שאלות פתוחות: המשפט ההפוך: מרובע שניתן לחסום במעגל - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על המשפט ההפוך - מתי אפשר לחסום מרובע במעגל - לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מוכיחים שמרובע בר-חסימה במשולש חד-זווית שבו שני גבהים נחתכים, במלבן שבו קטע מאונך לאלכסון, בשני משיקים מנקודה חיצונית ובמשולש שווה-שוקיים עם נקודות על הבסיס, ואחר כך משתמשים במעגל החדש כדי להסיק שוויון זוויות. רוב השאלות בינוניות. אפשר לשבץ את השאלות במבחן או בדף עבודה, עם פתרון מלא לכל אחת וייצוא ל-Word.

47 שאלותקלה: 9בינונית: 32קשה: 6

שאלה 1 · שני משיקים למעגל: מרובע בר-חסימה, אורכים באמצעות $α$ ומשוואה עם זווית כפולהשאלה מלאה · קלה

DBDBDB ו-DCDCDC משיקים למעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR, כמתואר בסרטוט. המשך BDBDBD חותך את המשך OCOCOC בנקודה AAA. נסמן: ∢DBC=α\sphericalangle DBC=\alpha∢DBC=α.
OBCDA

א.

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע OBDCOBDCOBDC, ומדוע ODODOD הוא קוטר של המעגל החוסם אותו.

ב.

הראו כי ∢BOD=α\sphericalangle BOD=\alpha∢BOD=α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את ODODOD ואת DBDBDB.

ג.

הסבירו מדוע ∢OAB=90∘−2α\sphericalangle OAB=90^\circ-2\alpha∢OAB=90∘−2α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את OAOAOA.

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורה OA=2⋅ODOA=2\cdot ODOA=2⋅OD.

שאלה 2 · קוטר, משיק וחותך: מרובעים ברי-חסימה וקוטרי מעגלים חוסמיםשאלה מלאה · בינונית

ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO, כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: RRR.
המשיק למעגל בנקודה BBB והמשך המיתר ACACAC נחתכים בנקודה DDD. המשיק למעגל בנקודה CCC חותך את BDBDBD בנקודה MMM. הקטע OMOMOM והמיתר BCBCBC נחתכים בנקודה NNN. הקטע CFCFCF מאונך ל-BDBDBD (FFF על BDBDBD).
נסמן: ∢ADB=α\sphericalangle ADB=\alpha∢ADB=α.
ABODCMNF

א.

(1)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע OBMCOBMCOBMC.

(2)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע CNFMCNFMCNFM.

ב.

נסמן: d1d_1d1​ הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע OBMCOBMCOBMC. d2d_2d2​ הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע CNFMCNFMCNFM. d3d_3d3​ הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש CMDCMDCMD.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את d1d_1d1​, את d2d_2d2​ ואת d3d_3d3​.

ג.

מצאו את הערך של α\alphaα שבעבורו מתקיים: d2d1=d1d3\frac{d_2}{d_1}=\frac{d_1}{d_3}d1​d2​​=d3​d1​​.

שאלה 3 · משולש שווה-שוקיים עם אנכים זזים: מתי BDGE בר-חסימה, מעוין או ריבועשאלה מלאה · קשה

במשולש שווה-שוקיים ABC (BA=BCBA=BCBA=BC) הבסיס הוא AC=12AC=12AC=12, והגובה לבסיס הוא BM=12BM=12BM=12. הנקודות L ו-K נמצאות על הבסיס AC משני צדי M, כך ש-ML=MK=xML=MK=xML=MK=x (0<x<60<x<60<x<6). האנך לבסיס בנקודה K חותך את השוק BC בנקודה D, והאנך לבסיס בנקודה L חותך את השוק BA בנקודה E. הקטעים DL ו-EK נפגשים בנקודה G.
ABCMLKDEG

א.

הביעו באמצעות xxx את אורך הקטע DK ואת אורך הקטע BG.

ב.

מצאו את xxx שבעבורו המרובע BDGE בר-חסימה במעגל.

ג.

מצאו את xxx שבעבורו המרובע BDGE הוא מעוין.

ד.

