שאלות פתוחות: מצב הדדי בין שני מישורים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מצב הדדי בין שני מישורים לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות עוסקות בישר החיתוך של שני מישורים, מישורים עם פרמטר ובדיקה מתי הם מקבילים או מתלכדים, מישור בהצגה פרמטרית מול מישור במשוואה, ומישורים בתוך קובייה שקודקודיה נתונים. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. מתאים לבוחן, למבחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

26 שאלותקלה: 5בינונית: 15קשה: 6

שאלה 1 · שני מישורים: אנך, ישר חיתוך ושטח משולש (בלי פרמטר)שאלה מלאה · קלה

נתונים שני מישורים: π1:z−2=0\pi_1: z-2=0π1​:z−2=0, π2:y+z−6=0\pi_2: y+z-6=0π2​:y+z−6=0.

א.

מצאו את הזווית בין המישורים.

ב.

מן הנקודה A(1,−1,7)A(1,-1,7)A(1,−1,7) הורידו אנך למישור π1\pi_1π1​. האנך חותך את π1\pi_1π1​ בנקודה BBB.

הראו כי AAA נמצאת על π2\pi_2π2​, מצאו את שיעורי BBB וחשבו את אורך הקטע ABABAB.

ג.

ℓ\ellℓ הוא ישר החיתוך של המישורים π1\pi_1π1​ ו-π2\pi_2π2​.

מצאו הצגה פרמטרית של ℓ\ellℓ.

ד.

מן הנקודה BBB העבירו אנך לישר ℓ\ellℓ. האנך חותך את ℓ\ellℓ בנקודה CCC.

מצאו את שיעורי CCC, הראו כי המשולש ABCABCABC ישר-זווית ב-BBB, וחשבו את שטחו.

שאלה 2 · מצב הדדי בין שני מישוריםשאלה קצרה · בינונית

נתונים המישורים π1: x+y+z=2\pi_1:\ x+y+z=2π1​: x+y+z=2 ו-π2: x−y+2z=1\pi_2:\ x-y+2z=1π2​: x−y+2z=1.

א.

הסבירו מדוע המישורים נחתכים, ומצאו הצגה פרמטרית של ישר החיתוך ℓ\ellℓ.

ב.

מצאו את משוואת המישור π3\pi_3π3​ שעובר דרך ראשית הצירים ומכיל את הישר ℓ\ellℓ.

שאלה 3 · שני מישורים עם פרמטר: מתי ישר החיתוך פוגש מישור, ושטח כפונקציה של kשאלה מלאה · קשה

נתונים שני מישורים: π1:(k+1)x+y+(k−1)z+6=0\pi_1: (k+1)x+y+(k-1)z+6=0π1​:(k+1)x+y+(k−1)z+6=0, π2:kx+y+z−2=0\pi_2: kx+y+z-2=0π2​:kx+y+z−2=0. kkk הוא פרמטר. נסמן ב-ℓ\ellℓ את ישר החיתוך של המישורים.

א.

הסבירו מדוע לכל ערך של kkk המישורים נחתכים.

ב.

(1)

מצאו את הערך של kkk שעבורו הישר ℓ\ellℓ אינו נחתך עם המישור [yz][yz][yz]. נמקו.

(2)

עבור k≠2k\ne2k=2, הנקודה P היא נקודת החיתוך של ℓ\ellℓ עם המישור [yz][yz][yz]. הביעו את שיעורי P באמצעות kkk.

ג.

הנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של ציר ה-yyy עם π1\pi_1π1​ ועם π2\pi_2π2​ בהתאמה. מצאו את הערכים של kkk שעבורם שטח המשולש APB הוא 16.

ד.

מצאו את הזווית בין המישורים עבור כל אחד מהערכים של kkk שמצאתם בסעיף ג.

שאלה 4 · וקטורים בקובייה במערכת צירים: אלכסון, מפגש תיכונים וישר חיתוךשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'

א.

