שאלות פתוחות: זווית בין שני מישורים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על זווית בין שני מישורים לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות חישוב זווית בין מישורים לפי הנורמלים, מישורים שתלויים בפרמטר, מישור שחותך את שלושת הצירים ויוצר זווית נתונה עם מישור xy, וזוויות בין פאות ואלכסונים בקובייה. רוב השאלות ברמה בינונית, לצד שאלות קלות וקשות. המורה יכול להרכיב מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

22 שאלותקלה: 4בינונית: 14קשה: 4

שאלה 1 · שני מישורים: אנך, ישר חיתוך ושטח משולש (בלי פרמטר)שאלה מלאה · קלה

נתונים שני מישורים: π1:z−2=0\pi_1: z-2=0π1​:z−2=0, π2:y+z−6=0\pi_2: y+z-6=0π2​:y+z−6=0.

א.

מצאו את הזווית בין המישורים.

ב.

מן הנקודה A(1,−1,7)A(1,-1,7)A(1,−1,7) הורידו אנך למישור π1\pi_1π1​. האנך חותך את π1\pi_1π1​ בנקודה BBB.

הראו כי AAA נמצאת על π2\pi_2π2​, מצאו את שיעורי BBB וחשבו את אורך הקטע ABABAB.

ג.

ℓ\ellℓ הוא ישר החיתוך של המישורים π1\pi_1π1​ ו-π2\pi_2π2​.

מצאו הצגה פרמטרית של ℓ\ellℓ.

ד.

מן הנקודה BBB העבירו אנך לישר ℓ\ellℓ. האנך חותך את ℓ\ellℓ בנקודה CCC.

מצאו את שיעורי CCC, הראו כי המשולש ABCABCABC ישר-זווית ב-BBB, וחשבו את שטחו.

שאלה 2 · זווית בין שני מישוריםשאלה קצרה · בינונית

בקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ (ראו ציור) נתונים A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0), B(2,0,0)B(2,0,0)B(2,0,0), D(0,2,0)D(0,2,0)D(0,2,0) ו-A′(0,0,2)A'(0,0,2)A′(0,0,2).
ABCDA'B'C'D'

א.

מצאו את משוואות המישורים A′BDA'BDA′BD ו-C′BDC'BDC′BD.

ב.

מצאו את הזווית בין המישורים A′BDA'BDA′BD ו-C′BDC'BDC′BD.

שאלה 3 · זווית בין שני מישוריםשאלה קצרה · קשה

נתונים המישורים π1: ax+y+z=1\pi_1:\ ax+y+z=1π1​: ax+y+z=1 ו-π2: x+ay+z=2\pi_2:\ x+ay+z=2π2​: x+ay+z=2, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם הזווית בין המישורים היא 60∘60^\circ60∘.

שאלה 4 · שני מישורים עם פרמטר: ישר החיתוך, זווית ונקודות חיתוךשאלה מלאה · קלה

נתונים שני מישורים: π1:(k+3)x+y+(k+2)z−2=0\pi_1: (k+3)x+y+(k+2)z-2=0π1​:(k+3)x+y+(k+2)z−2=0, π2:(k+1)x+y+z+6=0\pi_2: (k+1)x+y+z+6=0π2​:(k+1)x+y+z+6=0. kkk הוא פרמטר.

א.

הסבירו מדוע לכל ערך של kkk המישורים אינם מקבילים.

ב.

(1)

הראו כי עבור k=1k=1k=1 ישר החיתוך של המישורים, ℓ1\ell_1ℓ1​, מקביל לווקטור (−1,1,1)(-1,1,1)(−1,1,1).

(2)

מצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ1\ell_1ℓ1​ עבור k=1k=1k=1.

(3)

מצאו את הזווית בין המישורים עבור k=1k=1k=1.

ג.

עבור k=1k=1k=1: הנקודה P היא נקודת החיתוך של ℓ1\ell_1ℓ1​ עם המישור [yz][yz][yz], והנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של ציר ה-yyy עם π1\pi_1π1​ ועם π2\pi_2π2​ בהתאמה. מצאו את שיעורי P, A ו-B, והיעזרו בכך שהמשולש APB נמצא במישור [yz][yz][yz] כדי לחשב את שטחו.

