שאלות פתוחות: מקבילית: תכונות ומשפטי זיהוי - כיתה י"א 5 יח"ל

נתונות הסדרות $a_n=n$ ו-$b_n=2^n$ ($n$ טבעי). נסמן: $T_n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n$.

בטרפז $ABCD$ $(AB\parallel CD)$ נתון: $AB=5$, $DC=15$. הקטע $EF$ הוא קטע אמצעים ($E$ על $AD$, $F$ על $BC$), והוא חותך את האלכסונים $AC$ ו-$BD$ בנקודות $H$ ו-$G$ בהתאמה.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2+1$ בתחום $0\le x\le3$. לפניכם הגרפים I-III, המייצגים את $f(x)$, את $f'(x)$ ואת $f''(x)$, לא בהכרח בסדר זה.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3x^2+1}{2x^2-2}$.

נתון: $BC=8$, $BD=4.5$.

מצאו פי כמה גדול שטח משולש $ABC$ משטח משולש $DBA$. נמקו.

הוכיחו כי המשולש $ADE$ שווה צלעות.

הוכיחו כי $BD=AD+DC$.

נתון: $AB=7$, $AD=3$. מצאו את $DC$ ואת שטח המקבילית $LEDC$.

מה צריך להיות המיקום של $D$ על הקשת $AC$ כדי שהמקבילית $LEDC$ תהיה מעוין? מה אורך $BD$ במקרה זה, כאשר $AB=7$?

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD ($BC\parallel AD$) וטרפז BCDE ($CD\parallel BE$). הנקודה M היא נקודת החיתוך של הצלעות AD ו-BE. נתון: $EM=BM$, $ED\perp AD$, $AB\perp BM$. נסמן: $\angle EMD=\alpha$.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^2(x-2)$ ו-$g(x)=x^3(x-2)$. לפניכם שני גרפים, I ו-II, אחד של כל פונקציה.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$, ומצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-$x$. פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$, ומקיימת $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac32+\frac54+\frac78+\ldots+\frac{2n+1}{2^n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD ($BC\parallel AD$) וטרפז BCDE ($CD\parallel BE$). הנקודה M היא נקודת החיתוך של הצלעות AD ו-BE. נתון: $ED=AB$, $ED\perp AD$, $AB\perp BM$. אורך הקטע AM גדול פי 3 מאורך הקטע DM. נסמן: $\angle EMD=\alpha$.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^n(x-1)^2$ ו-$g(x)=x^n(x+1)^2$, המוגדרות לכל $x$. $n$ הוא פרמטר טבעי גדול מ-1. כל אחד מן הגרפים I-IV לפניכם מייצג אחת מן הפונקציות בעבור $n$ זוגי או $n$ אי-זוגי.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. בסרטוט מצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$. פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$, ומקיימת $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$.

הוכיחו: $S_{\triangle BEF}=S$.

הביעו באמצעות $S$ ו-$t$ את שטח המקבילית $ABCD$ ואת שטח המשולש $FAB$.

מצאו את כל ערכי $t$ שעבורם שטח המרובע $BCDF$ הוא $6S$.

מצאו את השטח הקטן ביותר האפשרי של המרובע $BCDF$ (באמצעות $S$), ואת $t$ שעבורו הוא מתקבל.

בסדרה מתקיים: $a_{n+1}=a_n+2n+1$.

בדקו נכונות / אי נכונות הטענה הבאה. אם היא נכונה - הוכיחו אותה, אם לא - הציגו דוגמה נגדית.

אם זוויות $\alpha$ ו-$\beta$ של משולש מקיימות $\sin\alpha=\sin\beta$, אז המשולש שווה-שוקיים.

במשחק מחשב מופיעה בכל שלב דמות במקום אקראי על גבי משטח שצורתו מקבילית $ABCD$. אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה $O$, כמתואר בסרטוט.

מהי ההסתברות שהדמות מופיעה בתוך המשולש $AOB$?

לפניכם שלוש פונקציות:

לאיזו מהן יש אסימפטוטה אופקית $y=2$? נמקו את בחירתכם ופסלו את האחרות.

הוכיחו כי המרובע $LEDC$ הוא מקבילית.

אילו מן התוצאות שלהלן ניתן להסיק בוודאות מהנתונים:

מה ניתן יהיה לומר על הנקודה $E$, אם $BD$ חוצה את הזווית $ABC$? נמקו.

מצאו את הזוויות $\sphericalangle ADB$ ו-$\sphericalangle CDB$, ונמקו.

הראו כי $\sphericalangle ALC=60^\circ$, והסיקו כי $AL\parallel CD$.

הוכיחו כי המרובע $LEDC$ הוא מקבילית.

הוכיחו כי המשולש $ADE$ שווה צלעות.

נתון: $AD=2$, $DC=5$. מצאו את אורכי הצלעות $LC$ ו-$LE$ ואת היקף המקבילית $LEDC$.

הוכיחו: $S_{\triangle AED}=S_{\triangle AEB}$.

ידוע: $\frac{AE}{AC}=\frac25$. נסמן: $S_{AEB}=S$.