שאלות פתוחות: מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על מרובע חסום במעגל וסכום הזוויות הנגדיות בו, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מוכיחים טענות על זוויות בשני מעגלים נחתכים, בטרפז חסום שהמשכי שוקיו נפגשים בנקודה E, ובמלבן שבו המרובע EABF בר-חסימה, ומשתמשים בכך כדי לחשב זוויות ואורכים. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. מתאים לחזרה על מצולעים חסומים לפני הבגרות; המורה יכול לבחור מהשאלות לבוחן או לדף עבודה ולקבל אותן עם פתרון מלא בקובץ Word.

56 שאלותקלה: 10בינונית: 38קשה: 8

שאלה 1 · שאלות קצרות בהדרכה: טרפז חסום, אינדוקציה, זוגיות וגרףשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.
הסרטוטים לסעיף ד:
סרטוט א
סרטוט ב
סרטוט ג
סרטוט ד

א.

הטרפז ABCDABCDABCD (AB∥CDAB\parallel CDAB∥CD) חסום במעגל, ו-∢DAB=70∘\sphericalangle DAB=70^\circ∢DAB=70∘. מצאו את שאר זוויות הטרפז, והסבירו מדוע הטרפז שווה שוקיים.

ב.

הוכיחו באינדוקציה שהביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 לכל nnn טבעי.

ג.

(1)

נתונה הפונקציה f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4xf(x)=x3−4x. הראו ש-f(x)f(x)f(x) אי-זוגית.

(2)

קבעו אם הפונקציה g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4 זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית. היעזרו ב-g(1)g(1)g(1) וב-g(−1)g(-1)g(−1).

ד.

(1)

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+4f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}f(x)=x2+4​x​. הסבירו מדוע f(x)f(x)f(x) מוגדרת לכל xxx, ומצאו את האסימפטוטות האופקיות שלה.

(2)

הראו ש-f(x)f(x)f(x) עולה לכל xxx, וקבעו איזה מהסרטוטים א-ד הוא גרף הפונקציה. נמקו.

שאלה 2 · שאלות קצרות: מקבילית חסומה, אינדוקציה, זוגיות וגרף של פונקציית שורששאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.
הסרטוטים לסעיף ד:
סרטוט א
סרטוט ב
סרטוט ג
סרטוט ד

א.

הוכיחו כי כל מקבילית שחסומה במעגל היא מלבן.

ב.

הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת שהביטוי n3+5nn^3+5nn3+5n מתחלק ב-6 ללא שארית לכל nnn טבעי.

ג.

נתון כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) אינה קבועה, מוגדרת לכל xxx והיא אי-זוגית.
קבעו לגבי כל אחת מהפונקציות הבאות אם היא זוגית, אי-זוגית, לא זוגית ולא אי-זוגית או שלא ניתן לקבוע. נמקו.
I. h(x)=x⋅f(x)h(x)=x\cdot f(x)h(x)=x⋅f(x)
II. k(x)=x2⋅f(x)k(x)=x^2\cdot f(x)k(x)=x2⋅f(x)
III. g(x)=f(x)+x2g(x)=f(x)+x^2g(x)=f(x)+x2

ד.

נתונה הפונקציה: f(x)=x+1x2+af(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+a}}f(x)=x2+a​x+1​, a>0a>0a>0. איזה מהסרטוטים א-ד הוא גרף הפונקציה? נמקו בקצרה.

שאלה 3 · שני מעגלים נחתכים כשהמקבילית היא מלבן: אורכים ורדיוסיםשאלה מלאה · קשה

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המיתר CBCBCB במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה BBB.
המשך המיתר ACACAC במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר BDBDBD במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
נתון שהמרובע CEDFCEDFCEDF הוא מלבן, AC=8AC=8AC=8 ו-CE=10CE=10CE=10.
ABCEDF

א.

הוכיחו כי AB⊥CEAB\perp CEAB⊥CE.

ב.

