שאלות פתוחות: משוואות בעזרת זהויות סכום והפרש - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על משוואות טריגונומטריות בעזרת זהויות סכום והפרש לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות פותרים משוואות כמו sin(x+π/6)=2sin(x-π/6), בודקים לאילו ערכי m יש פתרון למשוואה sin x+√3 cos x=m, מוצאים את ערכי a שבהם a sin x+cos x=2 פתירה, ומטפלים במשוואה עם פרמטר sin 3x+sin x=k sin 2x. יש גם בעיה גאומטרית במלבן. רוב השאלות בינוניות וקשות. מתאים לתלמידים חזקים ולמבחן מסכם; בוחרים שאלות ומקבלים פתרון מלא וייצוא ל-Word.

15 שאלותקלה: 2בינונית: 6קשה: 7

שאלה 1 · משוואות בעזרת זהויות סכום והפרששאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה cos⁡(x−π6)−cos⁡(x+π6)=sin⁡(2x)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin(2x)cos(x−6π​)−cos(x+6π​)=sin(2x).

מצאו את כל פתרונות המשוואה בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

שאלה 2 · סכום והפרש של סינוסיםשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה sin⁡3x+sin⁡x=ksin⁡2x\sin 3x+\sin x=k\sin 2xsin3x+sinx=ksin2x, כאשר kkk פרמטר, בתחום 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}0<x<2π​.

א.

פתרו את המשוואה עבור k=1k=1k=1.

ב.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם יש למשוואה פתרון בתחום הנתון.

שאלה 3 · משוואות בעזרת זהויות סכום והפרששאלה קצרה · קשה

נתונה המשוואה asin⁡x+cos⁡x=2a\sin x+\cos x=2asinx+cosx=2, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם יש למשוואה פתרון אחד בדיוק בתחום 0≤x<2π0\le x<2\pi0≤x<2π.

שאלה 4 · משוואות בעזרת זהויות סכום והפרששאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה sin⁡(x+π6)=2sin⁡(x−π6)\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)sin(x+6π​)=2sin(x−6π​).

מצאו את הפתרון הכללי של המשוואה.

שאלה 5 · משוואות בעזרת זהויות סכום והפרששאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה sin⁡x+3cos⁡x=m\sin x+\sqrt3\cos x=msinx+3​cosx=m, כאשר mmm פרמטר.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם יש למשוואה בדיוק שני פתרונות בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.

שאלה 6 · מרכזי המעגלים החסומים במלבן: שטח כפונקציה של הזווית, בעיה הפוכה ומקסימוםשאלה מלאה · קשה

במלבן ABCDABCDABCD אורך האלכסון BDBDBD הוא ddd, ו-∢ABD=α\sphericalangle ABD=\alpha∢ABD=α (0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘).
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABDABDABD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BDCBDCBDC.
ABCDOM

א.

הביעו את BOBOBO ואת BMBMBM באמצעות ddd ו-α\alphaα, בצורה הפשוטה ביותר.

ב.

הביעו את שטח המשולש OBMOBMOBM באמצעות ddd ו-α\alphaα.

ג.

נתון: BD=20BD=20BD=20, ושטח המשולש OBMOBMOBM הוא 50(3−1)50\left(\sqrt3-1\right)50(3​−1).

מצאו את α\alphaα.

ד.

עבור BD=20BD=20BD=20, מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש OBMOBMOBM? באיזה מלבן הוא מתקבל?

שאלה 7 · משוואות בעזרת זהויות סכום והפרששאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה cos⁡x−sin⁡x=1\cos x-\sin x=1cosx−sinx=1.

מצאו את כל פתרונות המשוואה בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

שאלה 8 · משולש שווה-שוקיים חסום במעגל וזווית של 45°: יחס שטחים מינימלי ושני משולשיםשאלה מלאה · קשה

משולש שווה-שוקיים ABCABCABC, AB=ACAB=ACAB=AC, חסום במעגל שרדיוסו RRR, ו-∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha∠BAC=2α. על המשך הבסיס BCBCBC, מעבר לנקודה CCC, נמצאת נקודה DDD כך ש-∠CAD=45∘\angle CAD=45^\circ∠CAD=45∘.
2α45°ABCD

א.

מצאו את תחום הערכים האפשריים של α\alphaα, והביעו את שטח המשולש ACDACDACD באמצעות RRR ו-α\alphaα.