(1)

הביעו את הווקטורים CA′→\overrightarrow{CA'}CA′, DB→\overrightarrow{DB}DB ו-DC′→\overrightarrow{DC'}DC′ באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

(2)

הוכיחו כי CA′CA'CA′ מאונך ל-DBDBDB ול-DC′DC'DC′, והסיקו כי האלכסון CA′CA'CA′ מאונך למישור BC′DBC'DBC′D.

ב.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש BC′DBC'DBC′D. ידוע כי הווקטור מנקודה כלשהי אל מפגש התיכונים הוא ממוצע הווקטורים אל שלושת הקודקודים: CE→=13(CB→+CC′→+CD→)\overrightarrow{CE}=\frac13\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD}\right)CE=31​(CB+CC′+CD).

הראו כי CE→=13CA′→\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CA'}CE=31​CA′, והסיקו כי הנקודות C, E ו-A′A'A′ נמצאות על ישר אחד.

ג.

נתון: D(0,0,0)D(0,0,0)D(0,0,0), A(4,0,0)A(4,0,0)A(4,0,0), C(0,4,0)C(0,4,0)C(0,4,0). שיעור ה-zzz של הנקודה C′C'C′ הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודות B ו-C′C'C′.

ד.

ℓ\ellℓ הוא ישר החיתוך בין המישור BC′DBC'DBC′D ובין המישור BCC′B′BCC'B'BCC′B′.

הסבירו מדוע הנקודות B ו-C′C'C′ נמצאות על ℓ\ellℓ, ומצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ\ellℓ.

ה.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר ℓ\ellℓ ואינו חותך את ציר ה-yyy.

שאלה 5 · מצב הדדי בין שני מישוריםשאלה קצרה · בינונית

במערכת צירים ממוקמת קובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שאורך מקצועה 222: A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0), B(2,0,0)B(2,0,0)B(2,0,0), C(2,2,0)C(2,2,0)C(2,2,0), D(0,2,0)D(0,2,0)D(0,2,0), A′(0,0,2)A'(0,0,2)A′(0,0,2), B′(2,0,2)B'(2,0,2)B′(2,0,2), C′(2,2,2)C'(2,2,2)C′(2,2,2), D′(0,2,2)D'(0,2,2)D′(0,2,2). דרך הקודקודים A′A'A′, BBB, DDD מעבירים מישור, ודרך הקודקודים AAA, B′B'B′, D′D'D′ מעבירים מישור שני (ראו סרטוט).
ABCDA'B'C'D'

א.

מצאו את משוואות המישורים A′BDA'BDA′BD ו-AB′D′AB'D'AB′D′.

ב.

מצאו הצגה פרמטרית של ישר החיתוך של שני המישורים, וקבעו אם הוא עובר דרך מרכז הפאה ABB′A′ABB'A'ABB′A′. נמקו.

שאלה 6 · משפחה של ישרים ומישורים: מישור משותף וישר משותףשאלה מלאה · קשה

נתונים הישר ℓ\ellℓ והמישור π\piπ. ההצגה הפרמטרית של הישר ℓ\ellℓ היא: x‾=(5,−2,0)+t⋅(m−3,3−m,−2)\underline{x}=(5,-2,0)+t\cdot(m-3,3-m,-2)x​=(5,−2,0)+t⋅(m−3,3−m,−2). משוואת המישור π\piπ היא: 3x+my+(m+4)z−2=03x+my+(m+4)z-2=03x+my+(m+4)z−2=0. mmm הוא פרמטר.

א.

הראו כי לכל ערך של mmm הישר ℓ\ellℓ אינו מקביל למישור π\piπ.

ב.

הוכיחו כי כל הישרים ℓ\ellℓ (לכל ערכי mmm) נמצאים במישור אחד, ומצאו את משוואתו.

ג.

נתון כי הישר ℓ\ellℓ ניצב למישור π\piπ וחותך אותו בנקודה AAA.

מצאו את הערך של mmm ואת שיעורי הנקודה AAA.

ד.

