שאלות פתוחות: משוואת מישור ווקטור נורמל - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על משוואת מישור ווקטור נורמל לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן מציאת משוואת מישור לפי נקודה ונורמל או לפי שלוש נקודות, ריבוע עם פרמטר בקודקוד, ארבע נקודות במישור אחד, מישורים בתיבה ובפירמידה, וזווית נתונה בין שני מישורים כשאחד מהם תלוי בפרמטר. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות לא מעטות. השיעור גדול מספיק להרכבת מבחן שלם או דפי עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

67 שאלותקלה: 16בינונית: 38קשה: 13

שאלה 1 · משוואת מישור ווקטור נורמלשאלה קצרה · קלה

המישור π\piπ עובר דרך הנקודה A(2,0,0)A(2,0,0)A(2,0,0), והווקטור (3,2,1)(3,2,1)(3,2,1) הוא נורמל למישור.

א.

מצאו את משוואת המישור π\piπ, והראו כי הנקודה B(0,3,0)B(0,3,0)B(0,3,0) נמצאת עליו.

ב.

המישור π\piπ חותך את ציר ה-zzz בנקודה CCC. מצאו את שיעורי CCC, וחשבו את נפח הפירמידה OABCOABCOABC (OOO ראשית הצירים).

שאלה 2 · ריבוע במרחב ופירמידה שקודקודה על ישר נתוןשאלה מלאה · בינונית

נתונות ארבע נקודות הנמצאות באותו המישור: A(−6,p,3)A(-6,p,3)A(−6,p,3), B(−2,−2,5)B(-2,-2,5)B(−2,−2,5), C(2,0,1)C(2,0,1)C(2,0,1), D(−2,4,−1)D(-2,4,-1)D(−2,4,−1), ppp הוא פרמטר.

א.

מצאו את משוואת המישור ABCD.

ב.

חשבו את ערך הפרמטר ppp.

ג.

הוכיחו כי המרובע ABCD הוא ריבוע.

ד.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD. המקצוע SC מונח על הישר: x‾=(0,−2,−1)+t(1,1,1)\underline x=(0,-2,-1)+t(1,1,1)x​=(0,−2,−1)+t(1,1,1). נתון כי נפח הפירמידה הוא 60.

מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

ה.

נתון מישור נוסף π\piπ המאונך למקצוע SC.

מצאו את הזווית שבין המישור ABCD ובין המישור π\piπ.

שאלה 3 · ריבוע משלושה קודקודים ופירמידה: איפה נופל היטל הקודקודשאלה מלאה · קשה

הנקודות A(−3,p,−1)A(-3,p,-1)A(−3,p,−1), B(1,1,1)B(1,1,1)B(1,1,1), C(−3,3,5)C(-3,3,5)C(−3,3,5) הן שלושה קודקודים של הריבוע ABCD, ppp הוא פרמטר.

א.

מצאו את ppp.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד D ואת משוואת המישור ABCD.

ג.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD. המקצוע SC מונח על הישר x‾=(−3,3,5)+t(1,−3,1)\underline x=(-3,3,5)+t(1,-3,1)x​=(−3,3,5)+t(1,−3,1), ונפח הפירמידה הוא 72.

מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

ד.

באחת משתי האפשרויות שמצאתם בסעיף ג, ההיטל של הקודקוד S על מישור הבסיס נמצא בתוך הריבוע ABCD. איזו? נמקו.

שאלה 4 · משוואת מישור ווקטור נורמלשאלה קצרה · קלה

נתונות הנקודות A(1,0,1)A(1,0,1)A(1,0,1), B(0,2,2)B(0,2,2)B(0,2,2) ו-C(1,3,0)C(1,3,0)C(1,3,0) (ראו סרטוט).
OABCxyz

א.

מצאו את משוואת המישור ABCABCABC.

ב.

הנקודה D(2,m,−1)D(2,m,-1)D(2,m,−1) נמצאת במישור ABCABCABC. מצאו את mmm.

