דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: צירוף לינארי ותלות לינארית - כיתה י"ב 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה לכיתה י"ב 5 יח"ל בנושא צירוף לינארי ותלות לינארית: 8 שאלות פתוחות מ-8 שיעורים שונים של הנושא, ברמות שונות (קלה: 3, בינונית: 2, קשה: 3). המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל המבחנים - שם מחליפים שאלות, מוסיפים פתרונות ומורידים ל-Word.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל
צירוף לינארי ותלות לינארית
8 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · אלכסון התיבה ומקצועותיה כצירופים של אלכסוני הפאותצירוף לינארי של וקטורים · שאלת ביניים · קשה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' (ראו סרטוט) שבסיסה ABCDABCD, והקודקודים A′A', B′B', C′C', D′D' נמצאים מעל AA, BB, CC, DD בהתאמה. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline w, ואת שלושת אלכסוני הפאות היוצאים מ-AA: p‾=AC→\underline p=\overrightarrow{AC}, q‾=AB′→\underline q=\overrightarrow{AB'}, r‾=AD′→\underline r=\overrightarrow{AD'}.

ABCDA'B'C'D'
א.

הביעו את p‾\underline p, q‾\underline q ו-r‾\underline r באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

הביעו את אלכסון התיבה AC′→\overrightarrow{AC'} באמצעות p‾\underline p, q‾\underline q ו-r‾\underline r.

ג.

הביעו את AA′→\overrightarrow{AA'} ואת AB→\overrightarrow{AB} באמצעות p‾\underline p, q‾\underline q ו-r‾\underline r.

שאלה 2 · תלות לינארית של וקטורים בתיבהתלות לינארית ואי-תלות · שאלה קצרה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' (ראו סרטוט) שבסיסה ABCDABCD, והקודקודים A′A', B′B', C′C', D′D' נמצאים מעל AA, BB, CC, DD בהתאמה.

ABCDA'B'C'D'

קבעו לכל אחת מהקבוצות הבאות אם הווקטורים שבה תלויים לינארית או בלתי תלויים לינארית, ונמקו.

(1) AB→\overrightarrow{AB} ו-D′C′→\overrightarrow{D'C'}

(2) AB→\overrightarrow{AB} ו-AC→\overrightarrow{AC}

(3) AC→\overrightarrow{AC}, AA′→\overrightarrow{AA'} ו-AC′→\overrightarrow{AC'}

(4) AB→\overrightarrow{AB}, AD→\overrightarrow{AD} ו-AA′→\overrightarrow{AA'}

שאלה 3 · יחידות ההצגה במישור: שני וקטורים בלתי תלוייםיחידות ההצגה במישור: שני וקטורים בלתי תלויים · שאלה קצרה · בינונית

במשולש OABOAB שבסרטוט נסמן OA→=a‾\overrightarrow{OA}=\underline{a} ו-OB→=b‾\overrightarrow{OB}=\underline{b}. הנקודה PP נמצאת על הצלע OAOA כך ש-OP→=13a‾\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\underline{a}, והנקודה QQ נמצאת על הצלע OBOB כך ש-OQ→=mb‾\overrightarrow{OQ}=m\underline{b}, 0<m<10<m<1. הקטעים AQAQ ו-BPBP נחתכים בנקודה MM. נתון: OM→=xa‾+15b‾\overrightarrow{OM}=x\underline{a}+\frac{1}{5}\underline{b}.

OABPQM

מצאו את xx ואת mm.

שאלה 4 · נקודת החיתוך של קטע עם מישור במנסרה משולשתיחידות ההצגה במרחב: שלושה וקטורים בלתי תלויים · שאלת ביניים · קשה

במנסרה המשולשת ABCA′B′C′ABCA'B'C' שבסרטוט (המקצועות הצדדיים הם AA′AA', BB′BB', CC′CC') נסמן AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}. הנקודה MM נמצאת על המקצוע ABAB כך ש-AM:MB=1:2AM:MB=1:2. הקטע C′MC'M חותך את המישור A′BCA'BC בנקודה XX.

ABCA'B'C'MX
א.

הביעו את הווקטורים C′M→\overrightarrow{C'M}, A′B→\overrightarrow{A'B} ו-A′C→\overrightarrow{A'C} באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w}.

ב.

מצאו את היחס C′X:XMC'X:XM.

שאלה 5 · מנסרה משולשת: מציאת יחס ומציאת גובה מנפחאמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתון · שאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה AOBA′O′B′AOBA'O'B' שבסיסה AOBAOB הוא משולש ישר-זווית (∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ). הנקודה KK היא אמצע המקצוע ABAB. הנקודה EE נמצאת על הקטע O′BO'B כך ש-O′E→=s⋅O′B→\vec{O'E}=s\cdot\vec{O'B}, 0<s<10<s<1. הנקודה NN נמצאת על הקטע AEAE כך ש-AN→=45⋅AE→\overrightarrow{AN}=\frac45\cdot\overrightarrow{AE}. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline u, OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline v, OO′→=w‾\vec{OO'}=\underline w.