הוכיחו כי כל המישורים π\piπ (לכל ערכי mmm) עוברים דרך ישר אחד, ומצאו את הצגתו הפרמטרית. האם יש נקודה המשותפת לכל הישרים ℓ\ellℓ ולכל המישורים π\piπ? נמקו.

שאלה 7 · שני מישורים עם פרמטר: ישר החיתוך, זווית ונקודות חיתוךשאלה מלאה · קלה

נתונים שני מישורים: π1:(k+3)x+y+(k+2)z−2=0\pi_1: (k+3)x+y+(k+2)z-2=0π1​:(k+3)x+y+(k+2)z−2=0, π2:(k+1)x+y+z+6=0\pi_2: (k+1)x+y+z+6=0π2​:(k+1)x+y+z+6=0. kkk הוא פרמטר.

א.

הסבירו מדוע לכל ערך של kkk המישורים אינם מקבילים.

ב.

(1)

הראו כי עבור k=1k=1k=1 ישר החיתוך של המישורים, ℓ1\ell_1ℓ1​, מקביל לווקטור (−1,1,1)(-1,1,1)(−1,1,1).

(2)

מצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ1\ell_1ℓ1​ עבור k=1k=1k=1.

(3)

מצאו את הזווית בין המישורים עבור k=1k=1k=1.

ג.

עבור k=1k=1k=1: הנקודה P היא נקודת החיתוך של ℓ1\ell_1ℓ1​ עם המישור [yz][yz][yz], והנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של ציר ה-yyy עם π1\pi_1π1​ ועם π2\pi_2π2​ בהתאמה. מצאו את שיעורי P, A ו-B, והיעזרו בכך שהמשולש APB נמצא במישור [yz][yz][yz] כדי לחשב את שטחו.

שאלה 8 · מצב הדדי בין שני מישוריםשאלה קצרה · בינונית

נתונים המישורים π1: x‾=(1,0,1)+t(1,a,0)+s(0,1,1)\pi_1:\ \underline{x}=(1,0,1)+t(1,a,0)+s(0,1,1)π1​: x​=(1,0,1)+t(1,a,0)+s(0,1,1) ו-π2: x+y−z=b\pi_2:\ x+y-z=bπ2​: x+y−z=b, כאשר aaa ו-bbb פרמטרים.

א.

מצאו את ערך aaa שעבורו המישורים π1\pi_1π1​ ו-π2\pi_2π2​ אינם נחתכים בישר.

ב.

עבור ערך aaa שמצאתם, מצאו את ערך bbb שעבורו המישורים מתלכדים, וקבעו מהו המצב ההדדי בין המישורים עבור ערכים אחרים של bbb.

שאלה 9 · מישור דרך אלכסון ומקביל למקצוע: מיקום, זווית ופרמטרשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית, ו-SA הוא גובה הפירמידה. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}AD=v​, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}AS=w​. דרך האלכסון AC מעבירים מישור המקביל למקצוע SD. המישור חותך את המקצוע SB בנקודה K.
ABCDS

א.

מצאו את היחס SK:KBSK:KBSK:KB. נמקו.

ב.

נתון: A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0), B(4,0,0)B(4,0,0)B(4,0,0), D(0,3,0)D(0,3,0)D(0,3,0), S(0,0,h)S(0,0,h)S(0,0,h), h>0h>0h>0.

הביעו באמצעות hhh את משוואת המישור ACK.

ג.

הזווית בין המישור ACK לבין מישור הבסיס ABCD היא 45∘45^\circ45∘. מצאו את hhh.

ד.

האם קיים ערך של hhh שבעבורו המישור ACK מאונך למישור SBD? נמקו.

שאלה 10 · ישר החיתוך של שני מישורים פשוטיםשאלה קצרה · קלה

נתונים שני מישורים: π1:z−2=0\pi_1: z-2=0π1​:z−2=0, π2:y+z−6=0\pi_2: y+z-6=0π2​:y+z−6=0.

ℓ\ellℓ הוא ישר החיתוך של המישורים π1\pi_1π1​ ו-π2\pi_2π2​.