שאלה 5 · פירמידה שמקצועותיה מאונכים ושונים באורכם: עקב הגובה, נקודה לפי נפח, ישר ומישורשאלה מלאה · בינונית

נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline{u}OA=u​ , OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline{v}OB=v​ , OC→=w‾\overrightarrow{OC}=\underline{w}OC=w​. נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=2∣w‾∣|\underline{u}|=|\underline{v}|=2|\underline{w}|∣u​∣=∣v​∣=2∣w​∣, ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘. הנקודה H מקיימת: OH→=tu‾+sv‾+kw‾\overrightarrow{OH}=t\underline{u}+s\underline{v}+k\underline{w}OH=tu​+sv​+kw​. ttt, sss ו-kkk הם פרמטרים. נתון כי OH→\overrightarrow{OH}OH מאונך לבסיס ABC של הפירמידה.

א.

הוכיחו כי: s=ts=ts=t ו-k=4tk=4tk=4t.

ב.

הנקודה D היא אמצע הצלע AB. הנקודה M נמצאת בבסיס ABC של הפירמידה, על התיכון CD, כך ש-CM:MD=1:2CM:MD=1:2CM:MD=1:2.

הוכיחו כי: OM→=16u‾+16v‾+23w‾\overrightarrow{OM}=\frac16\underline{u}+\frac16\underline{v}+\frac23\underline{w}OM=61​u​+61​v​+32​w​, והסבירו מדוע OM הוא גובה לבסיס ABC של הפירמידה.

ג.

הנקודה P נמצאת על הישר ℓ\ellℓ שעליו מונח הגובה לבסיס ABC.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}u​ , v‾\underline{v}v​ , w‾\underline{w}w​, את הווקטור OP→\overrightarrow{OP}OP שבעבורו נפח הפירמידה PABC גדול פי 3 מנפח הפירמידה OABC (שתי אפשרויות).

ד.

ממקמים את הפירמידה OABC במערכת צירים. הנקודה O נמצאת בראשית הצירים, הנקודה A נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xxx, הנקודה B על החלק החיובי של ציר ה-yyy, והנקודה C על החלק החיובי של ציר ה-zzz. נתון: ∣w‾∣=a|\underline{w}|=a∣w​∣=a.

מצאו את ההצגה הפרמטרית של הישר ℓ\ellℓ שעליו נמצא הקטע OP.

ה.

הביעו באמצעות aaa את משוואת המישור ABC.

ו.

נתון כי נפח הפירמידה OABC הוא 181818. חשבו את aaa.

שאלה 6 · אלכסון של תיבה ומישור משולש: מתי ניצב ואיפה נחתךשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCD הוא ריבוע, ו-AA′=k⋅ABAA'=k\cdot ABAA′=k⋅AB (k>0k>0k>0). נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'

א.

מצאו את הערך של kkk שעבורו האלכסון CA′CA'CA′ מאונך למישור BC′DBC'DBC′D.

ב.

בסעיף זה kkk הוא מספר חיובי כלשהו. האלכסון CA′CA'CA′ חותך את המישור BC′DBC'DBC′D בנקודה E. הוכיחו כי E היא מפגש התיכונים במשולש BC′DBC'DBC′D, ומצאו את היחס CE:EA′CE:EA'CE:EA′.

ג.

נתון: kkk הוא הערך שמצאתם בסעיף א, D(0,0,0)D(0,0,0)D(0,0,0), C(2,2,1)C(2,2,1)C(2,2,1), A(2,n,p)A(2,n,p)A(2,n,p), p<0p<0p<0.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד.

שיעור ה-zzz של הנקודה A′A'A′ הוא שלילי.

מצאו את שיעורי הנקודה E (מסעיף ב).

ה.

מצאו את משוואת המישור BC′DBC'DBC′D.

שאלה 7 · פירמידה שבסיסה ריבוע במרחב: גובה, קודקוד וזוויתשאלה מלאה · קלה

נתונות הנקודות A(1,0,0)A(1,0,0)A(1,0,0), B(2,2,2)B(2,2,2)B(2,2,2), C(0,1,4)C(0,1,4)C(0,1,4), D(−1,−1,2)D(-1,-1,2)D(−1,−1,2).

