שאלות פתוחות: אינטגרל מסוים: חישוב - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את $k$ שעבורו $\int_0^k f(x)\,dx=5$.

מצאו את $a$.

חשבו את $\int_0^4 f(x)\,dx$.

לפניכם טענה:

אם ל-$n$ טבעי מסוים $8^n+k$ מתחלק ב-7 ללא שארית, אז גם $8^{n+1}+k$ מתחלק ב-7 ללא שארית ($k$ מספר שלם).

נתונה הפונקציה $f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)$ בתחום $-1\le x\le4$. נגדיר $F(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dx$, $-1<a\le4$.

נתונה סדרה חשבונית $a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}$ שהפרשה $d\ne0$.

בסרטוט שלפניכם הגרף של פונקציה אי-זוגית $f(x)$ בתחום $-2\le x\le2$. נתון: $\int_0^2 f(x)dx=-4$.

נתונה טבלת הסתברויות ובה מידע חלקי:

נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x^2-5x+1}{2x^2-2x-4}$.

במעגל שמרכזו $O$ חסום כוכב שקודקודיו $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ מסודרים על המעגל לפי הסדר הזה (ראו סרטוט). הקשתות שבין קודקודים שכנים הן: הקשת $AB$ - $60^\circ$, הקשת $BC$ - $80^\circ$, הקשת $CD$ - $70^\circ$, הקשת $DE$ - $90^\circ$, הקשת $EA$ - $60^\circ$.

מצאו את $k$.

מצאו את $k$ שבעבורו $\int_1^4 g(x)\cdot f(x)\,dx=0$.

ידוע כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot3+2\cdot5+3\cdot7+\ldots+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$. נסמן ב-$S_n$ את הסכום של $n$ האיברים הראשונים.

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 9. המשיק למעגל בנקודה $A$ יוצר זווית של $35^\circ$ עם המיתר $AB$ (ראו סרטוט).

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{9x^2+4}}{2x}$, המוגדרת לכל $x\neq0$.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-4x$ (ראו גרף), ונתונה הפונקציה $g(t)=\int_{-2}^{t}f(x)\,dx$ המוגדרת בתחום $-2\le t\le2$.

ענו על תת-סעיפים (1)-(4) בעבור כל אחת משתי הפונקציות $f(x)$ ו-$g(x)$.

הגרף שלפניכם מתאר את אחת הפונקציות $f(x)$, $g(x)$.

נתונה פונקציה $h(x)$ המקיימת: $h'(x)=g(x)$. $g(x)$ ו-$h(x)$ מוגדרות באותו תחום.

מה הם תחומי העלייה והירידה של $h(x)$?

נתונה הפונקציה: $k(x)=f(x-b)$, $b\neq0$ הוא פרמטר.

האם הפונקציה $k(x)$ זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית? נמקו את תשובתכם.

הביעו את $F(a)$ באמצעות $a$, ומצאו את כל ערכי $a$ בתחום שעבורם $F(a)=0$.

מצאו את הערך הגדול ביותר של $F(a)$ בתחום $-1<a\le4$, ואת $a$ שבו הוא מתקבל.

בסרטוט שלפניכם: גרף של פונקציה אי-זוגית $f(x)$ בתחום: $-3\le x\le3$ והישרים: $y=-1$, $y=1$. קבעו עבור כל אחת מן הטענות הבאות אם היא נכונה או לא. נמקו.

נתונה טבלת הסתברויות ובה מידע חלקי:

נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax^2-x+5}{3x^2+3x-18}$. $a$ הוא פרמטר חיובי. ציר ה-$x$ והאסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים יוצרים מלבן ששטחו 10.

במעגל שמרכזו בנקודה $O$ חסום כוכב בעל 7 קודקודים. הקודקודים $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ מסודרים על המעגל לפי הסדר הזה, וצלעות הכוכב הן המיתרים $AC$, $CE$, $EG$, $GB$, $BD$, $DF$, $FA$ (ראו סרטוט).

הוכיחו שסכום 7 הזוויות של קודקודי הכוכב: $\sphericalangle A+\sphericalangle B+\sphericalangle C+\sphericalangle D+\sphericalangle E+\sphericalangle F+\sphericalangle G$ הוא $540^\circ$.