מבחן לדוגמה: בעיות ערך קיצון: שורש ורציונלית - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של $f(x)$.

הנקודה $C$ נמצאת על גרף $f(x)$, ושיעור ה-$x$ שלה הוא 1.

הראו כי משוואת המשיק לגרף $f(x)$ בנקודה $C$ היא $y=-ax+2a+2$.

המשיק חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה-$y$ בנקודה $B$. $O$ היא ראשית הצירים.

מצאו את שיעורי $A$ ו-$B$, והראו כי שטח המשולש $AOB$ הוא $S=\frac{2(a+1)^2}{a}$.

מצאו את הערך של $a$ שבעבורו שטח המשולש $AOB$ מינימלי, ואת השטח המינימלי.

מצאו את שיעור ה-$x$ של הנקודה $P$ שעבורה המרחק בין $P$ לבין ראשית הצירים הוא הקטן ביותר, ואת המרחק הקטן ביותר.

הביעו באמצעות $t$ את שיעורי הנקודות $A$ ו-$B$.

מצאו את $t$ שעבורו אורך הקטע $AB$ מינימלי, ואת האורך המינימלי.

מגבילים את נקודת ההשקה לתחום $1\le t\le a$, כאשר $a>1$. מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם האורך המקסימלי של $AB$ בתחום מתקבל ב-$t=1$.

הביעו באמצעות $x$ את שטח המשולש $CEF$, וקבעו את תחום הערכים האפשריים של $x$.

מצאו את השטח הקטן ביותר האפשרי של המשולש $CEF$.

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות הנתונות. דרך הנקודה A העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה-$y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה B, וישר המקביל לציר ה-$x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה C. נסמן ב-$t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה A.

הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע AB.

הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע AC.

מצאו את הערך של $t$ שבעבורו סכום אורכי הקטעים AB ו-AC הוא מקסימלי.

הראו כי $CD=\sqrt{x(8-x)}$.

הביעו באמצעות $x$ את שטח המלבן $ACDE$, ורשמו את התחום שבו $x$ יכול להשתנות.

מצאו את $x$ שבעבורו שטח המלבן מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

הנקודה $F$ נמצאת על הצלע $DE$.

הראו כי סכום השטחים של המשולשים $CDF$ ו-$AFE$ שווה למחצית שטח המלבן, ומצאו את הסכום המקסימלי.

הביעו באמצעות $r$ ו-$k$ את עלות הפח של המיכל.

הראו כי במיכל שעלות הפח שלו היא הקטנה ביותר מתקיים $h=2kr$.

ידוע כי במיכל הזול ביותר הגובה גדול פי $4$ מרדיוס הבסיס. מצאו את $k$, את מידות המיכל ואת עלות הפח שלו.

מצאו את $x$ שבעבורו זמן הרכיבה הכולל מ-A ל-B הוא הקצר ביותר.