OABO'A'B'
א.

הביעו את O′N→\vec{O'N} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ו-ss.

ב.

מצאו את הערך של ss שעבורו הנקודות KK, NN, O′O' נמצאות על ישר אחד, ואת היחס בין O′KO'K ובין O′NO'N בעבור ערך זה.

ג.

הציבו s=14s=\frac14. נתון: O(0,0,0)O(0,0,0), A(12,0,0)A(12,0,0), B(0,5,0)B(0,5,0). הקודקוד O′O' נמצא על החלק החיובי של ציר ה-zz, וגובה המנסרה אינו ידוע.

מצאו את משוואת המישור A′KB′A'KB'. האם היא תלויה בגובה המנסרה? נמקו.

ד.

נתון כי נפח הפירמידה NA′KB′NA'KB' הוא 48.

מצאו את שיעורי הנקודות O′O' ו-NN.

שאלה 6 · וקטורים בקובייה במערכת צירים: אלכסון, מפגש תיכונים וישר חיתוךמפגש התיכונים ונקודות מיוחדות בעזרת וקטורים · שאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'
א.
(1)

הביעו את הווקטורים CA′→\overrightarrow{CA'}, DB→\overrightarrow{DB} ו-DC′→\overrightarrow{DC'} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

הוכיחו כי CA′CA' מאונך ל-DBDB ול-DC′DC', והסיקו כי האלכסון CA′CA' מאונך למישור BC′DBC'D.

ב.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש BC′DBC'D. ידוע כי הווקטור מנקודה כלשהי אל מפגש התיכונים הוא ממוצע הווקטורים אל שלושת הקודקודים: CE→=13(CB→+CC′→+CD→)\overrightarrow{CE}=\frac13\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD}\right).

הראו כי CE→=13CA′→\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CA'}, והסיקו כי הנקודות C, E ו-A′A' נמצאות על ישר אחד.

ג.

נתון: D(0,0,0)D(0,0,0), A(4,0,0)A(4,0,0), C(0,4,0)C(0,4,0). שיעור ה-zz של הנקודה C′C' הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודות B ו-C′C'.

ד.

ℓ\ell הוא ישר החיתוך בין המישור BC′DBC'D ובין המישור BCC′B′BCC'B'.

הסבירו מדוע הנקודות B ו-C′C' נמצאות על ℓ\ell, ומצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ\ell.

ה.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר ℓ\ell ואינו חותך את ציר ה-yy.

שאלה 7 · וקטורים בתיבה: נקודה במישור ומרחק ממישור (עם אורכים נתונים)הוכחות: נקודות על ישר אחד ומקבילות · שאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. הנקודה EE היא אמצע המקצוע DD′DD'.

AA'DD'BB'CC'E
א.

הביעו את EA→\overrightarrow{EA} ו-EC→\overrightarrow{EC} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

הנקודה MM מקיימת: DM→=49u‾−19v‾+29w‾\overrightarrow{DM}=\frac49\underline u-\frac19\underline v+\frac29\underline w.

הביעו את EM→\overrightarrow{EM} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ג.
(1)

הראו כי EM→=19EA→+49EC→\overrightarrow{EM}=\frac19\overrightarrow{EA}+\frac49\overrightarrow{EC}.

(2)

האם הנקודה MM נמצאת במישור AECAEC? נמקו את תשובתכם.

ד.

נתון: ∣u‾∣=2|\underline u|=2, ∣v‾∣=4|\underline v|=4, ∣w‾∣=4|\underline w|=4.

הראו כי DM→\overrightarrow{DM} מאונך ל-EA→\overrightarrow{EA} ול-EC→\overrightarrow{EC}, והסיקו כי DM→\overrightarrow{DM} מאונך למישור AECAEC.

ה.

חשבו את המרחק בין הנקודה DD ובין המישור AECAEC.

שאלה 8 · הוכחות: יחסי קטעים במשולש ובמרובעהוכחות: יחסי קטעים במשולש ובמרובע · שאלה קצרה · בינונית

במקבילית ABCDABCD הנקודה EE נמצאת על הצלע BCBC כך ש-BE:EC=1:2BE:EC=1:2, והנקודה FF נמצאת על הצלע CDCD. הקטע EFEF חותך את האלכסון ACAC בנקודה TT, ונתון AT:TC=2:1AT:TC=2:1. נסמן AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}.

מצאו את היחס DF:FCDF:FC.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.