מצאו את ABABAB ואת BDBDBD.

ג.

מצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש BDABDABDA.

ד.

מצאו את הרדיוסים של שני המעגלים.

שאלה 4 · משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: מחוצה זווית ודמיון לאורכים ושטחים מספרייםשאלה מלאה · קלה

משולש ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו 5. הצלע BCBCBC היא קוטר במעגל, ו-AC=6AC=6AC=6. הנקודה GGG נמצאת על המשך הצלע CACACA כך ש-GA=ACGA=ACGA=AC. הקטע GBGBGB חותך את המעגל בנקודה DDD.
GADBC

א.

היעזרו בזווית BACBACBAC, והוכיחו כי BG=BCBG=BCBG=BC וכי הישר ABABAB חוצה את ∠GBC\angle GBC∠GBC.

ב.

הוכיחו כי ∠GDA=∠GCB\angle GDA=\angle GCB∠GDA=∠GCB, והסיקו כי ΔGBC∼ΔGAD\Delta GBC\sim\Delta GADΔGBC∼ΔGAD.

ג.

חשבו את אורך הקטע GDGDGD ואת היחס SDBCASGAD\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}}SGAD​SDBCA​​.

ד.

דרך הנקודה CCC העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע BABABA בנקודה EEE.

חשבו את אורך ABABAB, את אורך AEAEAE, ופי כמה גדול שטח המשולש CBECBECBE משטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 5 · שני מעגלים נחתכים עם שני משיקים מאותה נקודה: דמיון ומקביליתשאלה מלאה · בינונית

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ACACAC במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה AAA.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המשך המיתר CBCBCB במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר DBDBDB במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
המשכי המיתרים FCFCFC ו-EDEDED נחתכים בנקודה GGG.
ABCDEFG

א.

(1)

הוכיחו: ΔABC∼ΔDBA\Delta ABC\sim\Delta DBAΔABC∼ΔDBA.

(2)

הוכיחו: ∢ADE=∢DAC\sphericalangle ADE=\sphericalangle DAC∢ADE=∢DAC.

(3)

הוכיחו: המרובע ACGDACGDACGD הוא מקבילית.

ב.

נתון: BC=8BC=8BC=8, BD=4.5BD=4.5BD=4.5.

מצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש DBADBADBA. נמקו.

שאלה 6 · מלבן ומרובע בר חסימה: תנאי קיום ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

במלבן ABCDABCDABCD, הנקודה EEE נמצאת על הצלע ADADAD. הקטע CECECE חותך את האלכסון BDBDBD בנקודה FFF. המרובע EABFEABFEABF הוא בר חסימה במעגל.
DABCEF

א.

הוכיחו: AB2=DE⋅DAAB^2=DE\cdot DAAB2=DE⋅DA.

ב.

הסבירו מדוע בהכרח AB<ADAB<ADAB<AD.

בסעיפים ג-ד נתון: AB=1AB=1AB=1, ונסמן AD=xAD=xAD=x.

ג.

הביעו באמצעות xxx את אורך הקטע DEDEDE ואת היחס בין שטח המשולש BFC לשטח המשולש DEF.

ד.

נתון כי קוטר המעגל החוסם את המרובע EABFEABFEABF הוא 132\frac{\sqrt{13}}2213​​.

מצאו את xxx.

שאלה 7 · טרפז חסום במעגל: זוויות, משפט הסינוסים ומשוואה טריגונומטרית (מודרך)שאלה מלאה · קלה

נתון טרפז ABCD (AB∥DC)(AB\parallel DC)(AB∥DC), החסום במעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט.
נתון: ∠ACB=45∘\angle ACB=45^\circ∠ACB=45∘.
נסמן: ∠CDE=α\angle CDE=\alpha∠CDE=α, AC=kAC=kAC=k.
ABCDE

א.

הסבירו מדוע ∠ABC=α\angle ABC=\alpha∠ABC=α, ומדוע גם ∠DAB=α\angle DAB=\alpha∠DAB=α.