מצאו הצגה פרמטרית של ℓ\ellℓ.

עוד 12 שאלות על מצב הדדי בין שני מישורים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שני מישורים בזווית $4 5^{\circ}$ : אנך, ישר חיתוך ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מישורים: $\pi_1: x-1=0$ , $\pi_2: ax+3y+4z-20=0$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הזווית בין המישורים היא $45^\circ$ .
וקטורים בפירמידה: מינימום, מישור בפרמטר ומישורים מאונכים (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ואורכו שווה לאורך צלע הריבוע. הנקודה E היא אמצע המקצוע SD.…
מצב הדדי בין שני מישורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים המישורים $x+y+z=6$ ו- $2x-y+z=3$ .
כל המישורים במשפחה עוברים דרך ישר אחד (שאלה קצרה · קשה)
נתונים הישר $\ell$ והמישור $\pi$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(5,-2,0)+t\cdot(m-3,3-m,-2)$ . משוואת המישור $\pi$ היא:…
וקטורים בקובייה: האלכסון BD' והמשולש ACB' (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
ישר החיתוך של מישורים עם פרמטר והמישור yz (שאלת ביניים · קשה)
נתונים שני מישורים: $\pi_1: (k+1)x+y+(k-1)z+6=0$ , $\pi_2: kx+y+z-2=0$ . $k$ הוא פרמטר. נסמן ב- $\ell$ את ישר החיתוך של המישורים.
מצב הדדי בין שני מישורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ , שבה $A(0,0,0)$ , $B(6,0,0)$ , $D(0,6,0)$ , $A'(0,0,6)$ .
שני מישורים עם פרמטר: ישר חיתוך מקביל, זווית ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מישורים, $\pi_1$ ו- $\pi_2$ : $\pi_1: (k-2)x+y+(k-3)z+3=0$ , $\pi_2: (k+1)x+y+z-9=0$ . $k$ הוא פרמטר.
מצב הדדי בין שני מישורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים המישורים $\pi_1: kx+y+(k-2)z-4=0$ ו- $\pi_2: (k+2)x+y+z=0$ , $k$ פרמטר. ידוע כי ישר החיתוך של המישורים, $\ell_1$ , מקביל לישר…
מצב הדדי בין שני מישורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים המישורים $\pi_1: x+2y+z-10=0$ ו- $\pi_2: 3x+y-z+2=0$ . הנקודה P היא נקודת החיתוך של ישר החיתוך של המישורים עם המישור $[xz]$ . הנקודות A…
מישורים עם פרמטר שאינם מקבילים, ווקטור הכיוון של ישר החיתוך (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים שני מישורים: $\pi_1: (k+3)x+y+(k+2)z-2=0$ , $\pi_2: (k+1)x+y+z+6=0$ . $k$ הוא פרמטר.
קובייה במערכת צירים וישר החיתוך של מישור אלכסוני עם פאה (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני מישורים בזווית $4 5^{\circ}$ : אנכים, ישר חיתוך ושטח משולש · בגרות 572 חורף 2022, שאלה 2
נתונים שני מישורים: $\pi_1: z-3=0$ , $\pi_2: ay+z-8=0$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הזווית בין המישורים היא $45^\circ$ .
וקטורים בקובייה: אלכסון מאונך למישור, מפגש תיכונים, ישר ומישור · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\overrightarrow{AA'}=\underline w$ .
שני מישורים עם פרמטר: ישר חיתוך, זווית ושטח משולש · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 2
נתונים שני מישורים, $\pi_1$ ו- $\pi_2$ : $\pi_1: (k+2)x+y+(k+1)z+11=0$ , $\pi_2: (k+1)x+y+z-5=0$ . $k$ הוא פרמטר.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מצב הדדי בין שני מישורים וישר החיתוך (שאלה קצרה · קלה)
נתונה קובייה $ABCDA'B'C'D'$ (הבסיס $ABCD$ , והמקצועות $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ , $DD'$ מאונכים לבסיס). הנקודה $P$ היא…