שאלות פתוחות: הפונקציה y=logₐx: תחום, חיתוך עם ציר ה-x, אסימפטוטה ועלייה או ירידה - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על הפונקציה y=logₐx - תחום, חיתוך עם ציר ה-x, אסימפטוטה ועלייה או ירידה - לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מוצאים את הבסיס מתוך נקודה שהגרף עובר בה או מתוך ערך נתון של הפונקציה, קובעים לאילו ערכי פרמטר הפונקציה עולה, משווים בין לוגריתם בבסיס 2 ללוגריתם בבסיס רבע, ומחשבים שיעורים של נקודות שבהן ישרים אופקיים חותכים את הגרף. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר לצרף אותן למבחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

8 שאלותקלה: 4בינונית: 2קשה: 2

שאלה 1 · הפונקציה y=logₐx: תחום, חיתוך עם ציר ה-x, אסימפטוטה ועלייה או ירידהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡a−2xf(x)=\log_{a-2}xf(x)=loga−2​x, כאשר aaa פרמטר.

א.

מצאו את ערכי aaa שעבורם הפונקציה מוגדרת.

ב.

מצאו את ערכי aaa שעבורם הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה, ואת ערכי aaa שעבורם היא יורדת בכל תחום הגדרתה.

שאלה 2 · הפונקציה y=logₐx: תחום, חיתוך עם ציר ה-x, אסימפטוטה ועלייה או ירידהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡axf(x)=\log_axf(x)=loga​x, כאשר a>0a>0a>0, a≠1a\ne1a=1. הנקודה AAA נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה-xxx שלה הוא 161616. הנקודה BBB היא נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx, והנקודה CCC היא (16,0)(16,0)(16,0). ידוע כי הנקודה AAA נמצאת מתחת לציר ה-xxx, וכי שטח המשולש ABCABCABC הוא 303030.
f
ABC

מצאו את ערך aaa.

שאלה 3 · הפונקציה y=logₐx: תחום, חיתוך עם ציר ה-x, אסימפטוטה ועלייה או ירידהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡axf(x)=\log_a xf(x)=loga​x, כאשר a>0a>0a>0 ו-a≠1a\ne1a=1.

מצאו את ערכי aaa שעבורם מתקיים 0<f(x)<10<f(x)<10<f(x)<1 לכל xxx בתחום 1<x<91<x<91<x<9.

שאלה 4 · הפונקציה y=logₐx: תחום, חיתוך עם ציר ה-x, אסימפטוטה ועלייה או ירידהשאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=log⁡2xf(x)=\log_2 xf(x)=log2​x ו-g(x)=log⁡14xg(x)=\log_{\frac14}xg(x)=log41​​x.

א.

הראו כי g(x)=−12f(x)g(x)=-\frac12 f(x)g(x)=−21​f(x) לכל x>0x>0x>0.

ב.

מצאו את ערכי xxx שעבורם f(x)⋅g(x)<0f(x)\cdot g(x)<0f(x)⋅g(x)<0.

שאלה 5 · בסיס מנקודה על הגרף, תכונות הגרף וחיתוך עם ישר אופקישאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡axf(x)=\log_a xf(x)=loga​x, כאשר a>0a>0a>0, a≠1a\ne1a=1. גרף הפונקציה עובר דרך הנקודה P(8,32)P\left(8,\frac32\right)P(8,23​).

א.

מצאו את aaa.

ב.

רשמו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת משוואת האסימפטוטה של גרפה, מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx, וקבעו אם הפונקציה עולה או יורדת.

ג.

הישר y=ky=ky=k חותך את גרף הפונקציה בנקודה ששיעור ה-xxx שלה גדול מ-116\frac1{16}161​ וקטן מ-222. מצאו את כל הערכים האפשריים של kkk.

שאלה 6 · בסיס הלוגריתם מיחס בין נקודות על הגרף, ושטח משולששאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡axf(x)=\log_a xf(x)=loga​x, כאשר a>0a>0a>0, a≠1a\ne1a=1. הישר y=2y=2y=2 חותך את גרף הפונקציה בנקודה AAA, והישר y=−1y=-1y=−1 חותך את גרף הפונקציה בנקודה BBB. נתון כי שיעור ה-xxx של הנקודה BBB גדול פי 888 משיעור ה-xxx של הנקודה AAA.

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי ה-xxx של הנקודות AAA ו-BBB, ומצאו את aaa.

ב.

קבעו אם הפונקציה עולה או יורדת, ומצאו את ערכי xxx שעבורם גרף הפונקציה נמצא בין הישרים y=−1y=-1y=−1 ו-y=2y=2y=2.

ג.

הנקודה CCC היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx. מצאו את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 7 · הפונקציה y=logₐx: תחום, חיתוך עם ציר ה-x, אסימפטוטה ועלייה או ירידהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡axf(x)=\log_a xf(x)=loga​x, כאשר a>0a>0a>0 ו-a≠1a\ne1a=1. נתון כי f(9)=−2f(9)=-2f(9)=−2.

א.

מצאו את aaa.

ב.

קבעו אם הפונקציה עולה או יורדת, ומצאו את התחום שבו f(x)>0f(x)>0f(x)>0.

שאלה 8 · מונוטוניות וסימן של פונקציה לוגריתמית עם בסיס קטן מ-1שאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡axf(x)=\log_a xf(x)=loga​x, שבה הבסיס הוא a=13a=\frac13a=31​.

קבעו אם הפונקציה עולה או יורדת, ומצאו את התחום שבו f(x)>0f(x)>0f(x)>0.