ב.

הראו כי ∠DAC=2α−135∘\angle DAC=2\alpha-135^\circ∠DAC=2α−135∘, ומצאו את ∠ADC\angle ADC∠ADC.

ג.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-kkk את אורכי הצלעות AB ו-DC.

ד.

נתון כי שטח המשולש ABE גדול פי 2 משטח המשולש DCE.

הסבירו מדוע ABDC=2\frac{AB}{DC}=\sqrt2DCAB​=2​, ומצאו את α\alphaα.

ה.

נתון k=8k=8k=8. חשבו את רדיוס המעגל (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).

שאלה 8 · שני מעגלים נחתכים: מרובעים חסומים וישרים מקביליםשאלה קצרה · בינונית

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
ישר שעובר דרך AAA חותך את המעגל השמאלי בנקודה CCC ואת המעגל הימני בנקודה DDD.
ישר שעובר דרך BBB חותך את המעגל השמאלי בנקודה EEE ואת המעגל הימני בנקודה FFF.
ABCDEF

א.

הוכיחו: ∢CAB=∢BFD\sphericalangle CAB=\sphericalangle BFD∢CAB=∢BFD.

ב.

הוכיחו: CE∥DFCE\parallel DFCE∥DF.

שאלה 9 · משולש חסום שצלעו קוטר: יחס שטחים כפרמטר $k$ , תחום הפרמטר, משיק בקצה הקוטר ומשולש שווה-צלעותשאלה מלאה · קשה

משולש KLMKLMKLM חסום במעגל שרדיוסו RRR. הצלע LMLMLM היא קוטר במעגל. הנקודה PPP נמצאת על המשך הצלע MKMKMK (מעבר ל-KKK) כך ש-LP=LMLP=LMLP=LM. הקטע PLPLPL חותך את המעגל בנקודה QQQ (בין PPP ל-LLL). נתון: SQLMKSPKQ=k\frac{S_{QLMK}}{S_{PKQ}}=kSPKQ​SQLMK​​=k.
PKQLM

א.

הוכיחו כי KKK היא אמצע הקטע PMPMPM.

ב.

הביעו את KMKMKM באמצעות RRR ו-kkk.

ג.

מצאו את כל הערכים האפשריים של kkk.

ד.

דרך הנקודה LLL העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע MPMPMP בנקודה TTT.

הביעו באמצעות kkk את היחס SLMTSKLM\frac{S_{LMT}}{S_{KLM}}SKLM​SLMT​​.

ה.

מצאו את kkk שבעבורו המשולש PLMPLMPLM שווה-צלעות, ואת היחס SLMTSKLM\frac{S_{LMT}}{S_{KLM}}SKLM​SLMT​​ במקרה זה.

שאלה 10 · מעגל החותך שתי צלעות של משולש: זווית חיצונית, דמיון, אורכים וחוצה זוויתשאלה מלאה · קלה

במשולש ACEACEACE נתון: AC=8AC=8AC=8, AE=10AE=10AE=10, CE=9CE=9CE=9. מעגל עובר דרך הקודקודים AAA ו-EEE, חותך את הצלע CECECE בנקודה BBB ואת הצלע ACACAC בנקודה DDD (ראו סרטוט). נתון: CB=4CB=4CB=4.
ABCDE

א.

הוכיחו כי ∠CDB=∠AEC\angle CDB=\angle AEC∠CDB=∠AEC. (היעזרו במרובע החסום ADBEADBEADBE.)

ב.

הוכיחו כי ΔACE∼ΔBCD\Delta ACE\sim\Delta BCDΔACE∼ΔBCD.

ג.

חשבו את האורכים CDCDCD ו-BDBDBD.

ד.

הוכיחו כי ABABAB חוצה את הזווית CAECAECAE.

ה.

הוכיחו כי ∠BDE=∠BED\angle BDE=\angle BED∠BDE=∠BED.

