שאלות פתוחות: קטע אמצעים במשולש - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו כי D היא אמצע השוק BC.

נתון: $AC=32$, $BM=12$.

חשבו את אורכי הקטעים DK ו-ED.

הקטעים DL ו-EK נפגשים בנקודה G.

הוכיחו כי המרובע EDKL הוא מלבן, וחשבו את אורך הקטע BG.

הוכיחו כי המרובע BDGE הוא דלתון, וקבעו אם הוא בר-חסימה במעגל.

נתונות שתי סדרות המוגדרות לכל $n$ טבעי: $a_n=4n$, $b_n=3^n$. נסמן: $T_n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n$.

בטרפז $ABCD$ $(AB\parallel CD)$ הקטע $EF$ הוא קטע אמצעים. הקטע $EF$ חותך את האלכסונים $AC$ ו-$BD$ של הטרפז בנקודות $H$ ו-$G$ בהתאמה. נתון כי המרובע $ABFG$ הוא מקבילית.

לפניכם הגרפים I-III, המייצגים את הפונקציה $f(x)$, את פונקציית הנגזרת הראשונה $f'(x)$, ואת פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$. הפונקציות מוגדרות עבור: $0\le x\le2.5$.

לפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)$. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת עבור: $x\ne-2$, $x\ne2$. משוואות האסימפטוטות של הפונקציה $f(x)$ הן: $x=2$, $x=-2$, $y=k$, $0<k<1$. שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$y$ הם: $(0,a)$, $a$ הוא מספר חיובי.

הביעו באמצעות $m$ ו-$p$ את שטח המשולש $ABO$.

מצאו באמצעות $m$ את הערך של $p$ שבעבורו היחס בין שטח המשולש $OED$ ובין שטח המשולש $ABO$ הוא מקסימלי, ואת הערך המקסימלי של היחס.

היכן נמצאת הנקודה $D$ על הקטע $AB$ כאשר היחס מקסימלי? נמקו.

נתון: $m=2$, והנקודה $D$ נמצאת על הישר $x=3$ או מימין לו (כלומר $p\ge3$).

מצאו את הערך המקסימלי של היחס בתנאי זה, ואת $p$ שבו הוא מתקבל.

הסבירו מדוע $CM=\frac{AD}{2}$, ומצאו את אורך $CM$.

הסבירו מדוע $ME\parallel DB$ ו-$ME=\frac{DB}{2}$, והסיקו כי $ME=CM$.

חשבו את $AC$ ואת הזוויות $\sphericalangle ADC$ ו-$\sphericalangle ABC$.

הראו כי $DE\perp AB$, והסיקו כי המרובע $ACDE$ בר חסימה במעגל.

חשבו את אורך הקטע $DE$.

הוכיחו כי $\triangle ACE\sim\triangle OKE$.

המשך הקטע KO חותך את המיתר CB בנקודה P. נתון כי $PO=4.5$, וכי רדיוס המעגל הוא 6.

מצאו את היחס בין שטח המשולש ACE ובין שטח המרובע ACOK.

הביעו באמצעות $k$ את היחס $\frac{AE}{EO}$.

הביעו באמצעות $k$ את היחס בין שטח המשולש ACE לשטח המשולש AOK.

מצאו את $k$ שבעבורו שטח המשולש ACE שווה לשטח המשולש AOK, ומצאו בעבור $k$ זה את $\angle ABC$.

האם ייתכן ששטח המשולש ACE גדול פי 1.5 משטח המשולש AOK? נמקו.

הוכיחו כי OP הוא קטע אמצעים במשולש ABC.

נתון: רדיוס המעגל 6.5, $CB=12$. מצאו את אורך הקטע OP.

הוכיחו כי $ME=CM$ וכי המרובע $ACDE$ בר חסימה במעגל.

הביעו את היחס $\frac{CD}{DB}$ בעזרת $\beta$.

מצאו את $\beta$ שעבורה ניתן לחסום מעגל במרובע $CMED$.

עבור $\beta$ שמצאתם, הוכיחו כי $CMED$ מעוין. נתון $AC=6$; מצאו את רדיוס המעגל החסום במרובע $CMED$.

בסדרה מתקיים: $a_{n+1}=a_n+6n^2+6n+1$.

בדקו נכונות / אי נכונות הטענה הבאה. אם הטענה נכונה - הוכיחו אותה, אם לא - הציגו דוגמה נגדית.

אם זוויות $\alpha$ ו-$\beta$ של משולש מקיימות את השוויון $\cos2\alpha=\cos2\beta$, אז המשולש הוא שווה-שוקיים.

במשחק מחשב מופיעה בכל שלב דמות במקום אקראי על גבי משטח משולש $ABC$. הנקודה $D$ היא אמצע הצלע $AB$ והנקודה $E$ היא אמצע הצלע $AC$, כמתואר בסרטוט.

מהי ההסתברות שהדמות מופיעה בתוך הטרפז $DBCE$?

לפניכם שלוש פונקציות:

לאיזו מהן התכונה הבאה:

לפונקציה יש שתי נקודות אי-הגדרה ושתי אסימפטוטות אנכיות, ואין לה אסימפטוטה אופקית.

נמקו את בחירתכם על ידי הסבר להתאמה ועל ידי פסילת האחרות.

הוכיחו: $ME=CM$.

חשבו את הגודל של הזוויות $ABC$ ו-$ADC$.

בדקו נכונות/אי נכונות הטענות הבאות. נמקו.

שטח המשולש $ACB$ הוא $64$ סמ"ר. חשבו את אורך הצלע $DB$ ואת שטח המשולש $ADE$.