ב.

נסמן ב-mmm את היחס בין שטח המשולש ACDACDACD לבין שטח המשולש ABCABCABC.

מצאו את הערך הקטן ביותר האפשרי של mmm, ואת α\alphaα שבעבורו הוא מתקבל.

ג.

מצאו את כל ערכי mmm שבעבורם יש בדיוק שני משולשים ABCABCABC שונים (חסומים במעגל הנתון) המתאימים להם.

ד.

נתון כי m=3m=3m=3. מצאו את זוויות הבסיס של המשולש ABCABCABC בכל אחד מהמקרים האפשריים.

שאלה 9 · משוואות בעזרת זהויות סכום והפרששאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC נתון: AB=8AB=8AB=8, ∢ACB=π6\sphericalangle ACB=\frac\pi6∢ACB=6π​. נסמן: ∢BAC=x\sphericalangle BAC=x∢BAC=x (0<x<5π60<x<\frac{5\pi}{6}0<x<65π​).

א.

הביעו באמצעות xxx את אורכי הצלעות BCBCBC ו-ACACAC.

ב.

מצאו את xxx שבעבורו AC=3⋅BCAC=\sqrt3\cdot BCAC=3​⋅BC.

שאלה 10 · מעגל, משיק וחותך: תנאי קיום, השוואת צלעות ובעיות הפוכות בזווית $α$ שאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR, ו-ABABAB מיתר במעגל שאורכו RRR. EEE נקודה על המשך המיתר BABABA מעבר לנקודה AAA. מהנקודה EEE העבירו ישר המשיק למעגל בנקודה DDD, הנמצאת על הקשת הגדולה ABABAB, כך שהנקודות DDD ו-BBB נמצאות משני צדי הישר OAOAOA. CCC אמצע המיתר ABABAB. נסמן ∠AOD=2α\angle AOD=2\alpha∠AOD=2α.
2αOABCDE

א.

הביעו את אורך המשיק DEDEDE באמצעות RRR ו-α\alphaα, ומצאו לאילו ערכים של α\alphaα הבנייה המתוארת אפשרית.

ב.

מצאו את α\alphaα שבעבורו DE=ABDE=ABDE=AB.

ג.

לאילו ערכים של α\alphaα מתקיים DE>DADE>DADE>DA?

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורו מרכז המעגל החוסם את המרובע DOCEDOCEDOCE נמצא על המעגל הנתון.

עוד 4 שאלות על משוואות בעזרת זהויות סכום והפרש

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

רדיוס המעגל החסום בטרפז ומשוואה sin3α = cos α (שאלת ביניים · בינונית)
$ABCD$ הוא טרפז שווה-שוקיים ( $AB\parallel DC$ , $AD=BC$ ), שבו אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך השוק: $AB=BC=AD=k$ . האלכסון $AC$ מסורטט. נסמן:…
טרפז שווה-שוקיים עם שלוש צלעות שוות: תנאי קיום ומעגל חסום כפונקציה של הזווית (שאלה מלאה · קשה)
$ABCD$ הוא טרפז שווה-שוקיים ( $AB\parallel DC$ , $AD=BC$ ), שבו אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך השוק: $AB=BC=AD=k$ . האלכסון $AC$ מסורטט. נסמן:…
אורך משיק השווה למיתר: מכפלה לסכום ו-sin t + cos t (שאלה קצרה · קשה)
נתון מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ , ו- $AB$ מיתר במעגל שאורכו $R$ . $E$ נקודה על המשך המיתר $BA$ מעבר לנקודה $A$ . מהנקודה $E$ העבירו ישר המשיק…
מרכזי מעגלים חסומים במלבן: שטח ומשוואה sin α + cos α (שאלת ביניים · קשה)
במלבן $ABCD$ אורך האלכסון $BD$ הוא $d$ , ו- $\sphericalangle ABD=\alpha$ ( $0^\circ<\alpha<90^\circ$ ). הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולש עם צלע נתונה וזווית מולה: היקף מקסימלי ומשולש שווה שוקיים · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 8
במשולש $ABC$ אורך הצלע $BC$ הוא $a$ . נתון: $\sphericalangle BAC=\alpha$ ( $\alpha$ ברדיאנים). נסמן: $\sphericalangle ABC=x$ ( $0<x<\pi-\alpha$ ).