שאלה 5 · זווית בין שני מישוריםשאלה קצרה · בינונית

נתונים המישורים π1: x+y=0\pi_1:\ x+y=0π1​: x+y=0 ו-π2: mx+z=0\pi_2:\ mx+z=0π2​: mx+z=0, כאשר mmm פרמטר.

א.

מצאו את ערכי mmm שעבורם הזווית בין המישורים היא 60∘60^\circ60∘.

ב.

האם קיים ערך של mmm שעבורו הזווית בין המישורים היא 30∘30^\circ30∘? אם כן, מצאו אותו; אם לא, נמקו.

שאלה 6 · שני מישורים עם פרמטר: מתי ישר החיתוך פוגש מישור, ושטח כפונקציה של kשאלה מלאה · קשה

נתונים שני מישורים: π1:(k+1)x+y+(k−1)z+6=0\pi_1: (k+1)x+y+(k-1)z+6=0π1​:(k+1)x+y+(k−1)z+6=0, π2:kx+y+z−2=0\pi_2: kx+y+z-2=0π2​:kx+y+z−2=0. kkk הוא פרמטר. נסמן ב-ℓ\ellℓ את ישר החיתוך של המישורים.

א.

הסבירו מדוע לכל ערך של kkk המישורים נחתכים.

ב.

(1)

מצאו את הערך של kkk שעבורו הישר ℓ\ellℓ אינו נחתך עם המישור [yz][yz][yz]. נמקו.

(2)

עבור k≠2k\ne2k=2, הנקודה P היא נקודת החיתוך של ℓ\ellℓ עם המישור [yz][yz][yz]. הביעו את שיעורי P באמצעות kkk.

ג.

הנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של ציר ה-yyy עם π1\pi_1π1​ ועם π2\pi_2π2​ בהתאמה. מצאו את הערכים של kkk שעבורם שטח המשולש APB הוא 16.

ד.

מצאו את הזווית בין המישורים עבור כל אחד מהערכים של kkk שמצאתם בסעיף ג.

שאלה 7 · זווית בין שני מישוריםשאלה קצרה · קלה

נתונים המישורים π1:x+2y−2z+3=0\pi_1: x+2y-2z+3=0π1​:x+2y−2z+3=0 ו-π2:2x−y+2z−1=0\pi_2: 2x-y+2z-1=0π2​:2x−y+2z−1=0.

א.

מצאו את הזווית בין המישורים π1\pi_1π1​ ו-π2\pi_2π2​.

ב.

מצאו את הזווית בין המישור π1\pi_1π1​ ובין המישור [xy][xy][xy].

שאלה 8 · זווית בין שני מישוריםשאלה קצרה · בינונית

המישור π\piπ עובר דרך הנקודות A(2,0,0)A(2,0,0)A(2,0,0), B(0,2,0)B(0,2,0)B(0,2,0) ו-C(0,0,c)C(0,0,c)C(0,0,c), כאשר c>0c>0c>0. הזווית בין המישור π\piπ למישור xyxyxy היא 60∘60^\circ60∘.

מצאו את ccc.

שאלה 9 · מישור דרך אלכסון ומקביל למקצוע: מיקום, זווית ופרמטרשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית, ו-SA הוא גובה הפירמידה. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}AD=v​, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}AS=w​. דרך האלכסון AC מעבירים מישור המקביל למקצוע SD. המישור חותך את המקצוע SB בנקודה K.
ABCDS

א.

מצאו את היחס SK:KBSK:KBSK:KB. נמקו.

ב.

נתון: A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0), B(4,0,0)B(4,0,0)B(4,0,0), D(0,3,0)D(0,3,0)D(0,3,0), S(0,0,h)S(0,0,h)S(0,0,h), h>0h>0h>0.

הביעו באמצעות hhh את משוואת המישור ACK.

ג.

הזווית בין המישור ACK לבין מישור הבסיס ABCD היא 45∘45^\circ45∘. מצאו את hhh.