א.

הוכיחו כי המרובע ABCD הוא ריבוע.

ב.

מצאו את משוואת המישור ABCD.

ג.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD. המקצוע SC מונח על הישר: x‾=(0,1,4)+t(1,0,1)\underline x=(0,1,4)+t(1,0,1)x​=(0,1,4)+t(1,0,1). נתון כי נפח הפירמידה הוא 12.

חשבו את גובה הפירמידה.

ד.

מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

ה.

מצאו את הזווית בין המקצוע SC ובין בסיס הפירמידה.

שאלה 8 · שני מישורים בזווית $4 5^{\circ}$ : אנך, ישר חיתוך ושטח משולששאלה מלאה · בינונית

נתונים שני מישורים: π1:x−1=0\pi_1: x-1=0π1​:x−1=0, π2:ax+3y+4z−20=0\pi_2: ax+3y+4z-20=0π2​:ax+3y+4z−20=0. aaa הוא פרמטר שונה מ-0.
הזווית בין המישורים היא 45∘45^\circ45∘.

א.

מצאו את הערכים האפשריים בעבור הפרמטר aaa.

ב.

הנקודה A(5,3,9)A(5,3,9)A(5,3,9) נמצאת על אחד המישורים הנתונים. מן הנקודה AAA הורידו אנך למישור האחר.
האנך חותך את המישור האחר בנקודה BBB.

מצאו את אורך הקטע ABABAB.

ג.

ℓ\ellℓ הוא ישר החיתוך בין שני המישורים π1\pi_1π1​ ו-π2\pi_2π2​.

מצאו את ההצגה הפרמטרית של ℓ\ellℓ.

ד.

מן הנקודה BBB העבירו אנך לישר ℓ\ellℓ. האנך חותך את הישר ℓ\ellℓ בנקודה CCC.

מצאו את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 9 · וקטורים בתיבה: עקב האנך לאלכסון ואנך שפוגע בפאהשאלה מלאה · קשה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שהבסיס שלה, ABCDABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: AB=8AB=8AB=8, AD=6AD=6AD=6, AA′=10AA'=10AA′=10. הנקודה EEE היא אמצע המקצוע DD′DD'DD′, והנקודה FFF נמצאת על האלכסון BD′BD'BD′ כך ש-BF→=t⋅BD′→\overrightarrow{BF}=t\cdot\overrightarrow{BD'}BF=t⋅BD′, 0<t<10<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו את BD′→\overrightarrow{BD'}BD′ ואת FE→\overrightarrow{FE}FE באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-ttt.

ב.

מצאו את ttt שעבורו FEFEFE מאונך לאלכסון BD′BD'BD′.

ג.

מצאו את המרחק של הנקודה EEE מהאלכסון BD′BD'BD′.

ד.

הנקודה CCC היא ראשית הצירים. BBB נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xxx, DDD על החלק החיובי של ציר ה-yyy, ו-C′C'C′ על החלק החיובי של ציר ה-zzz. מכאן והלאה ttt הוא פרמטר כלשהו, 0<t<10<t<10<t<1.

(1)

הסבירו מדוע המישור EFBDEFBDEFBD אינו תלוי ב-ttt, ומצאו את משוואתו.

(2)

מן הנקודה FFF מעבירים ישר המאונך למישור EFBDEFBDEFBD. מצאו את כל ערכי ttt שעבורם הישר הזה חותך את הפאה CDD′C′CDD'C'CDD′C′ (כולל שפת הפאה).

שאלה 10 · משוואת מישור ווקטור נורמלשאלה קצרה · קלה

הנקודות A(1,2,0)A(1,2,0)A(1,2,0), B(3,0,1)B(3,0,1)B(3,0,1), C(0,1,3)C(0,1,3)C(0,1,3), D(k,−1,2k)D(k,-1,2k)D(k,−1,2k) נמצאות באותו מישור, kkk הוא פרמטר.

א.

מצאו את משוואת המישור.

ב.

מצאו את kkk.

עוד 45 שאלות על משוואת מישור ווקטור נורמל

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

וקטורים בתיבה: נקודה על אלכסון אחר, הקבלה לבסיס ואנך למישור (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BB'$ כך ש- $BE:EB'=1:3$ , הנקודה $F$ נמצאת על…
שני מישורים עם פרמטר: מתי ישר החיתוך פוגש מישור, ושטח כפונקציה של k (שאלה מלאה · קשה)
נתונים שני מישורים: $\pi_1: (k+1)x+y+(k-1)z+6=0$ , $\pi_2: kx+y+z-2=0$ . $k$ הוא פרמטר. נסמן ב- $\ell$ את ישר החיתוך של המישורים.
פירמידה בשיעורים: גובה, מישור הבסיס ונקודה לפי נפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפירמידה OABC: $O(0,0,0)$ , $A(6,0,0)$ , $B(0,6,0)$ , $C(0,0,6)$ . הנקודה M היא נקודת המפגש של תיכוני הבסיס ABC.
שני מישורים עם פרמטר: ישר חיתוך מקביל, זווית ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מישורים, $\pi_1$ ו- $\pi_2$ : $\pi_1: (k-2)x+y+(k-3)z+3=0$ , $\pi_2: (k+1)x+y+z-9=0$ . $k$ הוא פרמטר.
ישרים עם פרמטר במרחב: טווח הזווית ונפח פירמידה (שאלה מלאה · קשה)
נתונים הישרים $\ell_1:\ \underline{x}=t(1,-2,0)$ ו- $\ell_2:\ \underline{x}=(2,-4,0)+m(k,0,1)$ , $k$ הוא פרמטר. הנקודה A היא נקודת החיתוך של…
שני מישורים: אנך, ישר חיתוך ושטח משולש (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)
נתונים שני מישורים: $\pi_1: z-2=0$ , $\pi_2: y+z-6=0$ .
שני ישרים נחתכים במרחב: זווית, מישור ופירמידה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני ישרים $\ell_1$ ו- $\ell_2$ . לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים: $\ell_1:\ \underline{x}=t(1,-2,0)$ ,…
פירמידה ריבועית: אורכים מתוך מכפלות סקלריות, זווית פאה וקודקוד מהנורמל (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע: הקטע $SE$ הוא גובה הפירמידה, ו- $E$ היא מפגש אלכסוני הבסיס. הנקודה $F$ היא אמצע…
וקטורים בתיבה: מנקודה על אלכסון לאנך למישור (שאלה מלאה · קלה)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: $AB=12$ , $AD=6$ , $AA'=9$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע…
משוואת מישור ווקטור נורמל (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים הישרים $\ell_1:\ \underline{x}=t(2,1,1)$ ו- $\ell_2:\ \underline{x}=(5,1,5)+s(1,-1,3)$ .
משפחה של ישרים ומישורים: מישור משותף וישר משותף (שאלה מלאה · קשה)
נתונים הישר $\ell$ והמישור $\pi$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(5,-2,0)+t\cdot(m-3,3-m,-2)$ . משוואת המישור $\pi$ היא:…
שני מישורים עם פרמטר: ישר החיתוך, זווית ונקודות חיתוך (שאלה מלאה · קלה)
נתונים שני מישורים: $\pi_1: (k+3)x+y+(k+2)z-2=0$ , $\pi_2: (k+1)x+y+z+6=0$ . $k$ הוא פרמטר.
פירמידה ריבועית: הבעת וקטורים, מכפלה סקלרית, זווית עם הבסיס ומישור הבסיס (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $AD$ . נסמן:…
מישור דרך אלכסון ומקביל למקצוע: מיקום, זווית ופרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית, ו-SA הוא גובה הפירמידה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
ישרים נחתכים במרחב: מישור, אנך ונפח פירמידה (שאלה מלאה · קלה)
נתונים הישרים $\ell_1:\ \underline{x}=t(2,1,0)$ ו- $\ell_2:\ \underline{x}=(4,2,0)+m(0,1,1)$ . הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים, והנקודה O…
משוואת מישור ווקטור נורמל (שאלה קצרה · בינונית)
המישור $\pi$ מקביל לציר $y$ , עובר דרך הנקודה $P(2,-1,3)$ ומקביל לווקטור $(1,4,2)$ .
מנסרה משולשת: מציאת יחס ומציאת גובה מנפח (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ …
פירמידה ריבועית: הבעת וקטורים, גובה ומישור הבסיס (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן:…
משוואת מישור ווקטור נורמל (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הישר $\ell:\ \underline x=(1,2,0)+t\cdot(1,-1,2)$ , והנקודות $Q(3,0,4)$ ו- $R(2,2,1)$ .
וקטורים בפירמידה: מינימום, מישור בפרמטר ומישורים מאונכים (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ואורכו שווה לאורך צלע הריבוע. הנקודה E היא אמצע המקצוע SD.…
פירמידה במערכת צירים: מישור המקביל למקצוע (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מלבן. SA הוא גובה הפירמידה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
פירמידה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל למקצוע (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית. SA הוא גובה הפירמידה. הנקודה N היא אמצע המקצוע SC. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
תיבה במערכת צירים: פרמטר מזווית ומנפח, וקודקודים מהנורמלים (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $2x+2y-z-12=0$ , וכי $B(1,0,2)$ . הצגה פרמטרית של הישר AB היא…
וקטורים במנסרה משולשת: מהבעת וקטורים לנפח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ …
משוואת מישור ווקטור נורמל (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(2,0,1)$ , $C(0,4,3)$ , $S(1,1,5)$ ו- $D(3,2,3)$ .
מישור דרך קודקודי מנסרה ישרה כשגובהה אינו ידוע (שאלה קצרה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ .
פירמידה במערכת צירים: ישר מקביל, חיתוך עם מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . $A(0,0,0)$ , $B(3,4,0)$ , $C(5,0,0)$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ .
מנסרה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל לאלכסון פאה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $K$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
מישור המכיל שני ישרים נחתכים ופירמידה שקודקודה על האנך למישור (שאלת ביניים · קשה)
נתונים שני ישרים $\ell_1$ ו- $\ell_2$ . לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים: $\ell_1:\ \underline{x}=t(1,-2,0)$ ,…
וקטורים בפירמידה: אורך וקטור, מישור ויחס נפחים (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 6. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ו- $AS=6$ . הנקודה E היא אמצע המקצוע SD. הנקודה…
וקטורים במנסרה משולשת: יחס 5:2, מישור ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ …
תיבה במערכת צירים: מקצועות, מישור פאה ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $x+2y+2z-22=0$ , וכי $A(-2,3,0)$ ו- $B(2,1,0)$ .
פירמידה ישרה שבסיסה מלבן: נקודות על ישר, מישור, מרחק ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. $O$ היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס, ו- $SO$ הוא גובה הפירמידה. הנקודה $E$ נמצאת על…
משוואת מישור מנקודה ומווקטור נורמל (שאלה קצרה · קלה)
המישור $\pi$ עובר דרך הנקודה $A(2,0,0)$ , והווקטור $(3,2,1)$ הוא נורמל למישור.
פירמידה משולשת: ניצבות התיכון, ישר מקביל ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
פירמידה משולשת: נקודה משתנה על מקצוע ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EC}=\underline{v}$ ,…
פירמידה משולשת: זווית ישרה בבסיס, ישר מקביל ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EB}=\underline{u}$ ,…
וקטורים בפירמידה: פרמטר על מקצוע, מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה. אורך המקצוע AS שווה לאורך צלע הריבוע ABCD. הנקודה E נמצאת…
משוואת מישור ווקטור נורמל (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפירמידה SABCD שקודקודיה $A(0,0,0)$ , $B(8,0,0)$ , $C(8,8,0)$ , $D(0,8,0)$ , $S(0,0,8)$ . הנקודה K היא אמצע המקצוע SB, והנקודה L נמצאת על…
וקטורים בתיבה: פרמטר על אלכסון, מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. אורך המקצוע $AA'$ גדול פי 2 מאורך צלע הריבוע. הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BB'$ …
תיבה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $2x-y+2z-33=0$ , וכי $B(1,2,3)$ .
משוואת מישור ווקטור נורמל (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הבסיס ABCD נמצא במישור $x+2y+2z-5=0$ , ו- $A(1,1,1)$ , $B(3,0,1)$ .
מנסרה משולשת ישרה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ שבסיסה $ABC$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle ACB=90^\circ$ ). נתון כי משוואת המישור $A'B'C'$ היא…
משוואת פאה צדדית של תיבה: נורמל משני תנאי ניצבות (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $2x-y+2z-33=0$ , וכי $B(1,2,3)$ . הצגה פרמטרית של הישר AB היא…
מישור דרך שלוש נקודות, פרמטר לנקודה רביעית והוכחה שהמרובע ריבוע (שאלת ביניים · בינונית)
נתונות ארבע נקודות הנמצאות באותו המישור: $A(-6,p,3)$ , $B(-2,-2,5)$ , $C(2,0,1)$ , $D(-2,4,-1)$ , $p$ הוא פרמטר.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