האם קיים xxx שבעבורו המרובע BDGE הוא ריבוע? נמקו.

שאלה 4 · מלבן וקטע מאונך לאלכסון: מרובע בר חסימה ויחסי שטחיםשאלה מלאה · קלה

במלבן ABCDABCDABCD, הנקודה EEE נמצאת על הצלע ADADAD. הקטע CECECE מאונך לאלכסון BDBDBD וחותך אותו בנקודה FFF. נתון: AD=9AD=9AD=9, DE=3DE=3DE=3.
DABCEF

א.

הוכיחו שאפשר לחסום את המרובע EABFEABFEABF במעגל.

ב.

הוכיחו: ΔDEF∼ΔBCF\Delta DEF\sim\Delta BCFΔDEF∼ΔBCF, וחשבו את היחס EFFC\frac{EF}{FC}FCEF​.

ג.

נסמן את שטח המשולש DEF ב-SSS.

הביעו את שטחי המשולשים BFC ו-DFC באמצעות SSS.

ד.

נתון: AB=33AB=3\sqrt3AB=33​.

חשבו את אורך האלכסון BD ואת קוטר המעגל החוסם את המרובע EABF.

שאלה 5 · גבהים במשולש: שני מרובעים ברי-חסימהשאלה קצרה · בינונית

במשולש חד-זווית ABCABCABC הגבהים BEBEBE (EEE על ACACAC) ו-CFCFCF (FFF על ABABAB) נחתכים בנקודה HHH.
ABCEFH

א.

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע AFHEAFHEAFHE, ואיזה קטע הוא קוטר של המעגל החוסם אותו.

ב.

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע BCEFBCEFBCEF, ואיזה קטע הוא קוטר של המעגל החוסם אותו.

שאלה 6 · שני מעגלים נחתכים: חוצה זווית ופיתגורס עם פרמטרים, ובעיה הפוכה מיחס שטחיםשאלה מלאה · קשה

שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו-B. C היא נקודה על המעגל הימני. המשכי הקטעים CA ו-CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו-E בהתאמה. הנקודה F נמצאת על הקשת BC, כמתואר בסרטוט. המשכי הקטעים DE ו-CF נפגשים בנקודה G. נתון: CE מאונך ל-AB.
DEABCFG

א.

הוכיחו: ∠GDC=90∘\angle GDC=90^\circ∠GDC=90∘.

ב.

הוכיחו: המרובע GDAF הוא בר חסימה במעגל.

ג.

נתון: CE חוצה את הזווית GCD. נסמן: DE=aDE=aDE=a, CD=bCD=bCD=b.

הביעו באמצעות aaa ו-bbb את אורך הקטע EG, והסבירו מדוע בהכרח b>ab>ab>a.

ד.

נתון: שטח המשולש GEC גדול פי 2 משטח המשולש DEC. מצאו את גודל הזווית GCD.

שאלה 7 · משולש שווה-שוקיים: אנכים מאמצעי חצאי הבסיס, מלבן ודלתוןשאלה מלאה · קלה

בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים ABC, BA=BCBA=BCBA=BC, ו-BM הוא הגובה לבסיס AC. הנקודה L היא אמצע הקטע AM, והנקודה K היא אמצע הקטע MC. האנך לבסיס בנקודה K חותך את השוק BC בנקודה D, והאנך לבסיס בנקודה L חותך את השוק BA בנקודה E.
ABCMLKDE

א.

הוכיחו כי D היא אמצע השוק BC.

ב.

נתון: AC=32AC=32AC=32, BM=12BM=12BM=12.

חשבו את אורכי הקטעים DK ו-ED.

ג.

הקטעים DL ו-EK נפגשים בנקודה G.

הוכיחו כי המרובע EDKL הוא מלבן, וחשבו את אורך הקטע BG.

ד.

הוכיחו כי המרובע BDGE הוא דלתון, וקבעו אם הוא בר-חסימה במעגל.

שאלה 8 · שאלות קצרות: סכום ריבועי האי-זוגיים, מרובעים בני חסימה, אסימפטוטות של שורש ומשפחה רציונליתשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל nnn טבעי מתקיים: 12+32+52+…+(2n−1)2=n⋅(2n−1)⋅(2n+1)31^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2=\frac{n\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}{3}12+32+52+…+(2n−1)2=3n⋅(2n−1)⋅(2n+1)​

ב.

במשולש חד-זווית ABCABCABC, הגבהים BEBEBE ו-CFCFCF נפגשים בנקודה HHH (ראו סרטוט). נתון: BC=12BC=12BC=12, AH=8AH=8AH=8.
ABCEFH

(1)

הוכיחו שאפשר לחסום במעגל כל אחד מן המרובעים: AFHEAFHEAFHE, BCEFBCEFBCEF.

(2)

מהו סכום השטחים של המעגלים החוסמים את המרובעים: AFHEAFHEAFHE, BCEFBCEFBCEF?

ג.

נתונה הפונקציה: f(x)=2x+1x2−2x−8+1f(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2-2x-8}}+1f(x)=x2−2x−8​2x+1​+1.

(1)

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x)?

(2)

ידוע כי האסימפטוטות של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים, חותכות זו את זו. חשבו את השטח הכלוא בין האסימפטוטות. נמקו את התשובה.

ד.

נתונה הפונקציה: f(x)=a⋅(x−1)x2−9f(x)=\frac{a\cdot(x-1)}{x^2-9}f(x)=x2−9a⋅(x−1)​, המוגדרת עבור: x≠3x\neq3x=3 ו-x≠−3x\neq-3x=−3, a≠0a\neq0a=0 הוא פרמטר. אחד מן הגרפים א-ה שלפניכם מתאים לפונקציה f(x)f(x)f(x) בעבור a>0a>0a>0, ואחד מהם מתאים לפונקציה f(x)f(x)f(x) בעבור a<0a<0a<0.
גרף א
גרף ב
גרף ג
גרף ד
גרף ה

(1)

איזה מן הגרפים מתאים לפונקציה f(x)f(x)f(x) בעבור a>0a>0a>0? נמקו את התשובה בקצרה.

(2)

איזה מן הגרפים מתאים לפונקציה f(x)f(x)f(x) בעבור a<0a<0a<0? נמקו את התשובה בקצרה.

שאלה 9 · מעגל, משיק וחותך: תנאי קיום, השוואת צלעות ובעיות הפוכות בזווית $α$ שאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR, ו-ABABAB מיתר במעגל שאורכו RRR. EEE נקודה על המשך המיתר BABABA מעבר לנקודה AAA. מהנקודה EEE העבירו ישר המשיק למעגל בנקודה DDD, הנמצאת על הקשת הגדולה ABABAB, כך שהנקודות DDD ו-BBB נמצאות משני צדי הישר OAOAOA. CCC אמצע המיתר ABABAB. נסמן ∠AOD=2α\angle AOD=2\alpha∠AOD=2α.
2αOABCDE

א.

הביעו את אורך המשיק DEDEDE באמצעות RRR ו-α\alphaα, ומצאו לאילו ערכים של α\alphaα הבנייה המתוארת אפשרית.

ב.

מצאו את α\alphaα שבעבורו DE=ABDE=ABDE=AB.

ג.

לאילו ערכים של α\alphaα מתקיים DE>DADE>DADE>DA?

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורו מרכז המעגל החוסם את המרובע DOCEDOCEDOCE נמצא על המעגל הנתון.

שאלה 10 · שאלות קצרות בשלבים: אינדוקציה, משיקים, פונקציות שורש וגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1+2+22+…+2n−1=2n−11+2+2^2+\ldots+2^{n-1}=2^n-11+2+22+…+2n−1=2n−1

ב.

מנקודה P שמחוץ למעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR מעבירים שני משיקים למעגל. המשיקים נוגעים במעגל בנקודות A ו-B (ראו סרטוט).
POAB

(1)

הוכיחו כי המרובע OAPB הוא בר חסימה במעגל.

(2)

נתון: PA=2RPA=2RPA=2R. הביעו באמצעות RRR את רדיוס המעגל החוסם את המרובע OAPB.

ג.

נתונות הפונקציות: f(x)=x2(x+3)f(x)=\sqrt{x^2(x+3)}f(x)=x2(x+3)​, k(x)=xx+3k(x)=x\sqrt{x+3}k(x)=xx+3​.

(1)

הראו כי f(x)=∣x∣x+3f(x)=|x|\sqrt{x+3}f(x)=∣x∣x+3​, ומצאו לכל אחת מהפונקציות fff ו-kkk את תחום ההגדרה ואת התחומים שבהם היא חיובית ושבהם היא שלילית.

לפניכם שני גרפים I ו-II.
גרף I
גרף II

(2)

קבעו איזה מן הגרפים מתאר את f(x)f(x)f(x) ואיזה מתאר את k(x)k(x)k(x). נמקו.

ד.

לפניכם גרף של פונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת לכל x≠0x\neq0x=0. הישרים x=0x=0x=0 ו-y=0y=0y=0 הם אסימפטוטות של f(x)f(x)f(x), f(x)>0f(x)>0f(x)>0 בכל תחום הגדרתה, ו-f(x)f(x)f(x) קעורה כלפי מעלה בכל תחום הגדרתה.
f(x)

(1)

קבעו באילו תחומים f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 ובאילו f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0. נמקו.

(2)

האם f′(x)f'(x)f′(x) עולה או יורדת בכל אחד מהתחומים x<0x<0x<0 ו-x>0x>0x>0? נמקו.

(3)

קבעו איזה מן המספרים גדול יותר: ∫12f(x)dx\int_1^2f(x)dx∫12​f(x)dx או ∫23f(x)dx\int_2^3f(x)dx∫23​f(x)dx, וקבעו את הסימן של ∫12f′(x)dx\int_1^2f'(x)dx∫12​f′(x)dx. נמקו.

עוד 23 שאלות על המשפט ההפוך: מרובע שניתן לחסום במעגל

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מרובע בר חסימה במשולש ישר-זווית וקוטר המעגל (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ : $\angle ACB=90^\circ$ , $AC=6$ , $BC=8$ . הנקודה $D$ היא אמצע היתר $AB$ . האנך ליתר בנקודה $D$ חותך את הניצב $BC$ בנקודה $E$ .
נקודה נעה על בסיס משולש שווה-שוקיים: סכום קבוע, שטח מינימלי ומספר המעגלים ברדיוס נתון (שאלה מלאה · קשה)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) אורך הבסיס הוא $BC=12$ . נסמן $\angle ABC=\alpha$ . הנקודה $E$ נעה על הבסיס $BC$ (שונה מ- $B$ ומ- $C$ ), ונסמן…
שני מעגלים נחתכים: מרובע חסום וחוצה זווית, בשלבים (שאלה מלאה · קלה)
שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו-B. C היא נקודה על המעגל הימני. המשכי הקטעים CA ו-CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו-E בהתאמה. הנקודה F…
משולש שווה-שוקיים: מקבילים לשוקיים, דלתון ומרובע בר-חסימה (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים ABC, $BA=BC$ . הנקודות L ו-K נמצאות על הבסיס AC. דרך הנקודה K העבירו ישר המקביל לשוק BA, והוא חותך את…
דלתון עם $∠ BC D = 3 α$ : יחס רדיוסים, דלתון חסום וטווח היחס (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle BAD=2\alpha$ , $\angle BCD=3\alpha$ , $0^\circ<\alpha<60^\circ$ . נסמן: $AB=k$ ,…
מעגל, משיק וחותך: זוויות במשולש שמחוץ למעגל, משפט הסינוסים ומרובע בר-חסימה (מספרים) (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 5. מנקודה $E$ שמחוץ למעגל העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $A$ בין $E$ ל- $B$ ). $C$ אמצע המיתר $AB$ ,…
מתי דלתון בר-חסימה במעגל (שאלה קצרה · בינונית)
נתון דלתון ABCD שבו $AB=AD=6$ , $CB=CD=8$ , ואורך האלכסון AC הוא 10.
ריבוע מסתובב סביב מרכז ריבוע: שטח קבוע, רדיוס מינימלי ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
אורך צלע הריבוע $ABCD$ הוא $a$ , ואלכסוניו נפגשים בנקודה $O$ . הנקודה $O$ היא קודקוד של ריבוע $OEFG$ שיכול להסתובב סביב $O$ . הצלע $OG$ חותכת…
מעגל: קוטר נתון, אנך אמצעי, מרובע בר חסימה וחישוב אורכים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם $AF$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל, והנקודה $K$ נמצאת על המשך המיתר $AB$ כך ש- $AB=BK$ . הקטע $KF$ חותך…
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac{2A}3+\frac{2A}{3^2}+\ldots+\frac{2A}{3^n}=A\left(1-\frac1{3^n}\right)$
משולש ישר זווית, תיכון ליתר וקטע אמצעים: חישובים מודרכים (שאלה מלאה · קלה)
משולש $ABC$ הוא ישר זווית: $\sphericalangle C=90^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $AB$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $AD=DB$ . הנקודה…
משיק, מיתרים מקבילים ודמיון: יחסי שטחים וזווית של 30 מעלות (שאלה מלאה · בינונית)
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך…
מעגל דרך קודקוד המשיק לצלע שמולו: מיתרים שווים, חוצה זווית, דמיון ומרובע בר-חסימה (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון $\angle ACB=70^\circ$ . הנקודות $H$ , $G$ ו- $F$ נמצאות על הצלעות $CB$ , $AC$ ו- $AB$ בהתאמה, כך שהמרובע $GCHF$ חסום במעגל (ראו…
מרובע בר-חסימה משתי זוויות ישרות: גבהים במשולש (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש חד-זווית $ABC$ הקטעים $BD$ ו- $CE$ הם גבהים ( $D$ על $AC$ , $E$ על $AB$ ), כמתואר בסרטוט.
שני מעגלים נחתכים: מרובע חסום, מיתרים שווים, חוצה זווית ופיתגורס (שאלה מלאה · בינונית)
שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו-B. C היא נקודה על המעגל הימני. המשכי הקטעים CA ו-CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו-E בהתאמה. הנקודה F…
מעגל, משיק וחותך: מיתר באורך $R 2$ , משפט הסינוסים ומעגל חוסם למרובע (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ …
מרובע עם שתי זוויות ישרות נגדיות: משיק, חותך ואמצע מיתר (שאלה קצרה · בינונית)
מנקודה $P$ שמחוץ למעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 4 העבירו משיק $PT$ ( $T$ נקודת ההשקה) וישר החותך את המעגל בנקודות $K$ ו- $L$ ( $K$ בין $P$ ל- $L$ ).…
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז בר-חסימה, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ופונקציה רציונלית (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot3+3\cdot5+5\cdot7+\ldots+(2n-1)(2n+1)=\frac{n(4n^2+6n-1)}{3}$ .
מעגל: קוטר מאונך למשיק, אנך אמצעי, מרובע בר חסימה ודמיון (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. הישר $ST$ משיק למעגל בנקודה $A$ ומקביל לצלע $BC$ . המיתר $AF$ מאונך ל- $BC$ . הנקודה $P$ נמצאת על הקשת…
מרובע בר חסימה משתי זוויות ישרות וזוויות היקפיות שוות (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה. הנקודה $D$ נמצאת על הניצב $AC$ , ו- $E$ היא עקב האנך מ- $D$ ליתר $AB$ .
משולש שווה-צלעות ומעוין עם קודקוד במרכז: חפיפה, יחס שטחים ומרובע בר-חסימה (שאלה מלאה · בינונית)
הנקודה $O$ היא מרכז המשולש שווה-הצלעות $ABC$ (נקודת המפגש של חוצי הזוויות, שהם גם התיכונים והאנכים האמצעיים). הנקודה $O$ היא קודקוד של…
גבהים במשולש ומרובע בר-חסימה (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש חד-זווית $ABC$ הגבהים $BD$ ו- $CE$ נפגשים בנקודה $H$ ( $D$ על $AC$ , $E$ על $AB$ ), כמתואר בסרטוט.
משולש ישר זווית, תיכון ליתר וקטע אמצעים: מרכז המעגל החוסם ומרובע חוסם (שאלה מלאה · בינונית)
משולש $ABC$ הוא ישר זווית: $\sphericalangle C=90^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $AB$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $AD=DB$ . נסמן:…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני משיקים למעגל: מרובעים ברי-חסימה, קוטרי מעגלים חוסמים ומשוואה עם זווית כפולה · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 5
$DB$ ו- $DC$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ , כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: $R$ . המשך $BD$ חותך את המשך $OC$ בנקודה $A$ . הקטע $OD$ והמיתר $BC$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $CE$ …
שאלות קצרות: אינדוקציה, גבהים במשולש, אסימפטוטות של פונקציית שורש והתאמת גרף · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל $n$ טבעי מתקיים: $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}$
שאלות קצרות: סדרה חשבונית במרובע, סכום ריבועים, פישוט טריגונומטרי ו- $\frac{1}{g ( x )}$ מגרף · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם: $a_1, a_2, a_3, a_4$ . הוכיחו כי אם מתקיים: $\angle A=a_1$ , $\angle B=a_2$ ,…
משולש שווה-שוקיים: אנכים לבסיס, דלתון ומרובע בר-חסימה · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 4
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים ABC, $BA=BC$ . מנקודה D הנמצאת על השוק BC הורידו אנך לבסיס, והוא חותך אותו בנקודה K. מנקודה E הנמצאת על השוק BA הורידו אנך…
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרלים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac A2+\frac A{2^2}+\ldots+\frac A{2^n}=A\left(1-\frac1{2^n}\right)$
משיק, מיתרים מקבילים ודמיון: יחסי שטחים ונקודות על מעגל · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 4
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך שהמיתר CD מקביל למיתר…
מעגל דרך קודקוד הזווית הישרה המשיק ליתר: מיתרים שווים, חוצה זווית, דמיון ומרובע בר-חסימה · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
המשולש $ABC$ הוא משולש ישר זווית, $\angle ACB=90^\circ$ . הנקודות $H$ , $G$ ו- $F$ נמצאות על הצלעות $CB$ , $AC$ ו- $AB$ בהתאמה, כך שהמרובע $GCHF$ חסום במעגל (ראו…
שני מעגלים נחתכים: מרובעים חסומים, חוצה זווית ופיתגורס · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 4
שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו-B. C היא נקודה על המעגל הימני. המשכי הקטעים CA ו-CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו-E בהתאמה. הנקודה F נמצאת על הקשת BC, כמתואר…
מעגל, משיק וחותך מנקודה חיצונית: זוויות מרובע בר-חסימה, משפט הסינוסים ויחס שטחי מעגלים · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על הקשת הגדולה…
מעגל: קוטר מתיכון השווה למחצית הצלע, אנך אמצעי, מרובע בר חסימה ודמיון · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 4
בסרטוט שלפניכם משולש קהה זווית $ABC$ החסום במעגל. הנקודה $K$ נמצאת על המשך הצלע $AB$ כך ש- $AB=BK$ . המשך הקטע $KC$ חותך את המעגל בנקודה נוספת, בנקודה $F$ . נתון:…
שני ריבועים עם קודקוד משותף במרכז: חפיפה, יחס שטחים ומרובע בר-חסימה · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
אלכסוני הריבוע $ABCD$ נפגשים בנקודה $O$ . הנקודה $O$ היא קודקוד הריבוע $OEFG$ ששתיים מצלעותיו חותכות את צלעות הריבוע $ABCD$ בנקודות $H$ ו- $K$ כמתואר בסרטוט.
משולש ישר זווית, תיכון ליתר וקטע אמצעים: מרובע בר חסימה ומרובע חוסם · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
משולש $ABC$ הוא ישר זווית: $\sphericalangle C=90^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $AB$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $AD=DB$ . נסמן: $DB=4x$ . נתון גם:…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

משולש ישר זווית במערכת צירים: דמיון, שיעורי נקודות וזוויות (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ) הקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ והקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ .…
משולש ישר זווית ואנך לציר ה-y: דמיון, שיעורי נקודות וזוויות (שאלה מלאה · קלה)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ) הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ והקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ .…