שאלות פתוחות: הגדרת סדרה בעזרת איבר כללי - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על הגדרת סדרה בעזרת איבר כללי לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות בודקים אילו איברים בסדרה שלמים, שליליים או הגדולים ביותר בסדרות כמו מינוס n בריבוע ועוד 8n פחות 7, מוצאים פרמטרים כששני איברים שווים או כשמספר האיברים השליליים ידוע, ומטפלים בסדרות שהאיבר הכללי שלהן הוא שבר. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר לשלב מהן בבוחן פתיחה על סדרות, ולקבל דף עם פתרונות מלאים להורדה בוורד.

20 שאלותקלה: 7בינונית: 8קשה: 5

שאלה 1 · הגדרת סדרה בעזרת איבר כללישאלה קצרה · קלה

נתונה הסדרה an=2n+15n+1a_n=\frac{2n+15}{n+1}an​=n+12n+15​.

א.

הראו כי an=2+13n+1a_n=2+\frac{13}{n+1}an​=2+n+113​.

ב.

מצאו את כל האיברים בסדרה שהם מספרים שלמים, ואת מקומם בסדרה.

שאלה 2 · הגדרת סדרה בעזרת איבר כללישאלה קצרה · בינונית

נתונה סדרה שהאיבר הכללי שלה הוא an=−2n2+bn+ca_n=-2n^2+bn+can​=−2n2+bn+c, כאשר bbb ו-ccc הם פרמטרים. נתון: a3=a8a_3=a_8a3​=a8​, והאיבר הגדול ביותר בסדרה שווה ל-151515.

א.

מצאו את bbb.

ב.

מצאו את ccc.

שאלה 3 · הגדרת סדרה בעזרת איבר כללישאלה קצרה · קשה

נתונה סדרה שהאיבר הכללי שלה הוא an=n2−13n+362n−5a_n=\frac{n^2-13n+36}{2n-5}an​=2n−5n2−13n+36​.

כמה איברים שליליים יש בסדרה?

שאלה 4 · הגדרת סדרה בעזרת איבר כללישאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה שהאיבר הכללי שלה הוא an=−n2+8n−7a_n=-n^2+8n-7an​=−n2+8n−7.

א.

כמה איברים בסדרה הם חיוביים?

ב.

מצאו את האיבר הגדול ביותר בסדרה ואת מקומו.

שאלה 5 · הגדרת סדרה בעזרת איבר כללישאלה קצרה · בינונית

נתונה הסדרה an=n2−kna_n=n^2-knan​=n2−kn, כאשר kkk הוא פרמטר.

א.

עבור k=8k=8k=8, מצאו את האיבר הקטן ביותר בסדרה.

ב.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם a4a_4a4​ הוא האיבר הקטן ביותר בסדרה, והוא מתקבל רק במקום 444.

שאלה 6 · הגדרת סדרה בעזרת איבר כללישאלה קצרה · קשה

נתונה הסדרה an=n2−10n+ca_n=n^2-10n+can​=n2−10n+c, כאשר ccc הוא פרמטר. נתון כי בסדרה יש בדיוק שלושה איברים שליליים.

מצאו את כל הערכים האפשריים של ccc.

שאלה 7 · הגדרת סדרה בעזרת איבר כללישאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה שהאיבר הכללי שלה הוא an=2n2−13n+15a_n=2n^2-13n+15an​=2n2−13n+15.

מצאו את האיבר הקטן ביותר בסדרה ואת מקומו.

שאלה 8 · סדרות חשבוניות: איברים במקומות זוגיים וסדרת סכומיםשאלה מלאה · בינונית

נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dotsa1​,a2​,a3​,… ובה 21 איברים. נתון: a9=7a_9=7a9​=7, הפרש הסדרה הוא −4-4−4.

א.

מצאו את a1a_1a1​.

ב.

מצאו את סכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה.

ג.

נתונה סדרה חשבונית B שאיבריה הם: b1,b2,b3,…b_1,b_2,b_3,\dotsb1​,b2​,b3​,… וגם בה 21 איברים. האיבר הראשון בסדרה הוא 5. נסמן את הפרש הסדרה B ב-ddd. מכל איברי הסדרות A ו-B בונים סדרה חשבונית חדשה שאיבריה הם: a1+b1, a2+b2, a3+b3,…a_1+b_1,\ a_2+b_2,\ a_3+b_3,\dotsa1​+b1​, a2​+b2​, a3​+b3​,…

(1)

מצאו את האיבר הראשון של הסדרה החדשה.

