שלה היא $g'(x)=f(x)+1$. תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ ושל פונקציית הנגזרת $g'(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. נתון כי לפונקציה $g(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=-1$.

מצאו את הערך של $a$.

כתבו ביטוי אלגברי אפשרי לפונקציה $g(x)$.

לפניכם ארבעה גרפים, I-IV:

קבעו איזה מן הגרפים I-IV שלפניכם הוא גרף אפשרי של הפונקציה $g(x)$. נמקו את קביעתכם.