שאלות פתוחות: משוואות ריבועיות בפונקציה טריגונומטרית - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות פתוחות על משוואות ריבועיות בפונקציה טריגונומטרית לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות פותרים משוואות כמו 2sin²2x-sin 2x-1=0 ו-cos 2x+3sin x-2=0 בעזרת הצבה, בודקים לפי ערכי פרמטר כמה פתרונות יש למשוואה כמו cos²x-sin x+a=0, ומשתמשים בגרף של cos x כדי לספור פתרונות. רמות הקושי: קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. אפשר להרכיב מכאן דף עבודה או בוחן במשוואות טריגונומטריות, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

33 שאלותקלה: 5בינונית: 23קשה: 5

שאלה 1 · משוואות ריבועיות בפונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה 2sin⁡22x−sin⁡2x−1=02\sin^2 2x-\sin 2x-1=02sin22x−sin2x−1=0.

פתרו את המשוואה בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

שאלה 2 · משוואות ריבועיות בפונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה y=cos⁡xy=\cos xy=cosx בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π. נתונה המשוואה cos⁡2x−(a+1)cos⁡x+a=0\cos 2x-(a+1)\cos x+a=0cos2x−(a+1)cosx+a=0 בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π, כאשר aaa הוא פרמטר.
y=cos(x)
123456-11

א.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם יש למשוואה בדיוק 333 פתרונות שונים בתחום הנתון.

ב.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם יש למשוואה בדיוק 444 פתרונות שונים בתחום הנתון.

שאלה 3 · משפחה טריגונומטרית עם פרמטר: חסמים, מספר אפסים וקיצון של $f (2 x)$ שאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=cos⁡(2x)+acos⁡(x)+1f(x)=\cos(2x)+a\cos(x)+1f(x)=cos(2x)+acos(x)+1, המוגדרת לכל xxx, כאשר aaa פרמטר, 0<a<40<a<40<a<4.

א.

הראו כי f(x)f(x)f(x) זוגית, ומצאו באמצעות aaa את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x).

ב.

קבעו, לפי ערכי aaa, כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx יש לגרף f(x)f(x)f(x) בתחום −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π.

ג.

נתון כי הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) הוא −98-\frac98−89​. מצאו את aaa.

ד.

עבור הערך של aaa שמצאתם, נתונה הפונקציה g(x)=f(2x)g(x)=f(2x)g(x)=f(2x).

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) בתחום −π2≤x≤π2-\frac\pi2\le x\le\frac\pi2−2π​≤x≤2π​, וקבעו את סוגן.

שאלה 4 · משוואות ריבועיות בפונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה cos⁡2x+3sin⁡x−2=0\cos 2x+3\sin x-2=0cos2x+3sinx−2=0.

פתרו את המשוואה בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.

שאלה 5 · משוואות ריבועיות בפונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה cos⁡2x−sin⁡x+a=0\cos^2x-\sin x+a=0cos2x−sinx+a=0, כאשר aaa פרמטר.

א.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם יש למשוואה פתרון.

ב.

הציבו a=−1a=-1a=−1, ופתרו את המשוואה בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

שאלה 6 · משפחת פונקציות $\frac{s i n x}{k + s i n ^{2} x}$ : קיצון לפי הפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xk+sin⁡2xf(x)=\frac{\sin x}{k+\sin^2x}f(x)=k+sin2xsinx​ בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π, כאשר kkk הוא פרמטר חיובי.

א.

מצאו, לכל ערך של kkk, את כל ערכי xxx בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π שבהם f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0.

ב.

בסעיף ב הציבו k=14k=\frac14k=41​.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π, וקבעו את סוגן.

ג.

נתון כי הערך הגדול ביותר של f(x)f(x)f(x) בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π הוא 14\frac1441​.

מצאו את kkk.

ד.

הציבו את kkk שמצאתם, ומצאו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π, לכל ערך של mmm.

שאלה 7 · מכפלה של ביטויים ב- $cos x$ בלי פרמטר: זוגיות, קיצון וסקיצהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(cos⁡x−2)(cos⁡x+3)f(x)=(\cos x-2)(\cos x+3)f(x)=(cosx−2)(cosx+3), המוגדרת בתחום −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π.