ד.

האם קיים ערך של hhh שבעבורו המישור ACK מאונך למישור SBD? נמקו.

שאלה 10 · הזווית בין שני מישורים פשוטיםשאלה קצרה · קלה

נתונים שני מישורים: π1:z−2=0\pi_1: z-2=0π1​:z−2=0, π2:y+z−6=0\pi_2: y+z-6=0π2​:y+z−6=0.

מצאו את הזווית בין המישורים.

עוד 9 שאלות על זווית בין שני מישורים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

זווית בין שני מישורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המישור $\pi_1:\ x+2y-z+4=0$ . המישור $\pi_2$ עובר דרך ראשית הצירים ומכיל את הישרים $l_1:\ \underline{x}=t(1,0,1)$ ו-…
מישור דרך אלכסון הבסיס: זווית נתונה עם הבסיס ובדיקת ניצבות למישור אחר (שאלת ביניים · קשה)
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית, ו-SA הוא גובה הפירמידה. דרך האלכסון AC מעבירים מישור המקביל למקצוע SD. המישור חותך את המקצוע SB…
ריבוע במרחב ופירמידה שקודקודה על ישר נתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות ארבע נקודות הנמצאות באותו המישור: $A(-6,p,3)$ , $B(-2,-2,5)$ , $C(2,0,1)$ , $D(-2,4,-1)$ , $p$ הוא פרמטר.
זווית בין שני מישורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $P(1,0,2)$ , $Q(3,1,0)$ , $R(0,2,1)$ , ונתון הישר $\ell:\ \underline x=t(1,1,0)$ .
שני מישורים בזווית $4 5^{\circ}$ : אנך, ישר חיתוך ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מישורים: $\pi_1: x-1=0$ , $\pi_2: ax+3y+4z-20=0$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הזווית בין המישורים היא $45^\circ$ .
זווית בין שני מישורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים המישורים $\pi_1: x+y-4=0$ ו- $\pi_2: y+az+2=0$ . הזווית בין המישורים היא $60^\circ$ .
שני מישורים עם פרמטר: ישר חיתוך מקביל, זווית ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מישורים, $\pi_1$ ו- $\pi_2$ : $\pi_1: (k-2)x+y+(k-3)z+3=0$ , $\pi_2: (k+1)x+y+z-9=0$ . $k$ הוא פרמטר.
פרמטר במישור מתוך הזווית בין שני מישורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים שני מישורים: $\pi_1: x-1=0$ , $\pi_2: ax+3y+4z-20=0$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הזווית בין המישורים היא $45^\circ$ .
מישורים עם פרמטר: ישר החיתוך והזווית ביניהם (שאלת ביניים · בינונית)
נתונים שני מישורים, $\pi_1$ ו- $\pi_2$ : $\pi_1: (k-2)x+y+(k-3)z+3=0$ , $\pi_2: (k+1)x+y+z-9=0$ . $k$ הוא פרמטר.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

ריבוע במרחב ופירמידה: משוואת מישור, קודקוד על ישר וזווית בין מישורים · בגרות 572 קיץ 2022 מועד א', שאלה 2
נתונות ארבע נקודות הנמצאות באותו המישור: $A(4,p,-1)$ , $B(7,5,5)$ , $C(1,-1,2)$ , $D(-2,5,-4)$ , $p$ הוא פרמטר.
שני מישורים בזווית $4 5^{\circ}$ : אנכים, ישר חיתוך ושטח משולש · בגרות 572 חורף 2022, שאלה 2
נתונים שני מישורים: $\pi_1: z-3=0$ , $\pi_2: ay+z-8=0$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הזווית בין המישורים היא $45^\circ$ .
שני מישורים עם פרמטר: ישר חיתוך, זווית ושטח משולש · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 2
נתונים שני מישורים, $\pi_1$ ו- $\pi_2$ : $\pi_1: (k+2)x+y+(k+1)z+11=0$ , $\pi_2: (k+1)x+y+z-5=0$ . $k$ הוא פרמטר.