(2)

הביעו באמצעות ddd את הפרש הסדרה החדשה.

(3)

נתון כי סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא 1,554. מצאו את ddd.

שאלה 9 · סדרות חשבוניות: מסכום תת-סדרה לאיבר הראשון, ומספר האיברים השלילייםשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dotsa1​,a2​,a3​,… ובה 25 איברים. הפרש הסדרה הוא 6, וסכום האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה הוא 260.

א.

מצאו את a1a_1a1​.

ב.

מצאו את סכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה.

ג.

נתונה סדרה חשבונית B שאיבריה הם: b1,b2,b3,…b_1,b_2,b_3,\dotsb1​,b2​,b3​,… וגם בה 25 איברים. האיבר הראשון בסדרה הוא 2. נסמן את הפרש הסדרה B ב-ddd. מכל איברי הסדרות A ו-B בונים סדרה חשבונית חדשה שאיבריה הם: c1=a1+b1, c2=a2+b2, …c_1=a_1+b_1,\ c_2=a_2+b_2,\ \dotsc1​=a1​+b1​, c2​=a2​+b2​, …

(1)

הביעו באמצעות ddd ו-nnn את האיבר הכללי cnc_ncn​ של הסדרה החדשה.

(2)

מצאו את כל הערכים של ddd שעבורם בסדרה החדשה יש בדיוק 10 איברים שליליים.

שאלה 10 · הגדרת סדרה בעזרת איבר כללישאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה שהאיבר הכללי שלה הוא an=2n2−16n+30a_n=2n^2-16n+30an​=2n2−16n+30.

א.

באילו מקומות בסדרה נמצא איבר שערכו 666?

ב.

האם 333 הוא איבר בסדרה? נמקו.

עוד 7 שאלות על הגדרת סדרה בעזרת איבר כללי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: יחס בין איברים וסכומים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית A שמנתה היא $q$ , ובה 12 איברים. האיבר השביעי בסדרה הוא פי 16 מן האיבר השלישי בסדרה.
סדרה הנדסית מתחלפת וסדרה חשבונית שמספר איבריה לא ידוע (שאלה מלאה · קשה)
נתונה סדרה הנדסית A ובה 8 איברים. האיבר החמישי בסדרה הוא פי 16 מן האיבר הראשון.
סדרות חשבוניות: תת-סדרה וסדרת סכומים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 15 איברים. האיבר הראשון בסדרה הוא $-10$ , והפרש הסדרה הוא 4.
האיבר הגדול ביותר בסדרה $- n^{2} + 8 n - 7$ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n=-n^2+8n-7$ .
השוואה בין שתי סדרות הנתונות באיבר כללי (שאלת ביניים · קשה)
נתונות שתי סדרות: $a_n=n^2-10n+30$ ו- $b_n=2n+3$ , כאשר $n$ מספר טבעי.
סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: מנה, סכום והפרש (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית A שכל איבריה חיוביים, ובה 8 איברים. האיבר הרביעי בסדרה הוא פי 8 מן האיבר הראשון.
פרמטר מתנאי $a_{2} = a_{5}$ , איבר נתון ומניית איברים (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הסדרה $a_n=2n^2-kn+6$ , כאשר $k$ הוא פרמטר. נתון כי $a_2=a_5$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

סדרות חשבוניות: איברים במקומות אי-זוגיים וסדרת סכומים · בגרות 472 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 25 איברים. נתון: $a_{13}=20$ , הפרש הסדרה הוא 6.
סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: יחס בין איברים וסכומים · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 1
נתונה סדרה הנדסית A שמנת שלה היא $q$ , ובה 10 איברים. האיבר השישי בסדרה הוא פי 81 מן האיבר השני בסדרה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כלל נסיגה של סדרה הנדסית וחוקי חזקות (שאלה קצרה · קלה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית שבה $a_1=4$ ו- $q=\frac12$ . נגדיר $b_n=\frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי.