מבחן לדוגמה: מישורים במרחב - כיתה י"ב 5 יח"ל

הראו כי המכפלה הסקלרית של וקטור הכיוון של $\ell$ בווקטור הנורמל של $\pi$ היא $-m^2+4m-10$, והסבירו מדוע לכל ערך של $m$ הישר $\ell$ אינו מקביל למישור $\pi$.

נתון כי הישר $\ell$ ניצב למישור $\pi$ וחותך אותו בנקודה $A$.

כאשר ישר ניצב למישור, וקטור הכיוון שלו מקביל לנורמל. פתרו את המשוואה $\frac{m}{2}=\frac{4-m}{m}$, ובדקו עבור כל פתרון אם $\ell$ ניצב ל-$\pi$. מהו $m$?

מצאו את שיעורי הנקודה $A$.

בדקו אם הנקודה $Q(9,-14,7)$ נמצאת על הישר $\ell$, וקבעו כמה מישורים מכילים את הישר $\ell$ ועוברים דרך $Q$. נמקו.

מצאו את משוואת המישור ABCD.

חשבו את ערך הפרמטר $p$.

הוכיחו כי המרובע ABCD הוא ריבוע.

הביעו את הווקטורים $\overrightarrow{DB'}$ ו-$\overrightarrow{FE}$ באמצעות: $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ ו-$t$, אם יש צורך.

נתון כי $FE$ מקביל למישור הבסיס $ABCD$.

מצאו את $t$.

הנקודה $C$ היא ראשית הצירים. הנקודה $D$ נמצאת על ציר ה-$x$ בכיוון החיובי שלו, והנקודה $B$ נמצאת על ציר ה-$y$ בכיוון החיובי שלו. נתון: $F(12,6,3)$.

מצאו את $|\underline u|$, $|\underline v|$, $|\underline w|$.

מן הנקודה $F$ העבירו ישר המאונך למישור $EFDB$. ישר זה חותך את הפאה $CDD'C'$ בנקודה $P$.

מצאו את שיעורי הנקודה $P$.

מצאו הצגה פרמטרית של ההיטל של $\ell$ על $\pi$.

מצאו את ערך $a$ שעבורו המישורים $\pi_1$ ו-$\pi_2$ אינם נחתכים בישר.

עבור ערך $a$ שמצאתם, מצאו את ערך $b$ שעבורו המישורים מתלכדים, וקבעו מהו המצב ההדדי בין המישורים עבור ערכים אחרים של $b$.

הוכיחו כי המרובע ABCD הוא ריבוע.

מצאו את משוואת המישור ABCD.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD. המקצוע SC מונח על הישר: $\underline x=(0,1,4)+t(1,0,1)$. נתון כי נפח הפירמידה הוא 12.

חשבו את גובה הפירמידה.

מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

מצאו את הזווית בין המקצוע SC ובין בסיס הפירמידה.

מצאו את נקודת החיתוך $P$ של הישר $\ell$ עם המישור $\pi$.

מן הנקודה $A$ מורידים אנך למישור $\pi$. האנך חותך את המישור בנקודה $H$. מצאו את שיעורי $H$ ואת אורך הקטע $AH$.

מצאו הצגה פרמטרית של הישר $PH$, הסבירו מדוע הזווית $APH$ היא הזווית בין הישר $\ell$ למישור $\pi$, וחשבו אותה במשולש $APH$. בדקו את התוצאה בנוסחה של הזווית בין ישר למישור.

נתון: $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $D(0,3,0)$, $S(0,0,h)$, $h>0$.

הביעו באמצעות $h$ את משוואת המישור ACK.

הזווית בין המישור ACK לבין מישור הבסיס ABCD היא $45^\circ$. מצאו את $h$.

האם קיים ערך של $h$ שבעבורו המישור ACK מאונך למישור SBD? נמקו.