עוד 28 שאלות על מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מרובע חסום במעגל: מיתרים נתונים, משוואה ריבועית ב- $cos α$ ויחס גבהים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: $\angle DAB=\alpha$ , $\alpha$ היא זווית חדה.
טרפז חסום שבו $CE = C A$ : קשר בין הזוויות, יחס שטחים וטווח ערכים (שאלה מלאה · קשה)
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC,\ AB>DC)$ , החסום במעגל. המשכי השוקיים AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. ידוע כי $CE=CA$ . נסמן:…
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, $f^{''}$ , ערך מוחלט ודמיון במעגל (שאלה מלאה · קלה)
בדקו שהשוויון מתקיים בעבור $n=1$ ובעבור $n=2$ , וכתבו את האיבר שמתווסף לאגף השמאלי במעבר מ- $n=k$ ל- $n=k+1$ .
טרפז ישר-זווית ומרובע בר חסימה: דמיון, יחסי שטחים וקוטר המעגל (שאלה מלאה · בינונית)
בטרפז ישר-זווית $ABCD$ ( $AD\parallel BC$ , $\angle DAB=90^\circ$ ), הנקודה $E$ נמצאת על הבסיס $AD$ . הקטע $CE$ חותך את האלכסון $BD$ בנקודה $F$ .…
שני מעגלים נחתכים: מתי $C D = EF$ - חוצה זווית בשני הכיוונים ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ . ישר העובר דרך $B$ חותך את המעגל השמאלי בנקודה $C$ ואת המעגל הימני בנקודה $E$ ( $B$ בין $C$ ל- $E$ ). הקטע…
שני מעגלים נחתכים: מרובע חסום וחוצה זווית, בשלבים (שאלה מלאה · קלה)
שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו-B. C היא נקודה על המעגל הימני. המשכי הקטעים CA ו-CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו-E בהתאמה. הנקודה F…
משולש שווה-שוקיים שבסיסו קוטר במעגל: גבהים וחוצה זווית, דמיון, יחס שטחים 8 ומשיק (שאלה מלאה · בינונית)
$BC$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הנקודה $G$ נמצאת מחוץ למעגל כך ש- $GB=GC$ . הקטע $GB$ חותך את המעגל בנקודה $D$ , והקטע $GC$ חותך את…
משולש שווה שוקיים עם זווית ראש $12 0^{\circ}$ וחותך מהמשך הבסיס: יחס שטחים כפונקציה של פרמטר ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) שבו $\angle BAC=120^\circ$ , החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ …
משולש שווה שוקיים חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך הבסיס: חישוב זוויות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) החסום במעגל, ו- $\angle BAC=40^\circ$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ …
זווית חיצונית במרובע חסום: דמיון ואורך צלע (שאלה קצרה · בינונית)
המרובע $ABCD$ חסום במעגל. המשכי הצלעות $AD$ ו- $BC$ נפגשים בנקודה $P$ ( $D$ בין $A$ ל- $P$ , ו- $C$ בין $B$ ל- $P$ ), כמו בסרטוט.
שני חותכים ממעגל: אורך לא ידוע, שטח כפונקציה של פרמטר ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני ישרים החותכים את המעגל: האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $EC$ ,…
שני חותכים ממעגל וישר מקביל למיתר: דמיון ומשפט תאלס (שאלה מלאה · קלה)
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני ישרים החותכים את המעגל: האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $EC$ ,…
מרובע חסום במעגל ומרכז המעגל החסום במשולש: משפט הסינוסים, שטח ומרחק בין מרכזים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נתון: $DA=DC$ ו- $\angle ADC=120°$ . הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABC$ (ראו סרטוט). נסמן:…
מרובע חסום במשולש: יחס חלוקה כפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
במשולש $\triangle ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $BD=t\cdot DC$ ( $t>0$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך ש- $AE=3EC$ , והמרובע…
מרובע חסום במשולש: דמיון ואורכים מנתונים מספריים (שאלה מלאה · קלה)
במשולש $\triangle ABC$ הקטע $AD$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך שהמרובע $ABDE$ חסום במעגל. נתון: $EC=4$ , $AE=14$ .
טרפז חסום שבסיסו קוטר והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון (שאלה מלאה · בינונית)
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. הבסיס AB הוא קוטר המעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נסמן:…
שאלות קצרות: יחס רדיוסים, ביטויי ברנולי, גרפי $f^{'}$ ו- $f^{''}$ , סדרת זוויות מרכזיות (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש $EDC$ ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש $BDE$ . נמקו את תשובתכם.
משולש, מעגל ומקביל לצלע: מרובע חסום, דמיון, חפיפה והמשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ACE$ הנקודה $B$ נמצאת על הצלע $CE$ . מעגל עובר דרך הקודקודים $A$ ו- $C$ ודרך הנקודה $B$ , וחותך את הצלע $AE$ בנקודה $F$ . הנקודה $D$ …
שני מעגלים נחתכים: זוויות חיצוניות של מרובעים חסומים וישרים מקבילים (שאלה קצרה · בינונית)
שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ . ישר העובר דרך $A$ חותך את המעגל השמאלי בנקודה $C$ ואת המעגל הימני בנקודה $D$ . ישר העובר דרך $B$ חותך את…
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במשולש חסום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $2+7+\ldots+\frac{3n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)^2}{2}$ .
משולש חד-זוויות ומרובע בר-חסימה CEFO: ניצבות מהמרכז ומעגלים משיקים (שאלה מלאה · בינונית)
משולש חד-זוויות ABC חסום במעגל שמרכזו O. הנקודה E נמצאת על הצלע BC, והנקודה F נמצאת על הקטע BO, כמתואר בסרטוט. נתון כי המרובע CEFO הוא בר…
מרובע בר-חסימה ושני משיקים: משולש שווה-שוקיים (שאלה קצרה · בינונית)
מנקודה P שמחוץ למעגל שמרכזו O העבירו שני משיקים למעגל, המשיקים לו בנקודות B ו-C. הנקודה E נמצאת על הקטע PB, והנקודה F נמצאת על הקטע BC, כך…
שני מעגלים נחתכים: מרובע חסום, מיתרים שווים, חוצה זווית ופיתגורס (שאלה מלאה · בינונית)
שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו-B. C היא נקודה על המעגל הימני. המשכי הקטעים CA ו-CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו-E בהתאמה. הנקודה F…
שני מעגלים נחתכים: הוכחת מקבילות בעזרת מרובעים חסומים (שאלה קצרה · בינונית)
שני מעגלים נחתכים בנקודות K ו-L. ישר העובר דרך K חותך את המעגל השמאלי בנקודה A ואת המעגל הימני בנקודה B. ישר העובר דרך L חותך את המעגל…
משולש ישר זווית ושווה שוקיים חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך היתר: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים ( $\angle BAC=90^\circ$ , $AB=AC$ ) החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע…
משולש שווה שוקיים הנתון בצלעותיו, חסום במעגל, וחותך מנקודה על המשך הבסיס: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC=10$ , $BC=12$ ) החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ חותך את המעגל…
שני חותכים ממעגל, ישר מקביל למיתר: דמיון, אורכים ומשפט הקוסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני קטעים החותכים את המעגל, האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $FD$ …
מרובע בר חסימה במשולש: דמיון, יחס צלעות ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $\triangle ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $BD=2DC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך שהמרובע $ABDE$ הוא בר חסימה במעגל.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: טרפז חסום, אינדוקציה, זוגיות וגרף של פונקציית שורש · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 1
הוכיחו כי כל טרפז שחסום במעגל הוא שווה שוקיים.
שני מעגלים נחתכים: משיק ומיתר, דמיון ומקבילית · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 3
שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ . המיתר $AD$ במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה $A$ . המיתר $CB$ במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה $B$ . המשך המיתר $AC$ …
מרובע חסום במעגל: משפט הסינוסים, משוואה ריבועית ב- $cos α$ ויחס גבהים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 5
מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: $\angle DAB=\alpha$ , $\alpha$ היא זווית חדה.
מלבן ומרובע בר חסימה: דמיון, יחסי שטחים וקוטר המעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
במלבן $ABCD$ , הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AD$ . הקטע $CE$ חותך את האלכסון $BD$ בנקודה $F$ . המרובע $EABF$ הוא בר חסימה במעגל.
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: חוצה זווית, דמיון במרובע חסום, יחס שטחים ומשיק · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 4
משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ (ראו סרטוט). הצלע $BC$ היא קוטר במעגל. $AG$ הוא המשך הצלע $CA$ . הקטע $GB$ חותך את המעגל בנקודה $D$ . נתון: $GA=AC$ . (הסרטוט…
דלתון חסום במעגל ומרכז המעגל החסום במשולש: משפט הסינוסים, שטח ומרחק בין מרכזים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 5
דלתון $ABCD$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . המיתר $AC$ הוא האלכסון הראשי של הדלתון. הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABC$ (ראו סרטוט). נסמן:…
טרפז חסום במעגל והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ACB=60^\circ$ . נסמן: $\angle CDE=\alpha$ ,…
שאלות קצרות: רדיוסים של מעגלים חוסמים, ביטויי ברנולי, גרפי $f^{'}$ ו- $f^{''}$ , סדרת זוויות אין-סופית · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1
מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש $HBF$ ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש $GEA$ . נמקו את תשובתכם.
שני מעגלים נחתכים: מרובעים חסומים, דמיון, חפיפה והמשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 4
שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ (ראו סרטוט). המיתר $AC$ במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה $D$ . המיתר $AE$ במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה $F$ .…
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במרובע חסום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $4+13+\ldots+\frac{5n^2+3n}{2}=\frac{n(n+1)(5n+7)}{6}$ .
מעגל עם קוטר ומרובע בר-חסימה CEFO: מקבילית, ניצבות ומעגלים משיקים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O כך ש-AB הוא קוטר במעגל. הנקודה E נמצאת על הצלע BC, והנקודה F נמצאת על הקטע BO, כמתואר בסרטוט. נתון כי המרובע CEFO הוא בר חסימה…
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים זוגיים, מרובע חסום ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי זוגי מתקיים: $48+144+288+\dots+6n(n+2)=n(n+2)(n+4)$
שני מעגלים נחתכים: מרובעים חסומים, חוצה זווית ופיתגורס · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 4
שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו-B. C היא נקודה על המעגל הימני. המשכי הקטעים CA ו-CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו-E בהתאמה. הנקודה F נמצאת על הקשת BC, כמתואר…
משיק המקביל למיתר: דמיון משולשים, יחס שטחים ויחס קטעים במרובע · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 4
במרובע $BKCD$ הצלע $KB$ מקבילה לצלע $CD$ . הצלע $CD$ היא מיתר במעגל והצלע $KB$ משיקה למעגל בנקודה $K$ . הצלע $BD$ חותכת את המעגל בנקודה $A$ . האלכסון $BC$ חותך את…
משולש שווה צלעות חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך צלע: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
$ABC$ הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ חותך את המעגל בנקודה $E$ .
שני חותכים ממעגל, ישר מקביל למיתר: דמיון, אורכים ומשפט הקוסינוסים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני קטעים החותכים את המעגל, האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $EC$ ומתקיים:…
מרובע בר חסימה במשולש: דמיון, יחס צלעות ויחס שטחים · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
במשולש $\triangle ABC$ הקטע $AD$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך שהמרובע $ABDE$ הוא בר חסימה במעגל.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות 180° (שאלה קצרה · קלה)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שרדיוסו 5. נתון: $\angle BAD=\angle BCD$ , $AB=6$ .