שאלות פתוחות: קטע אמצעים בטרפז - כיתה י"א 5 יח"ל

נתונות הסדרות $a_n=n$ ו-$b_n=2^n$ ($n$ טבעי). נסמן: $T_n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n$.

בטרפז $ABCD$ $(AB\parallel CD)$ נתון: $AB=5$, $DC=15$. הקטע $EF$ הוא קטע אמצעים ($E$ על $AD$, $F$ על $BC$), והוא חותך את האלכסונים $AC$ ו-$BD$ בנקודות $H$ ו-$G$ בהתאמה.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2+1$ בתחום $0\le x\le3$. לפניכם הגרפים I-III, המייצגים את $f(x)$, את $f'(x)$ ואת $f''(x)$, לא בהכרח בסדר זה.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3x^2+1}{2x^2-2}$.

נתונות שתי סדרות המוגדרות לכל $n$ טבעי: $a_n=4n$, $b_n=3^n$. נסמן: $T_n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n$.

בטרפז $ABCD$ $(AB\parallel CD)$ הקטע $EF$ הוא קטע אמצעים. הקטע $EF$ חותך את האלכסונים $AC$ ו-$BD$ של הטרפז בנקודות $H$ ו-$G$ בהתאמה. נתון כי המרובע $ABFG$ הוא מקבילית.

לפניכם הגרפים I-III, המייצגים את הפונקציה $f(x)$, את פונקציית הנגזרת הראשונה $f'(x)$, ואת פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$. הפונקציות מוגדרות עבור: $0\le x\le2.5$.

לפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)$. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת עבור: $x\ne-2$, $x\ne2$. משוואות האסימפטוטות של הפונקציה $f(x)$ הן: $x=2$, $x=-2$, $y=k$, $0<k<1$. שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$y$ הם: $(0,a)$, $a$ הוא מספר חיובי.

הוכיחו כי הנקודה $P$ נמצאת על קטע האמצעים $EF$, וחשבו את אורך הקטע $PF$.

חשבו את אורכי הבסיסים $AB$ ו-$DC$.

חשבו את אורכי הקטעים $DE$ ו-$FG$.

הוכיחו כי המרובע $DFGE$ הוא טרפז, וחשבו את אורך קטע האמצעים שלו.

חשבו את היקף הטרפז $DFGE$.

חשבו את האורכים $EF$, $EG$, $HF$ ו-$GH$.

הוכיחו כי המרובע $ABHG$ הוא מקבילית.

המשך הישר $AG$ חותך את הקטע $DH$ בנקודה $M$.

היעזרו במשולש $DBH$, והוכיחו כי $M$ היא אמצע הקטע $DH$.

נתון: $AB=7$ ס"מ, $DC=15$ ס"מ. חשבו את אורך הקטע $EF$.

נתון: $\angle ADC=70^\circ$. מצאו את גודל הזווית $\angle AEF$, ונמקו.

הוכיחו: $GF=2HF$.

חשבו את אורכי הבסיסים $AB$ ו-$DC$.

הראו כי $DC-AB=6$ ס"מ.

נתון גם: $AD=8$ ס"מ, $BC=10$ ס"מ. חשבו את אורכי הבסיסים $AB$ ו-$DC$ ואת אורך קטע האמצעים $EF$.

נתון גם: $AD\perp DC$. חשבו את שטחי הטרפזים $ABFE$ ו-$EFCD$.