שאלות פתוחות: משולש חסום במעגל (המעגל החוסם) - כיתה י"א 5 יח"ל

הראו כי $AO=\frac{R}{\cos\alpha}$, והביעו באמצעות $R$ ו-$\alpha$ את אורך הקטע AD.

נתון: $\alpha=60^\circ$.

הראו כי $AB=R\sqrt{5-4\cos\beta}$.

נתון גם: $AB=\sqrt2R$.

מצאו את גודל הזווית $\beta$.

משולש ADO חסום במעגל שרדיוסו $r$.

הביעו את $r$ באמצעות $R$.

נתון: $AB=\sqrt2\cdot AD$.

הוכיחו כי: $\cos\beta=\frac{3\sin^2\alpha-1}{2\sin\alpha}$.

משולש ADO חסום במעגל אחר, שרדיוסו $r$. נתון: $\frac{R}{r}=\frac43$.

מצאו את גודלי הזוויות $\alpha$ ו-$\beta$.

הביעו את $\cos\beta$ באמצעות $\alpha$.

מצאו את כל הערכים של $\alpha$ שבעבורם יש על המעגל נקודה B כזו.

קבעו, לפי $\alpha$, מתי הישר AB משיק למעגל, מתי B היא נקודת החיתוך של הישר עם המעגל הקרובה יותר ל-A, ומתי היא הרחוקה יותר.

משולש ADO חסום במעגל שרדיוסו $r$. נתון: $\frac{R}{r}=\frac65$.

מצאו את $\alpha$ ואת $\beta$, וקבעו אם B היא נקודת החיתוך הקרובה יותר ל-A או הרחוקה יותר.

הביעו באמצעות $k$ ו-$\alpha$ את אורכי הקטעים $ME$, $BM$, $DE$ ו-$DC$.

הראו כי סכום שטחי המשולשים $BEM$ ו-$CED$ הוא $\frac54k^2\sin2\alpha$.

נתון כי סכום שטחי המשולשים $BEM$ ו-$CED$ הוא $1.1k^2$.

מצאו את הערך של $\alpha$.

נתון: $k=3$.

הסבירו מדוע $AE$ הוא קוטר במעגל החוסם את המשולש $AED$, ומצאו את רדיוס המעגל. היעזרו בגובה $AH$ לבסיס $BC$.

הביעו את $r$ באמצעות $p$ ו-$\theta$.

נתון: $\frac{p}{r}=\frac{10}{13}$. מצאו את $\theta$, והביעו את אורך הקטע QS באמצעות $p$.

הוכיחו כי הסכום $ME+DE$ אינו תלוי ב-$x$, והביעו אותו באמצעות $\alpha$.

נתון כי לכל מיקום של $E$ על הבסיס, הנקודות $D$ ו-$M$ נמצאות על השוקיים $AC$ ו-$AB$ (ולא על המשכיהן), וכי הסכום הקטן ביותר האפשרי של שטחי המשולשים $BEM$ ו-$CED$ הוא 14.4.

מצאו את $\alpha$.

מצאו את כל הערכים של $R$ שבעבורם יש בדיוק שני מיקומים של $E$ על הבסיס שבהם רדיוס המעגל העובר דרך הנקודות $A$, $M$, $E$ ו-$D$ שווה ל-$R$.

בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac{2A}3+\frac{2A}{3^2}+\ldots+\frac{2A}{3^n}=A\left(1-\frac1{3^n}\right)$

הנקודה B היא אמצע הקטע OC. AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$. מן הנקודה C מעבירים ישר המשיק למעגל בנקודה D. בנקודה B מעבירים משיק נוסף למעגל. שני המשיקים נחתכים בנקודה E (ראו סרטוט).

לפניכם שלוש פונקציות והגרפים א-ד. כל אחת מן הפונקציות מתוארת על ידי אחד מן הגרפים.

$f(x)=\sqrt{x^2(4-x^2)}$, $h(x)=\sqrt{x(4-x^2)}$, $k(x)=x\sqrt{4-x^2}$

לפניכם גרף של הפונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל $x\neq0$. הישרים $y=1$ ו-$x=0$ הם אסימפטוטות של הפונקציה $f(x)$. הפונקציה $f(x)$ קעורה כלפי מטה עבור $x<0$ וקעורה כלפי מעלה עבור $x>0$.

הביעו באמצעות $k$ ו-$\alpha$ את אורכי הקטעים $ME$ ו-$DE$.

נתון כי סכום שטחי המשולשים $CED$ ו-$BEM$ הוא $1.2k^2$.

מצאו את הערך של $\alpha$.

נתון כי אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש $AED$ הוא 10.

מצאו את הערך של $k$.

הסבירו מדוע הנקודות $B$, $C$, $D$ ו-$E$ נמצאות על מעגל אחד, ומצאו את רדיוס המעגל.

מצאו את אורך הקטע $DE$.