א.

האם הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא זוגית או אי-זוגית? נמקו את תשובתכם.

ב.

הראו שלגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) אין נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx.

ג.

הראו כי f′(x)=−sin⁡x (2cos⁡x+1)f'(x)=-\sin x\,(2\cos x+1)f′(x)=−sinx(2cosx+1), ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) בתחום (כולל קצות התחום) וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה h(x)=f(x)+∣f(x)∣h(x)=f(x)+|f(x)|h(x)=f(x)+∣f(x)∣ בתחום −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π. מצאו את h(x)h(x)h(x), ותארו את הגרף שלה.

שאלה 8 · משוואות ריבועיות בפונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה sin⁡2x1+cos⁡x=k\frac{\sin^2x}{1+\cos x}=k1+cosxsin2x​=k בתחום 0≤x<2π0\le x<2\pi0≤x<2π, כאשר kkk פרמטר.

מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה בתחום הנתון, בהתאם לערכי kkk.

שאלה 9 · דלתון עם $∠ BC D = 3 α$ : יחס רדיוסים, דלתון חסום וטווח היחסשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD (AB=AD, CB=CD)(AB=AD,\ CB=CD)(AB=AD, CB=CD).
נתון: ∠BAD=2α\angle BAD=2\alpha∠BAD=2α, ∠BCD=3α\angle BCD=3\alpha∠BCD=3α, 0∘<α<60∘0^\circ<\alpha<60^\circ0∘<α<60∘.
נסמן: AB=kAB=kAB=k, ונסמן ב-R1R_1R1​ וב-R2R_2R2​ את הרדיוסים של המעגלים החוסמים את המשולשים ABD ו-CDB, בהתאמה.
ABCD

א.

הביעו את R1R_1R1​ ואת R2R_2R2​ באמצעות kkk ו-α\alphaα.

ב.

הביעו את היחס R1R2\frac{R_1}{R_2}R2​R1​​ באמצעות cos⁡α\cos\alphacosα בלבד.

ג.

מצאו את גודל הזווית BAD שבעבורה R1=R2R_1=R_2R1​=R2​, והראו שבמקרה זה אפשר לחסום את הדלתון במעגל.

ד.

מצאו את כל הערכים של ttt שבעבורם קיים דלתון כמתואר שבו R1=t⋅R2R_1=t\cdot R_2R1​=t⋅R2​.

שאלה 10 · פונקציות טריגונומטריות: הזזה, נקודות חיתוך ושטח בין גרפיםשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=2cos⁡xf(x)=2\cos xf(x)=2cosx ו-g(x)=f(x−π2)g(x)=f\left(x-\frac\pi2\right)g(x)=f(x−2π​).

א.

הראו כי g(x)=2sin⁡xg(x)=2\sin xg(x)=2sinx, וקבעו עבור כל אחת מהפונקציות fff ו-ggg אם היא זוגית, אי-זוגית או אחרת.

ב.

בסרטוט הגרפים של g(x)g(x)g(x) ושל h(x)=asin⁡2xh(x)=a\sin^2xh(x)=asin2x בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π. הגרפים נחתכים בנקודה D(π6,1)D\left(\frac\pi6,1\right)D(6π​,1).
g(x)h(x)
D

מצאו את aaa.

ג.

מצאו את כל נקודות החיתוך של שני הגרפים בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.

ד.

חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים בתחום π6≤x≤5π6\frac\pi6\le x\le\frac{5\pi}66π​≤x≤65π​ (השטח המסומן).

עוד 17 שאלות על משוואות ריבועיות בפונקציה טריגונומטרית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

