שאלות פתוחות: בעיות קיצון בתנועה ובכלכלה - כיתה י"א 5 יח"ל

רוכבת אופניים נמצאת בנקודה A בשדה, במרחק $6$ ק"מ מנקודה C שעל כביש ישר ($AC$ מאונך לכביש). עליה להגיע לנקודה B שעל הכביש, במרחק $15$ ק"מ מ-C. היא רוכבת בשדה בקו ישר מ-A לנקודה P שעל הכביש (בין C ל-B) במהירות $12$ קמ"ש, ומשם ממשיכה לאורך הכביש מ-P ל-B במהירות $15$ קמ"ש. נסמן $CP=x$ (ראו איור).

משאית נוסעת מרחק של $400$ ק"מ במהירות קבועה של $v$ קמ"ש. עלות הדלק לשעת נסיעה היא $\frac{v^2}{100}$ ש"ח, והנהג מקבל שכר של $a$ ש"ח לשעת נסיעה. ידוע כי העלות הכוללת של הנסיעה (דלק ושכר) היא הקטנה ביותר כאשר $v=90$ קמ"ש.

סירה נמצאת בנקודה A בים, במרחק $3$ ק"מ מנקודה C שעל קו חוף ישר. נקודת היעד B נמצאת על קו החוף, במרחק $d$ ק"מ מ-C ($d>3$). הסירה שטה בקו ישר מ-A לנקודה P שעל החוף בין C ל-B, במהירות $3$ קמ"ש, ומ-P הולכים ברגל לאורך החוף עד B במהירות $5$ קמ"ש (ראו איור). ידוע כי משך הזמן הקצר ביותר האפשרי להגעה מ-A ל-B הוא בדיוק $2$ שעות.

מציל עומד בנקודה A על החוף, במרחק $30$ מטר מקו המים הישר. מתרחץ במצוקה נמצא בנקודה B בים, במרחק $20$ מטר מקו המים. הנקודות C ו-D הן ההיטלים של A ושל B על קו המים, ו-$CD=55$ מטר. המציל רץ על החול במהירות $4$ מטר לשנייה עד לנקודה P שעל קו המים, ומשם שוחה בקו ישר ל-B במהירות קבועה של $v$ מטר לשנייה, כמתואר באיור. ידוע כי זמן ההגעה הקצר ביותר מתקבל כאשר $CP=40$ מטר.

דוברה שטה במעלה נהר, נגד כיוון הזרם, למרחק של $60$ ק"מ. מהירות הזרם קבועה ושווה ל-$6$ קמ"ש. מהירות הדוברה ביחס למים היא $v$ קמ"ש ($v>6$), ולכן מהירותה ביחס לגדה היא $v-6$ קמ"ש. עלות הדלק לשעת שיט היא $0.5v^3$ ש"ח.

שתי דרכים ישרות יוצאות מצומת O, והזווית ביניהן היא $60^\circ$. ברגע $t=0$ מכונית א' נמצאת על הדרך הראשונה, $20$ ק"מ מהצומת, ונוסעת לכיוון הצומת במהירות קבועה של $40$ קמ"ש. באותו רגע מכונית ב' יוצאת מהצומת לאורך הדרך השנייה במהירות קבועה של $40$ קמ"ש. נסמן ב-$t$ את הזמן בשעות מרגע היציאה, עד הרגע שבו מכונית א' מגיעה לצומת.

רוכבת אופניים נמצאת בנקודה A בשדה, במרחק $6$ ק"מ מנקודה C שעל כביש ישר ($AC$ מאונך לכביש). עליה להגיע לנקודה B שעל הכביש, במרחק $15$ ק"מ מ-C. היא רוכבת בשדה בקו ישר מ-A לנקודה P שעל הכביש (בין C ל-B) במהירות $12$ קמ"ש, ומשם ממשיכה לאורך הכביש מ-P ל-B במהירות $15$ קמ"ש. נסמן $CP=x$ (ראו איור).

חברה מוכרת אוזניות אלחוטיות. עלות הייצור של זוג אוזניות היא $30$ ₪. כאשר מחיר זוג הוא $90$ ₪, החברה מוכרת $40$ זוגות ביום. על כל הורדה של $1$ ₪ במחיר זוג, מספר הזוגות הנמכרים ביום גדל ב-$k$ ($k>0$). הרווח היומי הגדול ביותר מתקבל כאשר מורידים את המחיר ב-$20$ ₪.

ספינה א' יוצאת מנמל $O$ ומפליגה מזרחה בקו ישר במהירות קבועה של $15$ קמ"ש. באותו רגע ספינה ב' נמצאת $40$ ק"מ צפונית לנמל, ומפליגה דרומה, ישר אל הנמל, במהירות קבועה של $20$ קמ"ש. נסמן ב-$t$ את הזמן בשעות מרגע היציאה, עד הרגע שבו ספינה ב' מגיעה לנמל, וב-$A$ וב-$B$ את מקומן של ספינה א' ושל ספינה ב' ברגע $t$ (ראו סרטוט).