ריבוע במרחב ופירמידה: משוואת מישור, קודקוד על ישר וזווית בין מישורים · בגרות 572 קיץ 2022 מועד א', שאלה 2
נתונות ארבע נקודות הנמצאות באותו המישור: $A(4,p,-1)$ , $B(7,5,5)$ , $C(1,-1,2)$ , $D(-2,5,-4)$ , $p$ הוא פרמטר.
פירמידה שמקצועותיה מאונכים בקודקוד: גובה, נקודה לפי נפח, ישר ומישור · בגרות 572 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 2
נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: $\overrightarrow{OA}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{OB}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{OC}=\underline{w}$ . נתון:…
שני מישורים בזווית $4 5^{\circ}$ : אנכים, ישר חיתוך ושטח משולש · בגרות 572 חורף 2022, שאלה 2
נתונים שני מישורים: $\pi_1: z-3=0$ , $\pi_2: ay+z-8=0$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הזווית בין המישורים היא $45^\circ$ .
וקטורים בתיבה: נקודה על אלכסון, הקבלה לבסיס ואנך למישור · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 2
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $DD'$ כך ש- $DE:ED'=3:2$ , הנקודה $F$ נמצאת על האלכסון $BD'$ …
שני מישורים עם פרמטר: ישר חיתוך, זווית ושטח משולש · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 2
נתונים שני מישורים, $\pi_1$ ו- $\pi_2$ : $\pi_1: (k+2)x+y+(k+1)z+11=0$ , $\pi_2: (k+1)x+y+z-5=0$ . $k$ הוא פרמטר.
שני ישרים נחתכים במרחב: זווית, מישור ופירמידה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 2
נתונים שני ישרים $\ell_1$ ו- $\ell_2$ . לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים: $\ell_1:\ \underline{x}=t(-1,3,0)$ , $\ell_2:\ \underline{x}=(1,-3,0)+m(0,k,1)$ .…
פירמידה ריבועית: הבעת וקטורים, מכפלה סקלרית, זווית עם הבסיס ומישור הבסיס · בגרות 572 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן:…
פירמידה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל למקצוע · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 2
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית. SA הוא גובה הפירמידה. הנקודה M היא אמצע האלכסון BD. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
וקטורים במנסרה משולשת: נקודות על ישר, מישור, מרחק ונפח פירמידה · בגרות 572 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ נמצאת על הקטע $O'B$ …
פירמידה משולשת: ניצבות, קודקודים, ישר מקביל ויחס נפחים · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EC}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{AE}=\underline{u}$ . נתון:…
וקטורים בפירמידה: נקודה על מקצוע לפי פרמטר, משוואת מישור והשוואת נפחים · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה. אורך המקצוע AS שווה לאורך צלע הריבוע ABCD. הנקודה E נמצאת על המקצוע SD כך…
תיבה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $x+4y-8z-126=0$ , וכי $B(0,7,8)$ .