קוטר, משיק וחותך: מרובעים ברי-חסימה וקוטרי מעגלים חוסמים (שאלה מלאה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ , כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ והמשך המיתר $AC$ נחתכים בנקודה $D$ . המשיק למעגל…
משוואה רציונלית ב-cos x: אפסי |f(x) − 2/7| (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\cos x}{1+(\sin x)^2}$ , המוגדרת בתחום $0\le x\le2\pi$ .
משוואות ריבועיות בפונקציה טריגונומטרית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $g(x)=2\cos^2x-3\cos x+1$ .
מרובע חסום במעגל: מיתרים נתונים, משוואה ריבועית ב- $cos α$ ויחס גבהים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: $\angle DAB=\alpha$ , $\alpha$ היא זווית חדה.
שלושה מעגלים חוסמים ומשוואה ריבועית ב-sin α (שאלת ביניים · קשה)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ , כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ והמשך המיתר $AC$ נחתכים בנקודה $D$ . המשיק למעגל…
משוואות ריבועיות בפונקציה טריגונומטרית (שאלה קצרה · בינונית)
מרובע KLMN חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נסמן: $\angle LKN=\alpha$ , $\alpha$ היא זווית קהה. נתון: $LM=R$ , $MN=R\sqrt3$ .
הפונקציה $sin x (1 + cos x)$ עם נקודות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin2x\,(1+\cos x)}{2\cos x}$ , בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר: אפסים, שיפוע מערך של $cos x$ , קיצון בתחום סגור, גרף הנגזרת ואינטגרל $f^{2} f^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(b+\cos^2x)\sin x$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
פונקציה טריגונומטרית רציונלית: גרף הנגזרת, קיצון בתחום סגור והפונקציה $f (x) - \frac{2}{7}$ (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם נתונים שני גרפים I-II, בתחום $0\le x\le2\pi$ . אחד מן הגרפים מתאר את הפונקציה $f(x)$ , ואחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת שלה…
משוואות ריבועיות בפונקציה טריגונומטרית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3\sin x}{2+\sin^2x}$ בתחום $0\le x\le2\pi$ .
מכפלה עם $(1 + cos x)^{2}$ ופרמטר: זוגיות, קיצון בנקודה נתונה ו- $f + ∣ f ∣$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(1+\cos x)^2\cdot(b\cos x-1)$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ . $b$ הוא פרמטר. נתון: $0<b<1$ .
משוואות ריבועיות בפונקציה טריגונומטרית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(2-\sin x)(2\sin x+1)$ , המוגדרת בתחום $0\le x\le2\pi$ .
פונקציה טריגונומטרית זוגית: חקירה בתחום, ו- $\frac{1}{f ( x ) + b}$ עם שתי אסימפטוטות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=2(\sin x)^2+\cos x-1$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ .
משוואות ריבועיות בפונקציה טריגונומטרית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos2x+3\sin x-2$ , המוגדרת בתחום $0\le x\le2\pi$ .
פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2x-\sin x$ , $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .
אפסי פונקציה: מעבר מ-sin²x ל-cos x ומשוואה ריבועית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=2(\sin x)^2+\cos x-1$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ .
דלתון ושני מעגלים חוסמים: sin3α ומשוואה ריבועית ב-cos α (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle BAD=2\alpha$ , $\angle BCD=3\alpha$ , $0^\circ<\alpha<60^\circ$ . נסמן: $AB=k$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מרובע חסום במעגל: משפט הסינוסים, משוואה ריבועית ב- $cos α$ ויחס גבהים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 5
מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: $\angle DAB=\alpha$ , $\alpha$ היא זווית חדה.
פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר: אפסים, שיפוע מערך של $cos x$ , קיצון בתחום סגור, גרף הנגזרת ואינטגרל $f^{2} f^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(b+\cos x)\sin x$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
פונקציה טריגונומטרית רציונלית: גרף הנגזרת, קיצון בתחום סגור והפונקציה $∣ f (x) - 0.4∣$ · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 7
בסרטוט שלפניכם נתונים שני גרפים I-II, בתחום $0\le x\le2\pi$ . אחד מן הגרפים מתאר את הפונקציה $f(x)$ , ואחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ . הפונקציות…
מכפלה של ביטויים ב- $cos x$ עם פרמטר: זוגיות, קיצון בנקודה נתונה ו- $f + ∣ f ∣$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=(1+\cos x)\cdot(-1+b\cos x)$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ . $b$ הוא פרמטר. נתון: $0<b<1$ .
פונקציה טריגונומטרית זוגית: חקירה בתחום, ו- $\frac{1}{f ( x ) + b}$ עם שתי אסימפטוטות · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=(\sin x)^2+\cos x-1$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ .
פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
נתונות הפונקציות: $f(x)=\sin^2x-\sin x$ , $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .