שאלות פתוחות: טרפז וטרפז שווה-שוקיים - כיתה י"א 5 יח"ל

הטרפז $ABCD$ ($AB\parallel CD$) חסום במעגל, ו-$\sphericalangle DAB=70^\circ$. מצאו את שאר זוויות הטרפז, והסבירו מדוע הטרפז שווה שוקיים.

הוכיחו באינדוקציה שהביטוי $5^n-1$ מתחלק ב-4 לכל $n$ טבעי.

לפניכם טרפז $ABCD$, $(AB\parallel CD)$.

נתון: שטח המשולש $BDC$ הוא 45 ושטח המשולש $ABC$ הוא 18.

בעבור כל אחת מן הטענות (1)-(2) שלפניכם, קבעו אם היא נכונה לכל $x$. נמקו.

לפניכם הגרף של פונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא: $y=2$ (ראו סרטוט), ו-2 נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום $(1,6)$ ונקודת מינימום $(-3,-2)$.

נגדיר את הפונקציה: $g(x)=3-f(x)$. גם הפונקציה $g(x)$ מוגדרת לכל $x$.

מצאו את הזוויות $\angle BCE$ ו-$\angle CKE$.

הביעו באמצעות $a$ ו-$b$ את אורך הקטע BE.

נתון: $BE=EA$ (הנקודה E היא אמצע הקטע AB).

מצאו את היחס $\frac ba$. מצאו את כל האפשרויות.

בעבור כל אחת מן האפשרויות שמצאתם בסעיף ג, מצאו את גודל הזווית $\angle ABC$.

הסבירו מדוע $\angle BCE=\angle CDE$.

הוכיחו: $\Delta CEB\sim\Delta DCE$.

הסבירו מדוע המרובע CDAE הוא טרפז שווה-שוקיים, והראו כי $KE=KA$.

נתון: $ED=10$, $AK=4$. נסמן את שטח המשולש CEK ב-$S$.

הביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש CKD ואת שטח המשולש DCE.

נתון: $BC=\frac{20}3$.

מצאו את יחס הדמיון בין המשולש CEB למשולש DCE, והביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש CEB.

נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם: $a_1, a_2, a_3, a_4$. הוכיחו כי אם מתקיים: $\angle A=a_1$, $\angle B=a_2$, $\angle C=a_3$, $\angle D=a_4$, אז המרובע ABCD הוא טרפז.

נתון מגדל קוביות ובו 5 קומות (ראו ציור). הקומה התחתונה בנויה מ-30 קוביות המסודרות בצורת מלבן של $5\times6$ קוביות. הקומה שמעליה בנויה מ-20 קוביות המסודרות בצורת מלבן של $4\times5$ קוביות. וכך הלאה עד לקומה העליונה, שבה יש 2 קוביות ($1\times2$).

תוכלו להיעזר בנוסחה (לכל $n$ טבעי): $1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

נתונה הפונקציה: $f(x)=\left[\sin(x+\pi)+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^2+4(\cos(-x))^2-3$ המוגדרת לכל $x$. האם לפונקציה $f(x)$ יש נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$? נמקו את תשובתכם.

הגרף שלפניכם מתאר את הפונקציה $h(x)$ שתחום ההגדרה שלה הוא: $x\neq2$, $x\neq5$. הישרים: $x=2$, $x=5$, $y=0$ הם אסימפטוטות של הפונקציה $h(x)$. הנקודה $D(0,-1)$ היא נקודת המינימום היחידה של הפונקציה $h(x)$, הנקודה $F(3.5,-0.5)$ היא נקודת המקסימום היחידה של הפונקציה $h(x)$, והנקודה $E(1,0)$ היא נקודת החיתוך היחידה של גרף הפונקציה $h(x)$ עם ציר ה-$x$.

מצאו את תחום הערכים האפשריים של $\alpha$. נמקו.

הביעו באמצעות $\alpha$ את היחס $\frac{AB}{DC}$.

נתון: $AB:DC=1:5$. מצאו את $\alpha$.

הביעו את שטח הטרפז באמצעות $r$. מה ניתן לומר על השטח כאשר $\alpha$ משתנה?

נתונה הטענה: לכל $n$ טבעי $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

ABCD טרפז שווה שוקיים $(AB\parallel CD)$, שאלכסוניו נפגשים בנקודה O.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$.

לפניכם שלושה גרפים I-III: אחד מהם מתאר את $f(x)$, אחד את $f'(x)$ ואחד את $f''(x)$. על כל גרף כתובים שיעורי נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-$y$.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}$.

חשבו את: $\frac{BD}{DC}$.

הקטעים DL ו-EK נפגשים בנקודה G.

הוכיחו כי המרובע BDGE הוא דלתון.

נתון: $AC=24$. היקף המרובע EDKL הוא 34.

חשבו את אורך הקטע BG.

האם קיימת נקודה F שנמצאת על הישר BG שעבורה המרובע BDFE הוא בר-חסימה במעגל? נמקו את תשובתכם.

הביעו באמצעות $t$ את היחס $\frac{BC}{AC}$.

נתון ששטח המרובע $ABDE$ גדול פי 11 משטח המשולש $DEC$. מצאו את $t$.

מצאו את הערך של $t$ שעבורו $CA=CB$. איזה מרובע הוא $ABDE$ במקרה זה? נמקו.

הסבירו מדוע $\sphericalangle OFC=90^\circ$, ומצאו את גודל הזווית $FOD$.

מצאו את גודל הזווית $ODF$.

הסבירו מדוע $\sphericalangle AED=90^\circ$, ומצאו את האורך של $DE$.

מצאו את גודל הזווית $FDC$.

חשבו את האורך של $DC$.